1、7.1 空间解析几何简介空间解析几何简介7.2 多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性7.3 偏导数与全微分偏导数与全微分7.4 多元复合函数与隐函数微分法多元复合函数与隐函数微分法7.5 多元函数的极值多元函数的极值7.6 二重积分二重积分第七章第七章 多元函数微积分学简介多元函数微积分学简介7 71 1 空间解析几何简介空间解析几何简介v空间直角坐标系空间直角坐标系v空间中任意两点间的距离空间中任意两点间的距离v曲面及其方程曲面及其方程v其他的二次曲面其他的二次曲面 精品资料微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社1.1.空间直角坐标系：空间直角坐标系：三个坐标轴的正
2、方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.空间直角坐标系空间直角坐标系x横轴横轴z竖轴竖轴y纵轴纵轴 定点定点o微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0,0,0(O),(zyxM xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C微积分简
3、明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1M 2M?21 MMd,222212NMPNPMd 2 2、空间两点间的距离、空间两点间的距离,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .zzyyxx212212212 空间两点间距离公式空间两点间距离公式PN微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 例1 求证以M 1(4，3，1)、M 2(7，1，2)、M 3(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 解 因为|M 1M 2|2(74)2(13)2(21)
4、214，|M 2M 3|2(57)2(21)2(32)26，|M 1M 3|2(54)2(23)2(31)26，所以|M 2M 3|M 1M 3|，即DM 1M 2M 3为等腰三角形微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 例2 在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点 解 设所求的点为M(0,0,z)，依题意有|MA|2|MB|2，即 (04)2(01)2(z7)2(30)2(50)2(2z)2解之得所以，所求的点为M(0,0,)914 z914，微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社3 3曲面及其方程曲面及其方程曲面的实例：曲面的实例：
5、水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),(zyxF有有下下述述关关系系：（1 1）曲曲面面S上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；那那么么，方方程程0),(zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 例3 设有点A(1，2，3)和B(2，1，4)，求线段AB的垂直平分面的方程 解 由题意知道，所求的平面就是与A和B等
6、距离的点的几何轨迹 设M(x，y，z)为所求平面上的任一点，由于|AM|BM|，所以等式两边平方，然后化简得2x6y2z70这就是线段AB的垂直平分面的方程Ozx yABM222)3()2()1(zyx222)4()1()2(zyx222)3()2()1(zyx222)4()1()2(zyx微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社Ozx yM0RM 例4 建立球心在点M 0(x 0，y 0，z 0)、半径为R的球面的方程 解 设M(x，y，z)是球面上的任一点，那么|M 0M|R由于|M 0M|所以 R，或 (xx 0)2(yy 0)2(zz 0)2R 2这就是建立球心在点M
7、0(x 0，y 0，z 0)、半径为R的球面的方程 特殊地，球心在原点O(0，0，0)、半径为R的球面的方程为x 2y 2z 2R 2202020)()()(zzyyxx，202020)()()(zzyyxx微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 解 通过配方，原方程可以改写成(x3)2(y4)2z 225研究这方程所表示的曲面的形状研究曲面的两个基本问题：(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；(2)已知坐标x、y和z间的一个方程时，例5 方程x 2y 2z 26x8y0表示怎样的曲面？这是一个球面方程，球心在点M 0(3，4，0)、半径为5。微积分简明教程微
8、积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 例6 方程x 2y 2R 2表示怎样的曲面？解 方程x 2y 2R 2在xOy 面上表示圆心在原点O、半径为R的圆 在空间直角坐标系中，这方程不含竖坐标 z，即不论空间点的竖坐标 z 怎样，只要它的横坐标x和纵坐标y能满足这方程，那么这些点就在这曲面上 因此，过xOy 面上的圆x 2y 2R 2，且平行于 z 轴的直线一定在x 2y 2R 2表示的曲面上RRx 2y 2R 2Ox yz所以这个曲面可以看成是由平行于 z 轴的直线 l 沿xOy 面上的圆x 2y 2R 2移动而形成的l微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社它的准线是xO
9、y 面上的抛物线 y 22x，该柱面叫做抛物柱面 又如，方程xy0表示母线平行于z轴的柱面，其准线是xOy面的直线xy0，所以它是过z 轴的平面Oxyzxy0yOxz y 22x 例如，方程 y 22x 表示母线平行于z轴的柱面，微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社1222222czbyax椭球面4 4其他的二次曲面其他的二次曲面)0,(1222222cbaczbyax单叶双曲面)0,(1222222cbaczbyax双叶双曲面 xyo-2-1012-202-202-2-1012-202-10010-10-50510-20-1001020-10-50510微积分简明教程微积
