1、工程制图 04投影变换的基本概念56、极端的法规，就是极端的不公。西塞罗57、法律一旦成为人们的需要，人们就不再配享受自由了。毕达哥拉斯58、法律规定的惩罚不是为了私人的利益，而是为了公共的利益；一部分靠有害的强制，一部分靠榜样的效力。格老秀斯59、假如没有法律他们会更快乐的话，那么法律作为一件无用之物自己就会消灭。洛克60、人民的幸福是至高无个的法。西塞罗1.2 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.21.3 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.31.4 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.41.5 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概
2、念1.51.6 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.6(a)(b)(a)(b)(a)(b)(a)(b)图图4.1 4.1 寻求梯形的实形图寻求梯形的实形图4.2 4.2 寻求点到平面的真实距离寻求点到平面的真实距离4.1 4.1 投影变换概述投影变换概述 1.7 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.7由此可知，在进行空间问题的图示和图解过程中，如果能通过由此可知，在进行空间问题的图示和图解过程中，如果能通过某种变换规则，使空间几何元素相对于投影面由一般位置转换某种变换规则，使空间几何元素相对于投影面由一般位置转换为特殊位置，使其投影或直接反映实形，或具有积聚性，
3、那么为特殊位置，使其投影或直接反映实形，或具有积聚性，那么，问题就可以得到简化。这种变换规则就称为投影变换。，问题就可以得到简化。这种变换规则就称为投影变换。常用的投影变换方法有更换投影面法常用的投影变换方法有更换投影面法(换面法换面法)和旋转几何元素法和旋转几何元素法(旋转法旋转法)两种。本章仅简单介绍其中的换面法，并以基本绘图软两种。本章仅简单介绍其中的换面法，并以基本绘图软件件AutoCAD为例，介绍如何利用其三维功能图解空间问题的基为例，介绍如何利用其三维功能图解空间问题的基本思想。本思想。投影变换研究的是如何改变空间几何元素与投影面的相对位置投影变换研究的是如何改变空间几何元素与投影
4、面的相对位置，借助于改变以后所得的新投影，借助于改变以后所得的新投影(即辅助投影即辅助投影)，以简便地解决空，以简便地解决空间问题。间问题。换面法的基本解题思路是：空间几何元素本身在空间的位置不换面法的基本解题思路是：空间几何元素本身在空间的位置不动，而在其所在的两投影面体系中，保持一个投影面不动，用动，而在其所在的两投影面体系中，保持一个投影面不动，用某一辅助投影面代替另一个投影面，使其相对于该辅助投影面某一辅助投影面代替另一个投影面，使其相对于该辅助投影面4.1 4.1 投影变换概述投影变换概述 1.8 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.8处于解题所需的有利位置。实际上，
5、以处于解题所需的有利位置。实际上，以V/H两投影面体系为例，两投影面体系为例，垂直于垂直于V面或面或H面的平面有无穷多个。每新设立一个投影面，就面的平面有无穷多个。每新设立一个投影面，就会与原始体系中的那个不变投影面形成一个新的投影体系。因此会与原始体系中的那个不变投影面形成一个新的投影体系。因此，在选择辅助投影面时，首先必须将辅助投影面垂直于原投影体，在选择辅助投影面时，首先必须将辅助投影面垂直于原投影体系中的另一个投影面系中的另一个投影面(不变投影面不变投影面)，以构成一个新的两投影面体，以构成一个新的两投影面体系，并且应考虑到所选择的辅助投影面必须处于最有利于解题的系，并且应考虑到所选择
6、的辅助投影面必须处于最有利于解题的位置。位置。如图如图4.3(a)所示的是如何应用换面法将一个铅垂面所示的是如何应用换面法将一个铅垂面ABC变换为辅变换为辅助投影面助投影面V1的平行面。此时，由于的平行面。此时，由于ABCV1，因此，因此，ABC在在V1面上的投影面上的投影a1b1c1即反映其实形。其图解过程如图即反映其实形。其图解过程如图4.3(b)所所示。示。4.1 4.1 投影变换概述投影变换概述 1.9 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.9(a)(b)图图4.3 换面法的基本解题思路换面法的基本解题思路4.1 4.1 投影变换概述投影变换概述 1.10 第第4章章 投
