1、第 1 页 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(山东卷) 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.设集合 Ax|1x3,Bx|2x4,则 AB ( ) A.x|2x3 B.x|2x3 C.x|1x4 D.x|1x4 2. 2i 12i( ) A. 1 B.1 C. i D.i 3.6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学 只去 1 个场馆,甲场馆安排 1 名,乙场馆安排 2 名,丙场 馆安排 3 名,则不同的安排方法共有( ) A.120 种 B.90 种 C.60 种 D.30 种 4.日晷
2、是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面 垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看 成一个球(球心记为 O),地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角,点 A 处的水平面是指过 点 A 且与 OA 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷,若 晷面与赤道所在平面平行,点 A 处的纬度为北纬 40 , 则晷针与点 A 处的水平面所成角为( ) A. 20 B. 40 C. 50 D. 90 5.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有 96%的学生 喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢 游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该 校学生总数的比例是( ) A.
3、62% B.56% C.46% D.42% 6.基本再生数R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学 基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数, 世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠 肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)ert描述累 计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数 增长率 r 与 R0,T 近似满足 R0 1rT.有学者基于已 有数据估计出 R03.28,T6.据此,在新冠肺炎疫情 初始阶段,累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为 (ln20.69) ( ) A.1.2 天 B.1.8 天 C.2.5 天 D.3.5 天 7.已知 P 是边长为
4、2 的正六边形 ABCDEF 内的一点, 则AP AB 的取值范用是( ) A.(2,6) B.(6,2) C.(2,4) D.(4,6) 8.若定义在 R 的奇函数 f(x)在(,0)单调递减,且 f(2)0,则满足 xf(x1)0 的 x 的取值范围是( ) A.1,13,) B.3,10,1 C.1,01,) D.1,01,3 二、 选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每 小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的 得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分. 9.已知曲线 C:mx2ny21( ) A.若 mn0,则 C 是椭圆,其焦点在 y 轴上
5、 B.若 mn0,则 C 是圆,其半径为 n C.若 mn0,则 C 是双曲线,其渐近线方程为 y m nx D.若 m0,n0,则 C 是两条直线 第 2 页 10.下图是函数 ysin(x)的部分图像,则 sin(x ) ( ) A.sin(x 3) B.sin( 32x) C.cos(2x 6) D.cos( 5 6 2x) 11.已知 a0,b0,且 ab1,则( ) A. a2b21 2 B.2 ab1 2 C.log2alog2b2 D. a b 2 12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X 所有可能的取值为 1,2,n,且 P(Xi)pi(i 1,2,n, i1 n
6、pi1),定义 X 的信息熵 H(X) i1 n pilog2pi( ) A.若 n1,则 H(X)0 B.若 n2,则 H(X)随着 p1的增大而增大 C.若 pi1 n(i1,2,),则 H(X)随着 n 的增大而增大 D.若 n2m,随机变量 Y 所有可能的取值为 1,2,m, 且 P(Yj)pjp2m1j(j1,2,m),则 H(X)H(Y) 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.斜率为 3的直线过抛物线C:y24x的焦点,且与C 交于 A,B 两点,则|AB|_ 14.将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列 得到数列an,则an的前 n 项和为_ 15
7、.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的 截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆 心,A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点,B 是圆弧 AB 与直 线 BC 的切点,四边形 DEFG 为矩形,BCDG,垂足为 C,tanODC3 5,BHDG,EF12 cm,DE2 cm,A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm,圆孔半径为 1 cm, 则图中阴影部分的面积为_cm2 16.已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2,BAD60 以 D1为球心, 5为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为_ 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字 说明
8、、证明过程或演算步骤 17.在ac 3,csinA3,c 3b 这三个条件中 任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在, 求 c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由 问题:是否存在ABC,它的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sinA 3sinB,C 6,_? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 18.已知公比大于1的等比数列an满足a2a420,a3 8. (1)求an的通项公式; (2)记 bm为an在区间(0,m(mN *)中的项的个数, 求数列bm的前 100 项和 S100 第 3 页 19.为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对 某市空气
9、质量进行调研,随机抽查了 100 天空气中的 PM2.5 和 SO2浓度(单位:g/m3),得下表: 0,50 (50,150 (150,475 0,35 32 18 4 (35,75 6 8 12 (75,115 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75, 且 SO2浓度不超过 150”的概率; (2)根据所给数据,完成下面的 22 列联表: 0,150 (150,475 0,75 75,115 (3)根据(2)中的列联表,判断是否有 99%的把握认为该 市一天空气中 PM2.5 浓度与 SO2浓度有关？ 附: K2 n(adbc)2 (ab)(cd)(ac
10、)(bd) P(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20.如图,四棱锥 PABCD 的底面为正方形,PD底 面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l (1)证明:l平面 PDC; (2)已知PDAD1,Q为l上的点,求PB与平面QCD 所成角的正弦值的最大值 SO2 PM2.5 SO2 PM2.5 第 4 页 21.已知函数 f(x)aex 1lnxlna (1)当ae时,求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与 两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若 f(x)1,求 a 的取值范围 22.已知椭圆 C: x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 , 且过点 A(2,1) (1)求 C 的方程; (2)点M,N在C上,且AMAN,ADMN,D为垂足 证 明:存在定点 Q,使得|DQ|为定值
