1、 1 重庆市沙坪坝区 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 文 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一 .选择题 (每小题 5 分 ,共 60 分，每小题只有一个选项是正确的 ,把正确答案填写在括号内 ) 1.若集合 ? ? ? ?22 , 4 , , 6 , 8 , B | 9 1 8 0A x x x? ? ? ? ?，则 AB? （ ） A ? ?2,4 B ? ?4,6 C ? ?6,8 D ? ?2,8 2.若复数 ? ?12aiaRi? ? 为纯虚数，其中为虚数单位，则 a? （ ） A 3? B 2? C 2 D 3.函数 2 32 3 lo g ( 2 )y
2、 x x x? ? ? ? ?的定义域为 ( ) A.? ? ? ?, 1 3,? ? ? B.? ? ? ?, 1 3,? ? ? C.? ?2, 1? D.? ? ? ?2, 1 3,? ? ? 4.已知直线 20ax by? ? ? 与曲线 3yx? 在点 (1,1)P 处的切线互相垂直，则 ab 的值为 ( ) A.13 B.23 C. 23? D. 13? 5.已知命题 11: 4p a? ，命题 2: , 1 0q x R ax ax? ? ? ? ?，则 p 成立是 q 成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 .函数 )1n(1)
3、( 2 ? xxf 的图象大致 是（ ） 7.若 1( ,1)x e? ，设 ln ,ax? 1ln2xb? ， lnxce? 则 ,abc的大小关系为 ( ) A. c b a?. B. bac? C. abc? D. b c a? 8.某算法的程序框图如右图所示，如果输出的结果为 26，则判断框内的条件应为 ( ) A 5k? B 4k? C 3k? D 4k? 9.若函数 )21(lo g)( 2 ? axxxfa有最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A. ），（ 10 B. )2,1( C. )2,1()1,0( ? D. ),2( ? 10. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名
4、嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实” .经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） 2 A甲 B乙 C.丙 D丁 11.已知 ()fx是定义在 R 上的偶函数，且在 ? ?,0? 上单调递增，若实数 a 满足 1(2 ) (4)aff? ? ，则 a 的取值范围是（ ） A ? ?,1? B ? ? ? ?,1 3,? ? C ? ?1,3? D ? ?3,? 12. 已知 ()fx 为奇函数，当 0x? 时，
5、 2 1 ( 0 1 )() 1( 1)x xfx xx? ? ? ? ? ?， ()gx 为偶函数，当 0x? 时，2( ) 4 4g x x x? ? ? ?，若存在实数 a ，使得 ( ) ( )f a g b? 成立，则实数 b 的取值范围是（ ） A ? ?1,1? B 11( , )33? C ? ? ? ?3, 1 1,3? D ? ? ? ?, 3 3,? ? ? 二填空题（每小题 5 分 ,共 20 分） 13.设函数 3lo g , 0 9 ,()( 4 ), 9 ,xxfx f x x? ? ?则 (13)f 的值为 _ 14. 设函数 ? ? 2l o g , 04 ,
6、 0xxxfx x ? ? ?若函数 ? ()g x f x k?存在两个零点，则实数 k 的取值范围是 _. 15.已知 2lg8lg2lg,0,0 ? yxyx ,则yx 311?的最小值是 _. 16.已知函数 4( ) logf x x? ，实数 nm、 满足 nm?0 ，且 ? ? ? ?nfmf ? ，若 ?xf 在 2,mn?的最大值为2 ，则 _nm? 三解答题（共 70 分） 17. （本小题满分 12 分） 设 :p 实数 x 满足： 034 22 ? aaxx （ ?a ）， :q 实数 x 满足： 121?mx ， ? ?2,1?m （ 1）若 41?a ，且 qp?
7、为真，求实数 x 的取值范围； （ 2） q 是 p 的充分不必要条件 ，求实数 a 的取值范围 . 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 32()f x ax bx cx? ? ?在点 0x 处取得极大值，其导数 /()fx的图像经过点 (1,0),(2,0) 两点，如图所示 （ 1）求 0x 的值； 3 （ 2）求 ,abc的值 . 19. （本小题满分 12 分） 近年我国北方地区 空气污染较为严重 .现随机抽取去年（ 365 天）内 100 天的空气中 2.5PM 指数的检测数据，统计结果如下： 2.5PM ? ?0,50 ? ?50,100 ? ?100,150 ? ?150,2
8、00 ? ?200,250 ? ?250,300 300? 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为 S （单 位：元）， 2.5PM 指数为 x ，当 x 在区间 ? ?0,100 内时对企业没有造成经济损失；当 x 在区间 ? ?100,300 内时对企业造成经济损失满足一次函数关系（当 2.5PM 指数为 150 时造成的经济损失为 500 元，当 2.5PM 指数为 200 时，造成的经济损失为 700 元）；当 2.5PM 指数 大于 300 时造成的经济损失为 2000
9、元 . （ 1）试写出 ?Sx的表达式； （ 2）根据去年样本估计在今年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元的概率； （ 3）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有 95%的把握认为北方去年空气重度污染与供暖有关？ 附： ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 n a d b cKa b c d a c b d? ? ? ? ?，其中 n a c d? ? ? ? . 20. （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) logaf x x? ， ( ) lo g (2 2 )ag x x t? ? ?