7、影变换的基本概念投影变换的基本概念1.10旋转法的基本解题思路则是：保持投影体系不动，而将几何元素围旋转法的基本解题思路则是：保持投影体系不动，而将几何元素围绕某一轴线旋转到对投影面处于特殊位置，以便使其反映出形状、绕某一轴线旋转到对投影面处于特殊位置，以便使其反映出形状、距离、角度等的真实大小，使问题得到简化。距离、角度等的真实大小，使问题得到简化。如图如图4.4(a)所示的是应用旋转法将一个铅垂面变换为正平面的过程。所示的是应用旋转法将一个铅垂面变换为正平面的过程。即令即令ABC绕一铅垂轴旋转一个角度，直到平行于绕一铅垂轴旋转一个角度，直到平行于V面。使面。使ABC的正面投影反映出它的真实
8、形状。如图的正面投影反映出它的真实形状。如图4.4(b)所示是其投影作图过所示是其投影作图过程。程。将投影变换的基本概念与计算机辅助图形软件相结合，可以更直接、将投影变换的基本概念与计算机辅助图形软件相结合，可以更直接、更形象、更准确而快速地解决空间几何元素的定形和定位问题。更形象、更准确而快速地解决空间几何元素的定形和定位问题。(a)(b)图图4.4 旋转法的基本解题思路旋转法的基本解题思路4.1 4.1 投影变换概述投影变换概述 1.11 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.11 点是最基本的几何元素。要运用换面法解决问题，首先必须掌握点的点是最基本的几何元素。要运用换面法
9、解决问题，首先必须掌握点的投影变换规律。投影变换规律。4.2 4.2 点的换面点的换面 1.12 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.12 为叙述清楚起见，仍以为叙述清楚起见，仍以V和和H组成的两投影面体系为例，并将其组成的两投影面体系为例，并将其记为记为 。若在。若在 的基础上，保持的基础上，保持H面面(或或V面面)不动，则不动，则H面面(或或V面面)即称为不变投影面，垂直于即称为不变投影面，垂直于H面面(或或V面面)增设一个辅助投影面增设一个辅助投影面V1(或或H1)，即形成了两个相互关联的两投影面体系，分别用符号，即形成了两个相互关联的两投影面体系，分别用符号 和和 (或
10、或 )表示。其中，表示。其中，X1表示辅助投影面与不变投影面的交线，表示辅助投影面与不变投影面的交线，V1(或或H1)表示新设的辅助投影面。点表示新设的辅助投影面。点A在在V1(或或H1)面上的投影面上的投影a1(或或a1)称为称为点点A的辅助投影，而与其相关联的投影的辅助投影，而与其相关联的投影a 和和a则称为不变投影。点的一则称为不变投影。点的一次投影变换的变换过程、投影体系的展开及投影变换规律见表次投影变换的变换过程、投影体系的展开及投影变换规律见表4-1，即：即：(1)点的不变投影与辅助投影之间的连线垂直于点的不变投影与辅助投影之间的连线垂直于X1轴。轴。4.2.1 点的一次换面点的一
11、次换面VH1VH11VXHVH11VXH4.2 4.2 点的换面点的换面 1.13 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.13(2)点的辅助投影到辅助投影轴点的辅助投影到辅助投影轴X1的距离等于被更换的投影到原投影轴的距离等于被更换的投影到原投影轴OX的距离。的距离。表表4-1 点的一次投影变换及投影变换规律点的一次投影变换及投影变换规律4.2 4.2 点的换面点的换面 1.14 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.14点的二次换面指的是在第一次换面之后的基础上，以第点的二次换面指的是在第一次换面之后的基础上，以第一次的投影体系一次的投影体系 (或或 )中的投影面
12、中的投影面V1(或或H1)为不变投影面，增设与其垂直的新投影面为不变投影面，增设与其垂直的新投影面H2(或或V2)，组，组成新的投影体系成新的投影体系 (或或 )。在求第二次变换的新。在求第二次变换的新投影时，则以第一次变换建立起来的新体系中的两个投投影时，则以第一次变换建立起来的新体系中的两个投影作为原体系，运用点的投影规律作图。影作为原体系，运用点的投影规律作图。如图如图4.5(a)所示的是空间一点所示的是空间一点A的二次投影变换的过程，的二次投影变换的过程，而如图而如图4.5(b)所示则表示了所示则表示了A点的二次投影变换的作图点的二次投影变换的作图过程。从图中可知，若第一次换面时，以过
13、程。从图中可知，若第一次换面时，以H面为不变投面为不变投影面，以影面，以V1面更换面更换V面，那么第二次换面时，则以面，那么第二次换面时，则以V1面面为不变投影面，以为不变投影面，以H2更换更换H面。从而在第二次变换后构面。从而在第二次变换后构成了成了V1/H2的新体系，新的投影轴则用的新体系，新的投影轴则用X2表示。由此可表示。由此可推出点的三次、四次或更多次投影变换的作图方法。推出点的三次、四次或更多次投影变换的作图方法。4.2.2 点的二次换面点的二次换面211VXH111VXH112VXH11VXH4.2 4.2 点的换面点的换面 1.15 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本
