1、 1 云南省玉溪市 2016-2017学年高二数学下学期期中试卷 理 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 .） 1 已知集合 ? ?1,2,3,4,5M ? ,集合 ? ?4log 1N x x?， 则 MN?( B ) A ? ?1,2,3 B ? ?4,5 C N D M 2 若 i 是虚数单位，则复数 132 iz i? 在复平面内所对应的点位于 ( B ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3.设 a ， bR? ，若 ab? ，则（ C ） A 11ab? B 22 bcac ? C ba ? ?22 D ba lglg ? 4某区实验幼儿
2、园对儿童记忆能力 x 与识图能力 y 进行统计分析，得到如下数据： 记忆能力 x 4 6 8 10 识图能力 y 3 5 6 8 由表中数据，求得线性回归方程为 45y x a?，当江小豆同学的记忆能力为 12时， 预测他的识图能力为（ B ） A 9 B 9.5 C 10 D 11.5 5 为得到 sin 2 3 cos 2y x x? 的图象 ， 只需要将 2sin2yx? 的图象 （ D ） A向左平移 3? 个单位 B向左平移 6? 个单位 C向右平移 3? 个单位 D向右平移 6? 个单位 6 命题 “ ,xR? 使 2 40x ax a? ? ? 为假命题”是“ 16 0a? ?
3、? ” 的（ C ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 2 7从集合 2， 3， 4， 21 ， 32 中取两个不同的数 ba, ，则 log 0ab? 的概率为（ D ） A 15 B 12 C 35 D 25 8设 ? ? ?2 , 0,1()2 1, 2xxfx xx? ? ? ? ，此函数图像与 x 轴围成封闭区域的面积为（ C ） A 34 B 45 C 56 D 67 9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 为（ D ） A.35 B. 3310 C. 310 D. 335 10对于大于 1的自然数 m 的三次幂 ， 可用奇数进行以
4、下方式的“分裂” ： 32 3 5? ， 33 7 9 11? ? ? ， 34 13 15 17 19? ? ? ?，?，仿此，若 3m 的“分裂数”中有一个是 59 ，则 m 的值为 ( A ) A 8 B 7 C.6 D 9 11.已知 ,PAB 是双曲线 22 1( 0, 0 )xy abab? ? ? ?上不同的三点，且 ,AB关于原点对称，若直线 ,PAPB 的斜率乘积 43?PBPA kk，则该双曲线的离心率是（ C ） A 2 B 32 C. 72 D 22 12定义域为 R 的函数 ()fx， 对任意 x 都有 (2 ) (2 )f x f x? ? ?，且其导函数 ()fx
5、? 满足 ()02fxx? ? ，则当 24a?时 ，有（ A ） A 2(2 ) (lo g ) (2 )af f a f? B 2(lo g ) (2 ) (2 )af a f f? C 2(2 ) (2 ) (lo g )af f f a? D 2(lo g ) (2 ) (2 )af a f f? 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 .） 3 13. 已知 向量 ba?, 满足 6?ba ? ， 2?ba ? ，则 ba? _. 1 14.已知曲线 1C 的极坐标方程为 2sin? ，曲线 2C 的极坐标方程为 ()3?R， 曲线 12CC， 相交于点 MN， ，则
6、弦 MN 的长为 _ 3 15 已知 21 ( 2 ) , 3 1( ) , ( )2 ( 2 ) , 1 1xxxf x e g xg x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 则 在 区 间 ? ?3,? 上函数( ) ( )y f x g x?的零点个数为 . 4个 16.过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 ,AB AC AD ，且两两夹角都为 60 ，若球 O半径为 3，求弦 AB 的长度 为 _. 26 三、解答题（本大题共六小题，共 70分 .解答应写出必要的演算步骤和文字说明。） 17已知函数 ( ) | 1|f x x? （ I）解不等式 ( ) ( 4)
7、8f x f x? ? ?； （ II）若 1, 1ab?，且 0a? ，求证： ( ) ( )bf ab a f a? 【解 】 （ ） f（ x） +f（ x+4） =|x 1|+|x+3|= ， 当 x 3时，由 2x 28 ，解得 x 5； 当 3x1 时， f（ x） ?8不成立； 当 x 1时，由 2x+28 ，解得 x3 所以，不等式 f（ x） 4 的解集为 x|x 5或 x3 （ ） f（ ab） |a|f（ ），即 |ab 1| |a b| 因为 |a| 1， |b| 1， 所以 |ab 1|2 |a b|2=（ a2b2 2ab+1）（ a2 2ab+b2） =（ a2
8、1）（ b2 1） 0， 所以 |ab 1| |a b|，故所证不等式成立 4 18 在 ABC? 中， ,abc分别是角 ,ABC 的对边，且 12 s in s in ( 1 ) 1ta n ta nAC AC ? ? ? （ ）求 B 的大小； （ ） 若 33 ,32a c b? ? ?，求 ABC? 的面积 解 :（）由 12 s in s in ( 1 ) 1ta n ta nAC AC ? ? ?得 2(sin Asin C cos Acos C) 1， cos(A C) 12， cos B 12，又 0 B ， B 3 . （ ） 由余弦定理，得 cos B a2 c2 b22
9、ac 12，（ a c） 2 2ac b22ac 12， 又 a c 3 32 ， b 3， 274 2ac 3 ac， ac 54， S ABC 12acsin B 12 54 32 5 316 . 19. 已知 ( ) 2 sin( )36f x x?，集合 | ( ) 2 , 0M x f x x? ? ? ，把 M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列 * ,( )na n N? 。 （）求数列 na 的通项公式； （）设数列 nb 满足： 11 21,nnnb b b a? ? ?，求 nb 的通项公式。 【解】（）由 ? ? 2 s in 236f x x? ? ?，得 sin
10、136x? ? ?， 即 3 6 2xk? ? ? ? ?，其中 kZ? ， 3 1,x k k Z? ? ? ?， 又 0x? ， ? ?3 1,M x x k k N? ? ? ? ?，依题意，可得数列 ?na 是首项为 1，公差为 3的等差数列， ?数列 na 的 通项公式为 32nan?， *nN? （）当 2n? 时， 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )n n n n nb b b b b b b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 1 2 1 12 2 2nna a a b? ? ? ? = ? ? ? ?123 2 2 2 2 1 1nn n? ? ? ? ?