10、分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社)0,(2222babyaxz椭圆抛物面)0,(2222baaxbyz双曲抛物面（马鞍面）xyzo微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社7 72 2 多元函数的极限和连续多元函数的极限和连续性性一、多元函数的基本概念一、多元函数的基本概念二、二元函数的极限二、二元函数的极限三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社一、多元函数的基本概念一、多元函数的基本概念 设D是一个非空有序二元数组的集合如果对于每个点 P(x，y)D，变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是 变 量
11、 x，y 的 二 元 函 数，记 为 z=f(x，y)二元函数的定义：其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量例1 函数z=ln(x+y)的定义域为 (x，y)|x+y0；Ox yx+y0微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社例2 函数zarcsin(x2y2)的定义域为 (x，y)|x2y21(有界闭区域)Ox yx2y21二元函数 的定义域在几何上表示为二维平面上的一个区域区域,围成该区域的曲线称为该区域的边界边界我们将包括边界在内的区域称为闭区域闭区域,不包括边界的区域称为开区域开区域如果该区域是延伸到无穷远的,称为无界区域无界区域,否则称为有界区域有界区域
12、有界区域总可以包含在一个以原点为圆心、半径足够大的圆内),(yxfz 微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社值域：z|z=f(x，y)，(x，y)D二元函数的图形：点集(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)D称为二元函数zf(x，y)的图形 二元函数的图形是一张曲面例3 z=a x+b y+c是一张平面，xyzOx0 y0M0微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社二、二元函数的极限二、二元函数的极限二元函数的极限：AyxfyxyxyxfAAyxfyxPyxPDyxyxfzyxyx),(),(0000000),(lim),(),(),(,),(),(),
13、(),(),(的极限，记时当为则称无限趋于时，且当设微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社xyzOx0 y0M0P0APPPP微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 必须注意：(1)二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无限接近于A (2)如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在例当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0，0)时函数的极限为零，当点P(x，y)沿直线y=k x 趋于点(0，0)时.0,0,0,222222yxyxyxxy 函数f(x，y)2200limyxxykxyx22220limxkxkxx21
14、kk微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社xyzOP0微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 解xxyyx)sin(lim20yxyxyyx)sin(lim20 xyxyyx)sin(lim20yyx20lim20limxyxyxy)sin(2 例 5 求xxyyx)sin(lim20微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性则称函数f(x，y)在点(x0，y0)连续二元函数连续性定义：设函数f(x，y)在(x0，y0)的某个邻域内有定义，如果 函数f(x，y)在区域(开区域或闭区域)D 内连续：是指函数
15、 f(x，y)在D内每一点连续此时称f(x，y)是D 内的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去),(),(lim0000yxfyxfyyxx微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的多元初等函数：是可用一个式子，由常数及具有不同自变量的一元基本初等函 数 经 过 有 限 次 的 四 则 运 算 和 复 合 步 骤 所 构成的 例如sin(x+y)是由sin u 与u=x+y 复合而成的，它是多元初等函数微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 如果f(P)是初等函数，且P0是f(P)的定义域的
16、内点，则用函数的连续性求极限：D(x，y)|x 0，y 0，点(1，2)是D的内点，函数f(x，y)在(1，2)是连续的，所以它的定义域为)()(lim00pfpfpp 例 6 求xyyxyx21limxyyx 解 函数f(x，y)是初等函数，21limyx f(x，y)f(1，2)23微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 解xyxyyx11lim00)11()11)(11(lim00 xyxyxyxyyx111lim00 xyyx21 例7 求 xyxyyx11lim00微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社性质1(最大值和最小值定理)：在有界闭区域D上
17、的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值性质2(介值定理)：在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社7 73 3 偏导数与全微分偏导数与全微分一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数二、高阶偏导数三、全微分的定义三、全微分的定义四四、全微分在近似计算中的应用、全微分在近似计算中的应用微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义：设函数zf(x，y)在点(x0，y0)的