14、概念1.15(a)(b)图图4.5 点的二次投影变换点的二次投影变换4.2 4.2 点的换面点的换面 1.16 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.164.3 4.3 用换面法解决的用换面法解决的4 4个基本作图问题个基本作图问题 如何将一般位置直线或平面转换为特殊位置直线或平面，是换面法所要解决的最基本问题。1.17 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.17将一般位置直线转换为辅助投影面的平行线，可在该辅助投影面上得到直将一般位置直线转换为辅助投影面的平行线，可在该辅助投影面上得到直线的实长和对不变投影面倾角的真实大小。线的实长和对不变投影面倾角的真实大小。表
15、表4-2中以中以V/H体系为原投影体系，列出了用换面法求作一般位置直线的体系为原投影体系，列出了用换面法求作一般位置直线的实长及对实长及对H面或面或V面的倾角的作图过程。面的倾角的作图过程。表表4-2 求一般位置直线的实长及对投影面的倾角求一般位置直线的实长及对投影面的倾角、4.3.1 将一般位置直线变为投影面平行线将一般位置直线变为投影面平行线 4.3 4.3 用换面法解决的用换面法解决的4 4个基本作图问题个基本作图问题1.18 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.18从表中的分析可知，要求一般位置直线的实长，可任取从表中的分析可知，要求一般位置直线的实长，可任取V、H面中
16、面中的一个投影面为不变投影面，而另一投影面则以的一个投影面为不变投影面，而另一投影面则以V1(或或H1)来替代，来替代，形成新的投影体系形成新的投影体系 (或或 )。显然，新投影面。显然，新投影面V1(或或H1)的更的更换条件是换条件是V1(或或H1)必须平行于一般位置直线必须平行于一般位置直线AB。在投影作图时，即。在投影作图时，即作作X1轴平行于直线轴平行于直线AB的水平投影的水平投影ab(或正面投影或正面投影ab)。11VXH11VXH4.3 4.3 用换面法解决的用换面法解决的4 4个基本作图问题个基本作图问题1.19 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.19一般位置直
17、线对投影面的倾角，其实就是指对不变投影面的倾角。也就一般位置直线对投影面的倾角，其实就是指对不变投影面的倾角。也就是说，若要求得直线对是说，若要求得直线对H面的倾角面的倾角 ，则，则H面必须设为不变投影面，用面必须设为不变投影面，用V1面更换面更换V面。这时，直线在面。这时，直线在V1面上的投影面上的投影a1b1与与X1轴的夹角即为的真实大轴的夹角即为的真实大小。同理，要求得直线对小。同理，要求得直线对V面的倾角面的倾角 ，则，则V面必须设为不变投影面，而面必须设为不变投影面，而用用H1面更换面更换H面。直线在面。直线在H1面上的投影面上的投影a1b1与与X1轴的夹角即为轴的夹角即为 的真实大
18、的真实大小。小。4.3 4.3 用换面法解决的用换面法解决的4 4个基本作图问题个基本作图问题1.20 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.204.3.2 将投影面平行线变换为投影面垂直线将投影面平行线变换为投影面垂直线 在许多空间距离问题的求解过程中，将一般位置直线转换为投影面平在许多空间距离问题的求解过程中，将一般位置直线转换为投影面平行线或投影面垂直线，可使问题得到简化。而由于投影体系中投影面行线或投影面垂直线，可使问题得到简化。而由于投影体系中投影面之间的两两垂直特点，以及正投影法的投影特性，要将一般位置直线之间的两两垂直特点，以及正投影法的投影特性，要将一般位置直线转
19、换为投影面垂直线，是不可能直接达到目的的。必须首先将其转换转换为投影面垂直线，是不可能直接达到目的的。必须首先将其转换为投影面平行线，然后再进行连续的第二次换面，才能将其转换为投为投影面平行线，然后再进行连续的第二次换面，才能将其转换为投影面垂直线影面垂直线(读者可自行证明读者可自行证明)。因此，将投影面平行线变换为投影面。因此，将投影面平行线变换为投影面垂直线的问题，是换面法的基本作图问题之一。垂直线的问题，是换面法的基本作图问题之一。如图如图4.6(a)4.6(a)所示的是将一条水平线所示的是将一条水平线ABAB变换为辅助投影面变换为辅助投影面V V1 1的垂直线的的垂直线的空间转换过程。