11、? = ? ? ? ?12 1 23 2 1 1 3 .2 2 312 n nnn? ? ? ? ? ? ? 当 1n? 时，上式也成立 。 ? nb =3.2 2 3n n?（ *nN? ） 5 20如图， 四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形， DE 平面 ABCD， AFDE ， DE=3AF， BE与平面 ABCD所成角为 60 （ ）求证： AC 平面 BDE； （ ）求二面角 F BE D的余弦值； 【解 】（ ） 因为 DE 平面 ABCD，所以 DEAC 因为 ABCD是正方形，所以 ACBD ，从而 AC 平面 BDE （ ）因为 DA， DC， DE 两两垂直，所以建立
12、空间直角坐标系 D xyz如图所示 因为 BE 与平面 ABCD所成角为 600，即 DBE=60 ， 所以 由 AD=3，可知 63?BD ， ， 则 A（ 3， 0， 0）， ， B（ 3， 3， 0）， C（ 0， 3， 0）， 所以 ， 设平面 BEF的法向量为 =（ x， y， z），则 ，即 令 ，则 = 因为 AC 平面 BDE，所以 为平面 BDE的法向量， 所以 cos 因为二面角为锐角，所以二面角 F BE D的余弦值为 21已知 12,FF分别是椭圆 C ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的两个焦点，且 122FF? ，点6( 2, )2 在该椭圆上 （ ）
13、求椭圆 C 的 标准 方程； （ ）设直线 与以原点为圆心， b 为半径的圆相切于第一象限，切点为 M ，且直线 与椭圆交于 ,PQ两点，问 22F P F Q PQ?是否为定值？如果是，求出定值；如不是，说6 明理由 【解 】 （ ） F1， F2分别是椭圆 C： 的两个焦点， 且 |F1F2|=2，点 在该椭圆上由题意，得 c=1，即 a2 b2=1， 又点 在该椭圆上， ， 由 联立解得 a=2， ， 椭圆 C的方程为 （ ）设 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2）， ， ， 连接 OM， OP，由相切条件知： ， 同理可求得 ， |F2P|+|F2Q|+|PQ|=2+2=4为定
14、值 22.已知函数 x axxf )ln()( ? . ( ) 若 1a? ,证明 :函数 ?fx在 ? ?0,? 上 是 减函数； ( ) 若曲线 ? ?y f x? 在点 ? ?1, 1f 处的切线与直线 0xy?平行 ,求 实数 a 的值； ( ) 若 0x? ，证明 : ? ?ln 1 e1xx xx? ? ?(其中 e 2.71828? ?是自然对数的底数 ) 7 【解 】 () 当 1a? 时 ,函数 xxxf )1ln()( ? 的定义域是 ? ? ? ?1,0 0,? ?， ? ? ? ?2ln 11x xxfx x? ? , 令 ? ? ? ?ln 11xg x xx? ?
15、? ，? ? ? ? ? ?2211 1 xgx xxx? ? ? ? ? 当 0x? 时 ， ? ? 0gx? ? 故 ?gx在 ? ?0,? 上 是 减函数 ， 所以 ? ? ? ?0 ln 1 0g x g? ? ? ? 所以 ? ? 0fx? ? ,函数 ?fx在 ? ?0,? 上 是 减函数 () 因为2)ln ()(xaxax xxf ? ， 由题意知 1)1( ?f ， 即 ? ?1 ln 1 11 aa ? ? ? ， ? ?ln 1 01 a aa ? ? ? 令 ? ? ? ?ln 1 , 11 at a a aa? ? ? ? ， 则 ? ? ?211 011ta aa?
16、 ? ? ? 故 ?ta在 ? ?,1? 上 是 增函数 ,又 ? ?00t ? ， 因此 0 是 ?ta的唯一零点 ， 即方程 ? ?ln 1 01 a aa ? ? ? 有唯一实根 0 ， 所以 0a? () 因为 ? ?ln e 1 1ln ee 1 e 1 e 1xxx x xx? ? ?， 故原不等式等价于 ? ? ? ?ln e 1 1ln 1 e1xxxx ? ? ? 由 () 知 ,当 1a? 时 , ? ? ? ?ln 1xfx x? 在 ? ?0,? 上 是 减函数 ， 故要证原不等式成立 ,只需证明 :当 0x? 时 , e 1xx? 令 ? ? e 1xh x x? ? ?， 则 ? ? e 10xhx? ? ? ?, ?hx在 ? ?0,? 上 是 增函数 , 所以 ? ? ? ?00h x h?， 即 e 1xx?， 故 ? ? ? ?1exf x f? 即? ? ? ?ln e 1 1ln 1 e 1 e 1xxxx xx ? ?