18、某一邻域内有定义，当y 固定在y0 而x 在x0 处有增量Dx 时，相应地函数有增量 f(x0Dx，y0)f(x0，y0)，如果极限xyxfyxxfxDDD),(),(lim00000存在，记作则称此极限为函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对x 的偏导数，或 f x(x0，y0)00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz，微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社yyxfyyxfyDDD),(),(lim00000 类似地，函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y 的偏导数定义为00yyxxyz记作或 f y(x0，y0)00yyxxyz，00yyxxyf，微积分
19、简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社对自变量的偏导函数，记作偏导函数：如果函数zf(x，y)在区域D内每一点(x，y)处对x 的偏导数都 存在，那么这个偏导数就是x、y 的函数，它就称为函数zf(x，y)或 f x(x，y)xf，xz，z x，或 f y(x，y)类似地，可定义函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y 的偏导函数，记为yz，yf，z y，微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社xzyz32-214 例1 求zx23x y-y2在点(2，1)处的偏导数 解 2x3y，3x-2y 22317，21yxxz21yxyz2x sin 2y，例2 求zx2
20、 sin 2y的偏导数 解2x2 cos 2y xzyz微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 例 3 设 zx y(x0，x 1)，求证：zyzxxzyx2ln1xzyzyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11x yx y 2z 解y x y1，x yln x 例 4 求222zyxr的偏导数xr222zyxxyr222zyxy 解rx，ry微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R 为常数)，求证：1pTTVVpVpTVpR；证p VRT，因为V pRT，2VRT；pTpTTVVp2VRTpVRTT
21、 RpV，所以pRRV1RV微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社.0,0,0,222222yxyxyxxy证函数在该点连续偏导数与连续性：对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保 例如不连续 f(x，y)在点(0，0)有，f x(0，0)0，f y(0，0)0 但函数在点(0，0)点并微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社二二 高阶偏导数高阶偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数二阶偏导数：设函数zf(x，y)在区域D内具有偏导数xzf x(x，y)，yzf y(x，y).，那么在D 内fx(x，y)、fy(x，y)都是x，y 的
22、函数 如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数zf(x，y)的二阶偏导数22xzxzxyxzxzy2xyzyzx222yzyzyf y y(x，y)f x x(x，y)，f x y(x，y)，f y x(x，y)，微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数yxzxzy2f x y(x，y)，xyzyzx2f y x(x，y)，其中称为混合偏导数同样可得三阶、四阶以及n 阶偏导数 类似在可定义二元以上函数的高阶偏导数微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社22yz及33xz 例 6 设 zx3 y23x y3x y 1，求
23、 22xz、xyz2、yxz2、xzyz22xzxyz26x2 y9y21；解 3x2 y23y3y，2x3 y9x y2x；6x y2，yxz222yz33xz6y2 6x2 y9y21，2x318x y；微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等xyz2yxz2 定理 如果函数zf(x，y)的两个二阶混合偏导数 及在区域D内连续，微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社三、全微分的定义三、全微分的定义偏增量与偏微分：f(xDx，y)f(x，y)f x(x，y)Dx函数对x的偏增量函数对x的偏微分；f(x，yDy)f(x，y
24、)f y(x，y)Dy 函数对y的偏增量函数对y的偏微分；Dz f(xDx，yDy)f(x，y)称为函数在点P对于自变量增量Dx、Dy的全增量 全增量：微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社则称函数zf(x，y)在点(x，y)可微分，而称ADxBDy为函数 zf(x，y)在点(x，y)的全微分，记作dz，即 dz ADxBDy全微分的定义：如果函数zf(x，y)在点(x，y)的全增量 Dz f(xDx，yDy)f(x，y)可表示为 DzADxBDyo(r)，其中A、B不依赖于Dx、Dy 而仅与x、y 有关，22)()(yxDDr，如果函数在区域D 内各点处都可微分，那么称这函
25、数在D 内可微分微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 可微必连续，但偏导数存在不一定可微可微与连续：微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社且函数zf(x，y)在点(x，y)的全微分为定理(全微分存在的必要条件):如果函数zf(x，y)在点(x，y)可微分，则该函数在点(x，y)的xzyz偏导数 、必定存在，xzyz dz Dx Dy 个邻域内的任意一点P(xDx，yDy)，有DzADxBDyo(r)特别当Dy0时有 f(xDx，y)f(x，y)ADx o(|Dx|)证 设函数zf(x，y)在点P(x，y)可微分于是，对于点P的某xz上式两边各除以Dx，再令