20、从图中可知，由于辅助投影面空间转换过程。从图中可知，由于辅助投影面V V1 1垂直于水平线垂直于水平线ABAB，而，而ABAB又平行于又平行于H H面，因此面，因此V V1 1面必定垂直于不变投影面面必定垂直于不变投影面H H。换面后，直线。换面后，直线ABAB垂直于垂直于V V1 1面，其投影在面，其投影在V V1 1面上积聚为一点。如面上积聚为一点。如 图图4.6(b)4.6(b)所示为投影所示为投影变换的作图过程。作图时，首先在适当位置上作变换的作图过程。作图时，首先在适当位置上作X X1 1轴垂直于轴垂直于ABAB的水平的水平4.3 4.3 用换面法解决的用换面法解决的4 4个基本作图
21、问题个基本作图问题1.21 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.21投影投影ab，再应用投影变换规律作出其辅助投影，再应用投影变换规律作出其辅助投影a1b1(a1b1 积聚为一点积聚为一点)。如图。如图4.6(c)所示是将一般位置直线转换为投影面垂直线的投影作图所示是将一般位置直线转换为投影面垂直线的投影作图过程。该过程分两步进行，经历了两次连续换面。第一次换面将直线过程。该过程分两步进行，经历了两次连续换面。第一次换面将直线转换为辅助投影面转换为辅助投影面V1的平行线，第二次换面才将直线转换为辅助投影的平行线，第二次换面才将直线转换为辅助投影面面H2的垂直线，读者可自行练习，
22、并进行分析对比。的垂直线，读者可自行练习，并进行分析对比。4.3 4.3 用换面法解决的用换面法解决的4 4个基本作图问题个基本作图问题1.22 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.22(a)(b)(c)图图4.6 将直线变换为投影面垂直线将直线变换为投影面垂直线4.3 4.3 用换面法解决的用换面法解决的4 4个基本作图问题个基本作图问题1.23 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.23将一般位置平面变换为投影面垂直面，可在辅助投影面上求得该平面对不将一般位置平面变换为投影面垂直面，可在辅助投影面上求得该平面对不变投影面的倾角的真实大小。换句话说，当所作的辅助
23、投影面同时垂直于变投影面的倾角的真实大小。换句话说，当所作的辅助投影面同时垂直于给定的一般位置平面给定的一般位置平面P和原体系中的某一不变投影面时，则平面和原体系中的某一不变投影面时，则平面P与不变与不变投影面在辅助投影面上的投影积聚为两条直线，它们之间的夹角即为两平投影面在辅助投影面上的投影积聚为两条直线，它们之间的夹角即为两平面之间二面角的真实大小，亦即该平面面之间二面角的真实大小，亦即该平面P对不变投影面的倾角的真实大小对不变投影面的倾角的真实大小，如图，如图4.7所示。所示。表表4-3所示为求作一般位置平面对所示为求作一般位置平面对V、H面的倾角面的倾角 、的作图方法及投的作图方法及投
24、影特性，至于求作一般位置平面对影特性，至于求作一般位置平面对W面的倾角面的倾角 的问题，读者可自行推的问题，读者可自行推导。导。4.3.3 将一般位置平面变换为投影面垂直面将一般位置平面变换为投影面垂直面4.3 4.3 用换面法解决的用换面法解决的4 4个基本作图问题个基本作图问题1.24 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.24图图4.7 求作一般位置平面对投影面倾角的解题思路求作一般位置平面对投影面倾角的解题思路4.3 4.3 用换面法解决的用换面法解决的4 4个基本作图问题个基本作图问题1.25 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.25表表4-3 用换面法
25、求一般位置平面对投影面的倾角用换面法求一般位置平面对投影面的倾角4.3 4.3 用换面法解决的用换面法解决的4 4个基本作图问题个基本作图问题1.26 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.26将投影面垂直面变换为投影面平行面，可在辅助投影面上得到该平将投影面垂直面变换为投影面平行面，可在辅助投影面上得到该平面的实形。面的实形。如图如图4.8(a)所示，欲求作铅垂面所示，欲求作铅垂面ABC的实形，必须作辅助投影面的实形，必须作辅助投影面V1平行于平行于ABC。显然，此时。显然，此时V1也同时垂直于也同时垂直于H面，并与面，并与H面组成了面组成了一个新的投影体系一个新的投影体系X1
26、 ，ABC则转换成了该体系中的正平面。作则转换成了该体系中的正平面。作图时首先作图时首先作X1轴平行于轴平行于ABC的水平积聚性投影的水平积聚性投影abc，然后应用投影，然后应用投影变换规律求出变换规律求出ABC各顶点的辅助投影各顶点的辅助投影a1、b1、c1，最后连成，最后连成a1b1c1。如图。如图4.8(b)所示。所示。显然，若需求作一般位置平面的实形，需经过两次连续换面。首先显然，若需求作一般位置平面的实形，需经过两次连续换面。首先将给定的一般位置平面转换为辅助投影体系将给定的一般位置平面转换为辅助投影体系I的垂直面，再以此为基的垂直面，再以此为基础进行连续的第二次换面，将其转换为辅助
