1、 - 1 - 河南省洛阳市 17-18 学年高二上学期期末考试 数学（理）试卷 第 卷（共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. 或 D. 【答案】 C 【解析】 故选 2. 命题 “ 任意一个无理数，它的平方不是有理数 ” 的否定是（ ） A. 存在一个有理数，它的平方是无理数 B. 任意一个无理数，它的平方是有理数 C. 任意一个有理数，它的 平方是有理数 D. 存在一个无理数，它的平方是有理数 【答案】 D 【解析】根据特称命题的否定的定义，该命题的否定为 “
2、 存在一个无理数，它的平方是有理数 ” 故选 3. 抛物线 的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】抛物线 的标准方程为 ，焦点在 轴上， ， ， 抛物线 的准线方程为 故选 - 2 - 4. 在 中，已知 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】 B 【解析】 故选 5. 等差 数列 的前 项和为 ，已知 ，则 的值为（ ） A. 63 B. C. D. 21 【答案】 C 故选 6. 在正方体 中， 为棱 的中点， 是棱 上的点，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】取 中点 ，连接 设正方体棱长
3、为 则 ， 故选 - 3 - 7. 若正数 满足 ，则 的最小值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 9 【答案】 C 【解析】 令 则 ， 或 （舍） 故 ， 故选 8. “ ” 是 “ 方程 表示图形为双曲线 ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】依题意方程 表示图形为双曲线 可得： ，解得 则 “ ” 是 “ 方程 表示图形为双曲线 ” 的充分不必要条件 故选 9. 在中，角 所对的边分别是 ，若 与 平行，则 一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等
4、腰三角形 【答案】 D 【解析】由题意得两直线平行， 则 ， ， 若 ，则 直线重合舍去，故三角形为等腰三角形 故选 - 4 - 10. 已知平行六面体 中，底面是边长为 2的正方形， ，则 与底面 所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ， ， 则 故选 11. 椭圆 的焦点分别为 ，弦 过 ，若 的内切圆面积为 ， 两点的坐标分别为 和 ，则 的值为（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】 D 【解析】 的内切圆面积为 ， 由题意得： ， ， 又 故选 - 5 - 点睛：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆的性质，
5、考查了学生的计算能力，本题的关键是求出 的面积，易知 的内切圆的半径长 ，从而借助三角形的面积，利用等面积法求解即可，属于中档题。 12. 已知数列 满足 且 ，设 ，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由题意得： ， 时， 故 ， 则 从第二项开 始以 为公比的等比数列 ， ， 则 故选 . 二、填空题（每题 4分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 各项为正数的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，则_. 【答案】 【解析】 与 的等比中项为 - 6 - 14. 若命题 “ 满足 ” 为真命题，则实数 的取值范围是 _. 【答案】 6 【解析】 即 ，解
6、得 实数 的取值范围 点睛：本题以命题为载体考查了不等式问题，在求解这类不等式时正确解法是先将常数项左移 ，然后通分，转化为一元二次不等式后求解，切不可直接去分母，然后求解。 15. 若双曲线 的渐近线方程是 ，则双曲线的离心率为 _. 【答案】 【解析】由题意得： 点睛：本题主要考查了双曲线的简单性质，解答关键是在于对于双曲线渐近线方程的理解，属于基础题。先根据双曲线的渐近线求得 的关系，进而根据 求得 的关系，再代入离心率公式，答案可得； 16. 下列命题： （ 1）已知 ， ，且 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是 ； （ 2）已知向量 在基底 下的坐标是 ，则向量 在基底 下的坐标为；
7、 （ 3）在三棱锥 中，各条棱长均相等， 是 的中点，那么 ； （ 4）已知三棱锥 ，各条棱长均相等，则其内切球与外接球的体积之比为 . 其中真命题是 _.（填序号） 【答案】（ 2）（ 4） - 7 - 【解析】 中 与 夹角为钝角，则 ，且 不平行于 若 ，不妨设存在 ，使得 ，则 ，解得当 时， ，故 的取值范围是 ，故错误； 中， 不妨设 ，则原式 ，夹角为钝角， ，故错误 综上所述，其中真命题为 三、解答题 （本大题共 6题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知 分别 是 的三个内角 的对边， 是 的面积， ，且. （ 1）求角 的大小； （ 2）求 的
8、面积 的最大值 . 【答案】 (1) ； (2) . 【解析】试题分析： 结合已知中 和余弦定理得： ，即可求出角 的大小； 由 ，结合三角形面积公式和基本不等式，可得 的面积 的最大值 解析：（ 1）已知 由余弦定理 得 ，即 的大小为 . （ 2）由（ 1）知 ， - 8 - 当且仅当 时， 面积的最大值为 . 18. 已知动点 在抛物线 上，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，动点 满足 . （ 1）求动点 的轨迹 的方程； （ 2）过点 的直线 交轨迹 于 两点，设直线 的斜率为 ，求 的值 . 【答案】 (1) ； (2) . 【解析】试题分析： 设点 ，得到 ，又因为 ，代入得到轨迹方程
9、； 先求出直线 的方程，然后联立直线方程和轨迹方程，得出 的坐标关系，代入斜率公式计算 化简即可 解析：（ 1）设 ，则 ， ， ， ， 而 ， . （ 2）由题意知直线 的斜率存在，设为 ，直线 的方程为 ，设 ， ， 由 得 ， ， ， 故 的值为 . 19. 已知数列 中， ， . - 9 - （ 1） 求证： 是等比数列，并求 d 通项公式 ； （ 2）数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 【答案】 (1)答案见解析； (2) . 【解析】试题分析： 根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明 是等比数列，并求 的通项公式 ， 利用错位相减法即可求得答案； 解析：（ 1） ， ，
10、， 是以 为首项，以 4为公比的等比数列 ， ， ， （ 2） ， - 10 - - 得 . 20. 精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大 “ 中国梦 ” 的重 要保障 .某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费 万元之间的函数关系为 （其中推广促销费不能超过 5千元） .已知加工此农产品还要投入成本万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为 元 /件 . （ 1）试将该批产品的利润 万元表示为推广促销费 万元的函数；（利润 =销售额 -成本 -推广促销费） （ 2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】 (1) ； (2) 当推广促销费投入 3万元时，利润最大，最大利润为 27 万元 . 【解析】试题分析： 根据题意即可求得 ，化简即可； 利用基本不等式可以求出该函数的最值，注意等号成立的条件，即可得到答案； 解析：（ 1）由题意知