26、Dx 0而取极限，就得 =A同理 =Byz所以xzyz dz Dx Dy 微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导二元函数不连续二元函数不连续不可微不可微微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社且函数zf(x，y)在点(x，y)的全微分为定理(全微分存在的必要条件):如果函数zf(x，y)在点(x，y)可微分，则该函数在点(x，y)的xzyz偏导数 、必定存在，xzyz dz Dx Dy 偏导数存在是可微分的必要条件，但不是充分条件 则
27、函数在该点可微分定理(充分条件):xzyz 如果函数zf(x，y)的偏导数 、在点(x，y)连续，定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 叠加原理也适用于二元以上的函数，例如函数uf(x，y，z)的全微分为叠加原理：若令Dxdx，Dydy，则xzyzdz dx dy 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理xuyuzudu dx dy dz 微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社2zxyx22zxyy 例例7 计算函数zx2y y2的全微分 解解 因为,且这两个偏导数连续,所以d
28、z2xydx(x22y)dy 微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社四四 、全微分在近似计算中的应用、全微分在近似计算中的应用 当二元函数zf(x，y)在点P(x，y)的两个偏导数f x(x，y)，f y(x，y)连续，并且|Dx|，|Dy|都较小时，有近似等式Dz dz f x(x，y)Dx f y(x，y)Dy，即 f(xDx，yDy)f(x，y)f x(x，y)Dx f y(x，y)Dy 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 解 设函数f(x，y)x y 显然，要计算的值就是函数在x105，y302时的函数
29、值f(105，302)取x1，y3，Dx005，Dy002由于 f(xDx，yDy)f(x，y)f x(x，y)Dx f y(x，y)Dy x y y x y1Dx x yln x Dy，所以(105)302 13 312100513ln 1002115 例8 计算(105)302的近似值微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 例9 有一圆柱体，受压后发生形变，它的半径由20cm增大到2005cm，高度由100cu减少到99cm求此圆柱体体积变化的近似值 解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V，则有V r 2h 已知r20，h100，Dr005，Dh1根据近似公式，有
30、DVVrDr VhDh 2rhDrr 2Dh 220100005202(1)200(cm3)即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm3微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社74 多元复合函数和隐函数微分法多元复合函数和隐函数微分法一、复合函数微分法一、复合函数微分法二、隐函数的微分法二、隐函数的微分法微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社)(),(ttfz 一、复合函数微分法一、复合函数微分法处偏导连续处偏导连续,则复合函数则复合函数定理：若函数定理：若函数,)(,)(可可导导在在点点ttvtu ),(vufz ),(vu在点在点在点在点 t 可导可导,且
31、有链式法则且有链式法则tvvztuuztzdddddd z证证:设设 t 取增量取增量t,则相应中间变量则相应中间变量vvzuuzzD D D D D D)()(22vuD D D D r r)(r ro vutt有增量有增量u,v,微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社,0D D t令令,0,0D DD Dvu则则有有toD D)(r r(全导数公式全导数公式 )tvvztuuztzD DD D D DD D D DD DtoD D)(r rzvutt)()(22vuD D D D r r)(r rr ro )()(22tvtuD DD D D DD D0(t t0 0 时
32、时,根式前加根式前加“”号号)tvtvtutudd,ddD DD DD DD Dtvvztuuztzdddddd 微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社推广推广:设下面所涉及的函数都可微设下面所涉及的函数都可微 .1)1)中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形.例如例如,),(wvufz tzdd 321fff2)2)中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.例如例如,),(,),(,),(yxvyxuvufz xz1211 ff2221 ff yzzzwvuvuyxyxttttuuzdd tvvzdd twwzdd xuuz xvvz yuuz yvvz )(
33、,)(,)(twtvtu 微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社又如又如,),(,),(yxvvxfz 当它们都具有可微条件时当它们都具有可微条件时,有有xz 121 ffyz 22 ffz xyx注意注意:这里这里 与与 不同不同,xz xf 表示固定表示固定 y 对对 x 求导求导,表示固定表示固定 v 对对 x 求导求导口诀口诀 :分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导xf xvvf yvvf vxz xf 微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社例例1 1 设设,sinyxvyxuvezu .,yzxz 求求解解xz v
34、eusin)cos()sin(yxyxyeyx yz )cos()sin(yxyxxeyx xuuz xvvz veucos yuuz yvvz y 1 veusin veucos x1 zvuyxyx微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社例例2 2,sin,),(2222yxzezyxfuzyx yuxu ,求求解解xu 2222zyxex yxyxeyxx2422sin22)sin21(2 zyxyxuyu 2222zyxey yxyxeyyxy2422sin4)cossin(2 xf xzzf 2222zyxez yf yzzf 2222zyxez yxsin2 yx