27、投影体系础进行连续的第二次换面，将其转换为辅助投影体系II的平行面，的平行面，如图如图4.9所示。所示。4.3.4 将投影面垂直面变换为投影面平行面将投影面垂直面变换为投影面平行面1VH4.3 4.3 用换面法解决的用换面法解决的4 4个基本作图问题个基本作图问题1.27 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.27(a)(b)图图4.8 求铅垂面求铅垂面ABC的实形的实形 图图4.9 求一般位置平面的求一般位置平面的实形实形1.28 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.28CAD-3D技术在现代化技术在现代化CAD软件中十分普及。用计算机辅助图解画软件中十分普及。
28、用计算机辅助图解画法几何问题，同样是建立在正投影的理论基础上，但其解题过程只法几何问题，同样是建立在正投影的理论基础上，但其解题过程只需两大步骤：首先对工程设计及表达中的画法几何问题进行空间分需两大步骤：首先对工程设计及表达中的画法几何问题进行空间分析并进行实体建模，实现计算机可视化；然后在三维环境下的实体析并进行实体建模，实现计算机可视化；然后在三维环境下的实体模型上直接求解及表达，从而使得求解过程直观形象，易于掌握和模型上直接求解及表达，从而使得求解过程直观形象，易于掌握和分析，可大大提高设计和作图的精度和速度，也更适合于现代化无分析，可大大提高设计和作图的精度和速度，也更适合于现代化无图
29、纸设计、表达和制造的生产方式。为了说明问题，本节介绍的计图纸设计、表达和制造的生产方式。为了说明问题，本节介绍的计算机辅助图解体系仍建立在算机辅助图解体系仍建立在AutoCAD-3D技术之上。技术之上。4.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.29 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.29使用使用AutoCAD-3D技术求解画法几何空间问题的计算机辅助工具主技术求解画法几何空间问题的计算机辅助工具主要有以下要有以下3个：个：用户坐标系用户坐标系UCS；点的过滤；点的过滤；查询工具。查询工具。1.用户坐标系用户坐标系UCS用户坐标系用户坐标系
30、UCS是一种三维坐标系。前面已经提到，在是一种三维坐标系。前面已经提到，在AutoCAD中设置的世界坐标系、柱面坐标系、球面坐标系及用户坐标系等中设置的世界坐标系、柱面坐标系、球面坐标系及用户坐标系等4种三维坐标系中，系统默认的坐标系是世界坐标系。种三维坐标系中，系统默认的坐标系是世界坐标系。要改变当前坐标系的方式可使用用户坐标系要改变当前坐标系的方式可使用用户坐标系UCS命令来实现。使用命令来实现。使用这一功能，可将三维空间直角坐标系的原点和方向按解题需要方便这一功能，可将三维空间直角坐标系的原点和方向按解题需要方便灵活地进行平移、旋转等多方位的坐标变换，并在新确定的空间直灵活地进行平移、旋
31、转等多方位的坐标变换，并在新确定的空间直角坐标系中以角坐标系中以XOY平面为基面作图。平面为基面作图。UCS的调用方法有多种：的调用方法有多种：(1)命令行输入：命令行输入：UCS ，可在命令行出现如图，可在命令行出现如图4.10的提示。的提示。4.4.1 求解画法几何问题的主要工具求解画法几何问题的主要工具4.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.30 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.30 (2)UCS工具栏的调用：工具栏的调用：“视图视图”下拉菜单下拉菜单/工具栏工具栏/UCS，可调出如，可调出如图图4.11所示的所示的UCS工具栏
32、。工具栏。图4.10 UCS命令行图图4.11 UCS工具栏工具栏 4.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.31 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.31该命令的常用选项及作用见表该命令的常用选项及作用见表4-4 4-4 表4-4 UCS命令的常用选项说明4.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.32 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.324.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.33 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.334.