10、，其中 0a? 且 1a? ， tR? （ 1）若 01a?，且 1 ,24x? 时，有 2 ( ) ( )f x g x? 恒成立，求实数的取值范围； （ 2）若 4t? ，且 1 ,24x? 时， ( ) 2 ( ) ( )F x g x f x?的最小值是 2? ,求实数 a 的值 . 21. （本小题满分 12 分） 非重度 污染 重度 污染 合计 供暧季 非供暖季 合计 100 ? ?2 0P x k? 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k 2.07 2.70 3.74 5.02 6.63 7.87 4 已知函数 .ln)(,21)( 2 xexgx
11、xf ? （ 1）设函数 ),()()( xgxfxF ? 求 )xF 的单调区间并求最小值 ; （ 2）若存在常数 ,mk 使得 mkxxf ?)( 对 Rx? 恒成立，且 mkxxg ?)( 对 ),0( ?x 恒成立，则称直线 mkxy ? 为函数 )(xf 与 )(xg 的“分界线”， 试问： )(xf 与 )(xg 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请 说明 理由 . 选作题 22（本小题满分 10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知圆 C 的极坐标方程为 2cos? ，直线的参数方程为1322 (1122xttyt为 参 数 ）? ? ?，点 A
12、的极坐标为2()24， ? ，设直线与圆 C 交于点 ,PQ (1)写出圆 C 的直角坐标方程； (2)求 AP AQ? 的值 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 1 | | 2 2 | .f x x x? ? ? ? （ 1）解不等式 ( ) 5;fx? （ 2）若不等式 ( ) ( )f x a a R?的解集为空集，求的取值范围 . 数学答案（文科） 2017.5 5 一选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B D D A A D C B B C C 二填空题 13.2 14. (0， 1. 15.4 16. 16 三
13、解答题： 17（本小题满分 12 分） 解答：（ 1） : 3 ( 0),p a x a a? ? ?当 14a? 时， 13: 44px? ? 2 分 1:12qx? qp? 为真， ?p 真且 q 真。 1313441 2412xxx? ? ? ? ? ?，所以实数 x 的取值范围为 1324xx? 6 分 （ 2） q 是 p 的充分不必要条件 记 ? ?1 1 , 3 , 02A x x B x a x a a? ? ? ? ? ? ?，则 A 是 B 的真子集 11 1122 323 1 3 1aa aaa或? ? ? ?，且等号不同时成立，? 11 分 所以 a 的取值范围 为 1
14、132?，? 12 分 18. (1)由 /()fx随 变化的情况 可知当 1x? 时 ()fx取到极大值 5,则 0 1x? ? 5 分 (2)/2( ) 3 2 , ( 0 )f x a x b x c a? ? ? ?由已知条件 1, 2xx?为方程 23 2 =0ax bx c?,的两根 ,? 7 分 因此52 3323abcbaca? ? ? ? ?解得 2, 9, 12a b c? ? ? ? 12 分 6 19解： ( )可得：? ?0 , 0 , 1 0 0 ,( ) 4 1 0 0 , (1 0 0 , 3 0 0 ,2 0 0 0 , ( 3 0 0 , ) .xS x x
15、 xx? ? ? ? ? ? ? 3 分 ( )设“在本年内随机抽取一天，该天经 济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元”为事件 A ， 由 500 900S? 得 150 250,?w 频数为 39， 39( ) ,100?PA ? 7 分 （ III）根据以上数据得 到如下列联表： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 22 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 ? 9 分 2K 的观测值 21 0 0 (6 3 8 2 2 7 ) 4 . 5 7 5 3 . 8 4 1 ,8 5 1 5 3 0 7 0? ? ? ? ? ? ? ?k ? 11 分 所以有 9
16、5%的把握认为空气重度污染与供暖有关? 12 分 20（本小题满分 12 分） （ 1）解答： 2 ( ) ( )f x g x? 恒成立，即 2 lo g lo g ( 2 2 )aax x t? ? ?恒成立， 即 2lo g lo g ( 2 2 )aax x t? ? ? 2 分 ，又因为 ? ? 10 ,1 , 24ax?， 所以 2 22x x t? ? ? 恒成立，即 2 22t x x? ? ? 对 1,24x ?恒成 立? 4 分 所以 ? ?2m a x2 2 2t x x? ? ? ?故的范围为 ? ?2+?， ? 6 分 （ 2） 4t? ? ? 241 1( ) (
17、) ( ) 2 l o g ( 2 2 ) l o g l o g l o g 4 ( 2 )a a a axF x g x f x x x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 易知： 1( ) 4( 2)h x x x? ? ?在 1,14?单调递减，在 ? ?12， 单调递增。且 1( ) (2)4hh? 所以：m i n m a x 1( ) (1 ) 1 6 , ( ) ( ) 2 54h x h h x h? ? ? ?所以：当 1a? 时， min( ) log 16,aFx ? 由 1lo g 1 6 2 4a a? ? ? ?（舍去）? 10 分 当 01a?时， m
18、in( ) log 25,aFx ? 由 1lo g 2 5 2 5a a? ? ? ? 11 分 综上： 15a? ? 12 分 21. 解答（ 1）由于函数 ?xf 212x ， ? ? xexg ln? ， 因此 ? ? ? ? ? ? xgxfxF 212x xeln? ， 则 ? ? ? ? ? ?2/ ( ) , 0 ,x e x ee x eF x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? 3 分 7 当 ? ?0,xe? 时， /( ) 0Fx? ，所以 ()Fx在 ? ?0,xe? 时是减函数， 当 ? ?+xe?， 时， /( ) 0Fx? ，所以 ()Fx在 ? ?+xe?， 时是增函数，? 5 分 所以 m in( ) ( ) 0F x F e? （ 2） 由（ 1）知： m in