35、cos2 微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社例例3 3 设设,sintvuz .ddtzztvutttzddtev tttetcos)sin(cos tuuzdd tvvzdd tz 求全导数求全导数,teu ,costv 解解tusin tcos 微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社),(1zyxzyxf 例例4 4 设设 f f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,),(zyxzyxfw 求求.,2zxwxw 解解 令令,zyxvzyxu xw wvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy 则zxw 2111 f
36、22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy 121 fyxf 2221,ff微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 设函数F(x，y)在点P(x0，y0)的某一邻域内具有连续导数，F(x0，y0)0，Fy(x0，y0)0，则方程F(x，y)0，在点(x0，y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 yf(x)，它满足条件y0f(x0)，并有隐函数存在定理1dxdyyxFF二、隐函数的微分法二、隐函数的微分法微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 例5 求由方程x2y210确定的隐函数yf(x)的导数 解设F(x，
37、y)x2y21，则Fx 2x，Fy 2y，dxdyyxFFyx微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社xzyz 设函数F(x，y，z)在点P(x0，y0，z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0，y0，z0)0，Fz(x0，y0，z0)0，则方程程F(x，y，z)0在点(x0，y0，z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数zf(x，y)，它满足条件 z0f(x0，y0)，并有隐函数存在定理2zxFF，zyFF微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社xzzxFF 解 设F(x，y，z)x2y2z24z，则Fx2x，Fy2z4，22xz
38、例6 设x2y2z24z0，求 22xz2)2()2(zxzxx2)2()2()2(zzxxxzx2，322)2()2(zxx微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社7.5 多元函数的极值多元函数的极值一、多元函数的极值及最大值、最小值一、多元函数的极值及最大值、最小值二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社一、多元函数的极值及最大值、最小值一、多元函数的极值及最大值、最小值 设函数zf(x，y)在点(x0，y0)的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0，y0)的点(x，y)：如果都适合不等式f(x，y)f
39、(x0，y0)，则称函数在点(x0，y0)有极小值f(x0，y0)极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点.极值的定义：微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 例1 函数z3x24y2在点(0，0)处有极小值xyOz微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社xyzO 例 2 函数 z22yx 在点(0，0)处有极大值微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 例3 函数zxy 在点(0，0)处既不取得极大值也不取得极小值因为在点(0，0)处的函数值为零，而在点(0，0)的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点微积分简明教
40、程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 定理1 设函数zf(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：fx(x0，y0)0，fy(x0，y0)0取得极值的必要条件：类似地可推得，如果三元函数uf(x，y，z)在点(x0，y0，z0)具有偏导数，则它在点(x0，y0，z0)具有极值的必要条件为fx(x0，y0，z0)0，fy(x0，y0，z0)0，fz(x0，y0，z0)0 凡是能使fx(x，y)0，fy(x，y)0同时成立的点(x0，y0)称为函数zf(x，y)的驻点微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社讨论：驻点与
41、极值点的关系怎样？答：具有偏导数的函数的极值点必定是驻点但函数的驻点不一定是极值点微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 定理2 设函数zf(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一阶连续偏导数，又fx(x0，y0)0，fy(x0，y0)0，令fxx(x0，y0)A，fxy(x0，y0)B，fyy(x0，y0)C，则f(x，y)在(x0，y0)处是否取得极值的条件如下：(1)AC B 20时具有极值，且当A0时有极小值；(2)AC B 20，又A0，所以函数的(1，0)处有极小值f(1，0)5；在点(1，2)处，ACB 212(6)0，所以f(1，2)不是极值；在点(3
42、，0)处，ACB 21260，又A0，y0内取得水箱所用的材料最省设水箱的长为 x m，宽为 y m，则其高应为xy2 mA2(x yyxy2xxy2)，即2(x y x2y2)(x0，y0)令 A x2(y22x)0，A y2(x22y)0得 x32，y32又函数在 D 内只有唯一的驻点(32，32)，因此当水箱的长为 m、宽为 m、高为 m 时，33222323232微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 例如，求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题设长方体的三棱的长为x，y，z，则问题归结为求函数Vxyz在附加