33、4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.34 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.34 2.点的过滤点的过滤这一功能可以在确定直线的两个端点时，从前一点这一功能可以在确定直线的两个端点时，从前一点P1(x1，y1，z1)中取出中取出1个或个或2个方向的坐标值作为下一点的个方向的坐标值作为下一点的P2(x2，y2，z2)坐标值。坐标值。4.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.35 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.351)过滤一个坐标过滤一个坐标过滤点的一个坐标，一般用于绘制过滤点的一个
34、坐标，一般用于绘制XOY平面中的直线问题。平面中的直线问题。如要绘制如图如要绘制如图4.12(a)所示的平面图形，则当绘制到直线所示的平面图形，则当绘制到直线DE时时，欲由，欲由D点向左画水平线至点向左画水平线至E点，由于点，由于A点与点与E点的点的x值相同值相同(即即xE=xA但但yEyA)，此时则可在输入，此时则可在输入E点坐标后，先输入点坐标后，先输入“.x”，回车，在回车，在“于于(即需要相比较的点即需要相比较的点)”提示下选择提示下选择A点，意在点，意在E点点与与A点的点的x值相同，然后，在值相同，然后，在“需要需要YZ”的提示下输入的提示下输入“0”，回，回车即得车即得E点。绘制过
35、程如图点。绘制过程如图4.12(b)所示，其命令执行过程如图所示，其命令执行过程如图4.13所示。在实际操作过程中，同时打开窗口下方所示。在实际操作过程中，同时打开窗口下方“状态栏状态栏”中的中的“极轴极轴”、“对象捕捉对象捕捉”和和“对象追踪对象追踪”状态，即可快状态，即可快速实行过滤一个坐标的操作，如图速实行过滤一个坐标的操作，如图4.12(c)所示。所示。4.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.36 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.36(a)(b)(c)(a)(b)(c)图图4.12 4.12 过滤点的一个坐标过滤点的一个坐标4
36、.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.37 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.37图图4.13 4.13 过滤一个坐标的命令执行过程过滤一个坐标的命令执行过程2)2)过滤两个坐标过滤两个坐标过滤点的两个坐标，一般是指在过滤点的两个坐标，一般是指在XYZXYZ空间直角坐标系中绘制直线时，直线空间直角坐标系中绘制直线时，直线后一端点的三个坐标值中，要求有两个坐标与前一端点的相同而第三个不后一端点的三个坐标值中，要求有两个坐标与前一端点的相同而第三个不同。同。4.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.38
37、 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.38【例【例4.1】如图如图4.14(a)所示，要求过点所示，要求过点A作一直线作一直线AB垂直于平面垂直于平面P(B为垂足，此问题也可理解为求作空间点为垂足，此问题也可理解为求作空间点A向一般位置平面向一般位置平面P作投作投影影)。分析：要求直线分析：要求直线AB平面平面P，则相对于，则相对于P面来说，面来说，A、B两点的两点的x、y坐标值相等而坐标值相等而z值不等。若设置一个新的空间直角坐标系，使其值不等。若设置一个新的空间直角坐标系，使其XOY面面“贴在贴在”P面上，则面上，则A、B两点的坐标应分别为：两点的坐标应分别为：A(x1，y
38、1，z1)，B(x2，y2，0)。其中，。其中，x2=x1，y2=y1。这时，再利用点的过滤。这时，再利用点的过滤工具确定工具确定B点。点。作图步骤：作图步骤：坐标系转换。使用坐标系转换。使用UCS命令中的命令中的“3点点UCS”命令命令 将空间直角坐将空间直角坐标系的标系的XY平面贴于平面平面贴于平面P上，如图上，如图4.14(b)所示。所示。应用过滤功能确定垂足应用过滤功能确定垂足B。调用直线命令和。调用直线命令和“节点捕捉节点捕捉”命令命令，在，在“指定第一点指定第一点”提示下选择点提示下选择点A，然后在，然后在“指定下一点指定下一点”提示提示下输入下输入“.xy”并回车。并回车。4.4
39、 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.39 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.39(a)(b)(c)(a)(b)(c)图图4.14 4.14 过滤两个坐标过滤两个坐标图图4.154.15表明了过滤两个坐标时的命令执行过程。表明了过滤两个坐标时的命令执行过程。4.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.40 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.40图图4.15 4.15 过滤两个坐标的命令执行过程过滤两个坐标的命令执行过程3.3.查询工具查询工具这是最直接的一种设计工具。当实体建模完成后，在
40、这是最直接的一种设计工具。当实体建模完成后，在“查询查询”命令的子菜命令的子菜单中单中(如图如图4.164.16所示所示)，可以直接查询指定对象的距离、面积、点坐标的精，可以直接查询指定对象的距离、面积、点坐标的精确数值及坐标位置和方位，还可确定实体的质量特性，如实体的质量、体确数值及坐标位置和方位，还可确定实体的质量特性，如实体的质量、体积、边界框的大小和坐标、实体的质心、惯性矩、旋转半径及主力矩与质积、边界框的大小和坐标、实体的质心、惯性矩、旋转半径及主力矩与质心的心的X X-Y Y-Z Z方向等。这对于工程抽象问题中的点到直线、两平行直线、两方向等。这对于工程抽象问题中的点到直线、两平行
41、直线、两平行平面之间的距离等几何量定量问题的精确求解，对于工程实际问题中平行平面之间的距离等几何量定量问题的精确求解，对于工程实际问题中零零 4.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.41 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.41件部件的质量特性的确定及力学设计，都具有直接、准确、高效的功能，件部件的质量特性的确定及力学设计，都具有直接、准确、高效的功能，如图如图4.164.16所示。所示。图图4.16 4.16 查询命令查询命令4.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.42 第第4章章 投影变换的基本
42、概念投影变换的基本概念1.42在例在例4.14.1中，如要求出中，如要求出ABAB的实际长度，即点的实际长度，即点A A到平面到平面P P的垂直距离，则可使的垂直距离，则可使用用“查询查询”命令中的子命令命令中的子命令“距离距离(D D)”)”，按照命令行中的提示，分别选，按照命令行中的提示，分别选择择A A点和点和B B点，即可得知其距离值为点，即可得知其距离值为79.024179.0241。例例4.14.1还可以用还可以用“列表显示列表显示”的方法直接查询。例如在某平面的方法直接查询。例如在某平面P P上画了一上画了一个多边形后，使用个多边形后，使用“工具工具/查询查询/列表显示列表显示(
43、L)”(L)”命令可直接查看到该多边命令可直接查看到该多边形的所有信息。按命令行提示选择该多边形，即可弹出一个形的所有信息。按命令行提示选择该多边形，即可弹出一个AutoCADAutoCAD文本文本窗口，其中不仅列表显示出了该多边形各顶点的坐标、周长和面积，还窗口，其中不仅列表显示出了该多边形各顶点的坐标、周长和面积，还可记录作图的全部过程，如图可记录作图的全部过程，如图4.174.17所示。所示。单位：单位：m4.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.43 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.43图图4.17 4.17 列表显示列表显示(
44、LIST)(LIST)查询查询4.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.44 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.444.4.2 求解空间几何问题的基本方法求解空间几何问题的基本方法 以画法几何的空间分析为思维主线，综合应用以上三个主要基本工具，即以画法几何的空间分析为思维主线，综合应用以上三个主要基本工具，即可构成以下基本求解方法。可构成以下基本求解方法。1.坐标变换坐标变换利用利用UCS命令，建立坐标变换的概念。设计时可以根据画法几何问题中空命令，建立坐标变换的概念。设计时可以根据画法几何问题中空间分析的结果，将当前的空间直角坐标系进行