43、条件2(xyyzxz)a2下的极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值条件极值：微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社求条件极值的方法：有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题 例如求函数Vxyz在附加条件2(xyyzxz)a2下的极值时，由条件2(xyyzxz)a 2，得将其代入Vxyz中，于是问题就化为求的无条件极值问题)(222yxxyaz V 2xy)(2(2yxxya微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 找函数zf(x，y)在条件(x，y)0下的可能极值点的方法是：拉格朗日乘数法：由这方程组解出x，y，则x，y就是所要求的可能的极值点 这种方法
44、可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形 至于如何确定所求的点是否是极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定 先构成辅助函数F(x，y)f(x，y)l(x，y)，其中l为某一常数 然后解方程组.0),(,0),(),(),(,0),(),(),(yxyxyxfyxFyxyxfyxFyyyxxxll微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 例6 求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积 解 设长方体的三棱的长为x，y，z，则问题就是在条件(x，y，z)2(xyyzxz)a 2=0下求函数Vxyz的最大值 构成辅助函数F(x，y，z)xyzl(2xy 2yz 2xz
45、 a 2)，解方程组.0222),(0)(2),(,0)(2),(,0)(2),(2axzyzxyzyxxyxyzyxFzxxzzyxFzyyzzyxFzyxlll66得xyz a，微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社这是唯一可能的极值点因为由问题本身可知最大值一定存在，366所以最大值就在这个可能的值点处取得此时V a3微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社7.6 二重积分二重积分一二重积分的定义和性质一二重积分的定义和性质二利用直角坐标计算二重积分二利用直角坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分微积分简明教程微积分简明教程
46、复旦大学出版社复旦大学出版社一一 二重积分的定义和性质二重积分的定义和性质 曲顶柱体的体积xyzODzf(x，y)设有一立体，它的底是xOy面上的闭区域D，它的侧面是以于z 轴的柱面，它 的 顶 是 曲 面zf(x，y)，D上连续 这种立体叫做曲顶柱这里f(x，y)0且在D 的边界曲线为准线而母线平行体微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 用一组曲线网把D分成个小区域 Ds 1，Ds 2，Ds n 曲顶柱体的体积 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体zf(x，y)xyzODDsi微积分简明教程微积分简明教
47、程复旦大学出版社复旦大学出版社 用一组曲线网把D分成个小区域 Ds 1，Ds 2，Ds n 曲顶柱体的体积 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体Dsi微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 用一组曲线网把D分成个小区域 Ds 1，Ds 2，Ds n 曲顶柱体的体积 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体Dsi微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社曲顶柱体的体积Dsi(x i，h i)在每个Ds i中任取一点(x i，h i
48、)，以f(x i，h i)为高，f(x i,h i)以Ds i为底作平顶柱体，微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社曲顶柱体的体积Dsi(x i，h i)f(x i,h i)这些平顶柱体体积之和为 在每个Ds i中任取一点(x i，h i)，以f(x i，h i)为高，以Ds i为底作平顶柱体，其体积为 f(x i，h i)Ds i (i1，2，n)Dniiiif1),(shx微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社zf(x，y)xyzODDsi曲顶柱体的体积可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 平顶柱体体积之和 曲顶柱体体积的精确值为其中l是个小区域的直径中的
49、最大值Dniiiif1),(shxiniiifVshxlD10),(lim，微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 设f(x，y)是有界闭区域D 上的有界函数将闭区域D任意分成n 个小闭区域 Ds 1，Ds 2，Ds n 其中Ds i表示第i 个小区域，也表示它的面积在第个Ds i上任取一点(x i，h i)，作和二重积分的定义：如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x，y)在闭区域D 上的二重积分，记作即Dniiiif1),(shxsdyxfD),(，sdyxfD),(，iniiifshxlD10),(lim微积分简明教程微积分简
50、明教程复旦大学出版社复旦大学出版社二重积分各部分名称：积分号，被积函数，f(x，y)被积表达式，f(x，y)ds 积分变量，x，y积分区域，D面积元素，ds积分和sdyxfD),(，iniiifshxlD10),(limDiniiifshxD1),(微积分简明教程微积分简明教程复旦大学出版社复旦大学出版社 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域直角坐标系中的面积元素：设矩形闭区域Ds i的边长为Dxi 和Dyi，则Ds i DxiDyi，而把二重积分记作因此在直角坐标系中，有时也把面积元素ds 记作dxdy，其中dxd