45、平移、旋转，以实现画法几间分析的结果，将当前的空间直角坐标系进行平移、旋转，以实现画法几何中将一般位置几何量变为特殊位置几何量，再配合查询及尺寸标注等其何中将一般位置几何量变为特殊位置几何量，再配合查询及尺寸标注等其他工具，即可解决直线的实长、平面的实形等定形问题；直线与直线、直他工具，即可解决直线的实长、平面的实形等定形问题；直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角等问题，如图线与平面、平面与平面之间的夹角等问题，如图4.18所示。所示。4.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.45 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.45图图4.1
46、8 4.18 点与直线向平面点与直线向平面P P进行投影进行投影2.2.直线的投影直线的投影利用利用“点的过滤点的过滤”功能以及与功能以及与UCSUCS坐标变换的配合，即可实现在计算机坐标变换的配合，即可实现在计算机三维环境下将空间直线向任一平面的投影，并可使一系列画法几何空三维环境下将空间直线向任一平面的投影，并可使一系列画法几何空间问题迎刃而解。如图间问题迎刃而解。如图4.184.18所示，所示，4.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.46 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.46在作出空间直线在作出空间直线ABAB对平面对平面P P
47、的投影的投影abab后，即可引申出后，即可引申出“点到平面的距离点到平面的距离”、“直线与平面的交点直线与平面的交点”、“直线与平面的夹角直线与平面的夹角”等问题的求解。等问题的求解。同理，在作出空间平面同理，在作出空间平面ABCABC对平面对平面P P的投影后，两平面的交线及二面角等问的投影后，两平面的交线及二面角等问题也就随之得到了解答，分别如图题也就随之得到了解答，分别如图4.194.19和图和图4.204.20所示。从而对空间问题实所示。从而对空间问题实现空间直接求解。现空间直接求解。图图4.19 4.19 平面的投影及其引申出的交线问题平面的投影及其引申出的交线问题 图图4.20 4
48、.20 平面的投影及其引申出的二面角问平面的投影及其引申出的二面角问题题4.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.47 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.47 【例【例4.2】用基于用基于AutoCAD的计算机辅助图解法，求的计算机辅助图解法，求ABC对对XOY投影面的夹角投影面的夹角(如图如图4.20所示所示)。空间分析：这是一个求解二面角的空间几何问题。如图空间分析：这是一个求解二面角的空间几何问题。如图4.22所示，要求所示，要求出两平面间夹角，必须作出第三个平面出两平面间夹角，必须作出第三个平面P，使其同时垂直于已知的，使其同时垂
49、直于已知的两平面。而该两平面与平面两平面。而该两平面与平面P的交线的交线AD与与DE的夹角，即为所求的的夹角，即为所求的二面角二面角 。图图4.21 4.21 求求ABCABC对对XOYXOY投影面的夹角投影面的夹角 图图4.22 4.22 图解分析图解分析4.4 4.4 计算机辅助画法几何问题的图解法计算机辅助画法几何问题的图解法1.48 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.48解题步骤：解题步骤：(1)(1)调用调用UCSUCS用户坐标系。用户坐标系。(2)(2)坐标转换：调用坐标转换：调用UCSUCS工具栏中的工具栏中的“3 3点点UCS”UCS”命令，将空间直角命令，将
50、空间直角坐标系的坐标系的XOYXOY面面“贴在贴在”题目所给的题目所给的XOYXOY平面上，如图平面上，如图4.23(a)4.23(a)所示所示。(3)(3)作一平面垂直于两已知平面，即：作一平面垂直于两已知平面，即：用点的过滤功能，过用点的过滤功能，过A A点作点作AEAEXOYXOY平面，如图平面，如图4.23(b)4.23(b)所示；所示；使用使用“直线直线”命令和命令和“垂直捕捉垂直捕捉”辅助工具，过辅助工具，过E E点向点向CBCB作垂作垂线线EDED，再连接，再连接ADAD，则，则AEDAED即为即为ABCABC和和XOYXOY面的公垂面，如图面的公垂面，如图4.23(c)4.23
