1、人教版2021届九年级中考复习数学课件： 专题五 存在性问题 专题专题五五 存在性问题存在性问题( (一一) ) 考点考点 1: :等腰三角形等腰三角形的存在性的存在性 2016 新疆如图,抛物线 2 3(0)yaxbxa与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,3BOOCAO. (1)求抛物线的解析式； x y O C B A 解解:(:(1) )抛物线抛物线 2 3yaxbx C( (0, ,3 ) ), ,3OC x y O C B A 抛物线解析式为抛物线解析式为 2 23yxx 3BOOCAO 31BOAO, , B( (3, ,0),),A( (1 , ,0) ) 抛物线
2、与抛物线与 x 轴交于轴交于 A、B 两点两点 9 330 30 ab ab 解得解得 1 2 a b 答答: :存在存在 x y O C B A (2)在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使PBC 是等腰三 角形?若存在,请求出符合条件的 P 点坐标,若不存在, 请说明理由. 当当PBPC 时时, , 22 PBPC 22 4(3)1mm 解得解得1m P( (1, ,1 ) ) 解解: :设设 P( (1, ,m) ), ,则则3 2BC , , 22 4PBm, , 22 (3)1PCm 下面分三种情况进行讨论下面分三种情况进行讨论 x y O C B A 当当PBBC 时时, , 22
3、PBBC 2 418m 解得解得14m P( (1, ,14) )或或 P( (1, ,14 ) ) 符合条件的符合条件的 P 点坐标为点坐标为 P( (1, ,1 ) )或或 P( (1, ,14) )或或 P( (1, ,14 ) ) 或或 P( (1, ,317 ) )或或 P( (1, ,317 ) ) 当当PCBC 时时, , 22 PCBC 2 (3)118m 解得解得317m P( (1, ,317 ) )或或 P( (1, ,317 ) ) 画板演示 1.在平面直角坐标系 xOy 中,A(2,3),在坐标轴上找 一点 P,使得AOP 是等腰三角形,则这样的点 P 共 有 个.
4、2.平面直角坐标系中,A(2,2),B(3 2,3 2), 动点 C 在 x 轴上,若以 A、B、C 三点为顶点的三角 形是等腰三角形,则点 C 的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 8 B 画板演示 画板演示 3.如图,O 是等边ABC 内一点.将BOC 绕点 C 按顺时针 方向旋转60得ADC,连接 OD.已知110AOB. (1)求证:COD 是等边三角形； (2)探究:当 为多少度时,AOD 是等腰三角形. 110 O A BC D ( (1) )证明证明: :由旋转性质可得由旋转性质可得 COCD , ,60OCD COD 是等边三角形是等边三角形 ( (2) )解解: :
5、分三种情况进行讨论分三种情况进行讨论 110 O A BC D 由旋转性质可得由旋转性质可得ADC 60ADOODC 19060 解得解得125 当当AOAD 时时 AODADO COD 是等边三角形是等边三角形 60CODODC 360110AODCOD 190 当当OAOD 时时, ,OADADO 110 O A BC D 190AOD , ,60ADO 180OADAODADO 50 6050 解得解得110 当当DODA 时时, ,OADAOD 110 O A BC D 点悟点悟: :对于等腰三角形的存在性问题,常伴随着分类讨论,或以 腰为分,或以角为分,分成三类.期间常用勾股定理,相
6、似等方 法求出线段,然后利用等量关系进而求值. 综上所述综上所述: :当当 的度数为的度数为125或或110或或140时时, , AOD 是等腰三角形是等腰三角形. . 50OAD, ,190AOD 50190 解得解得140 画板演示 考点考点 2: :直角三角形直角三角形的存在性的存在性 2016 龙岩已知抛物线 21 2 yxbxc 与 y 轴交于点 C,与 x 轴的两个交点分别为 A(4,0), B(1,0). (1)求抛物线的解析式； (2)已知点 P 在抛物线上,连接 PC,PB,若PBC 是以 BC 为直 角边的直角三角形,求点 P 的坐标. x y O B C A 解解: :(
7、 (1) )抛物线抛物线 21 2 yxbxc 过过点点 A, ,B 840 1 0 2 bc bc 解得解得 3 2 2 b c 抛物线的解析式为抛物线的解析式为 231 2 22 yxx x y O B C A ( (2) )当当0 x 时时, ,2y , ,则则 C( (0, ,2),),2OC A( (4 , ,0),), B( (1, ,0) ) 415OAOBAB, x y O B C A 1 P 当当90PCB时，时， 在在 RtAOC 和和 RtCOB 中中 22222 4220ACAOOC 22222 215BCOCOB 22 525AB 222 ACBCAB ACB 是直角
8、三角形是直角三角形 90ACB 1 P与点与点 A 重合重合, ,即即 1( 4 0) P , , 当当90PBC时时, , 过点过点 B 作作 BP2AC 交抛物线于点交抛物线于点 P2 x y O B C A 直线直线 AC 过过 A( (4 , ,0),),C( (0, ,2) ) 直线直线 AC 的解析式为的解析式为 1 2 2 yx BP2AC 设直线设直线 BP2的解析式为的解析式为 1 2 yxb 把把 B( (1, ,0) )代入得代入得 1 2 b 直线直线 BP2的解析式为的解析式为 11 22 yx 2 P 2 11 22 31 2 22 yx yxx 解得解得 1 1
9、5 3 x y , , 2 2 1 0 x y ( (舍去舍去) ) 2( 5 3)P , , x y O B C A 2 P 综上所述综上所述, ,存在点存在点 1( 4 0) P , , , 2( 5 3)P , , 画板演示 如图,RtABC 中,90B,5 3BC ,30C.点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 匀速运动,同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 个 单位长度的速度向点 B 匀速运动,当其中一个点到达终点 时,另一个点也随之停止运动.设点 D,E 运动的时间是 t 秒(t0).过点 D 作 DFBC 于点 F,连接 DE,E
10、F. (1)求证:AEDF； D A B C E F ( (1) )证明证明: :根据题意根据题意, ,得得AEt , ,2CDt D A B C E F 在在 RtDCF 中中, ,30C 1 2 DFCDt AEDF 当当90EDF时时, ,四边形四边形 EBFD 为矩形为矩形 DEBC 90AEDB , ,30ADEC 2ADAE 1022tt 解得解得 5 2 t (2)当 t 为何值时,DEF 为直角三角形?请说明理由. D A B C E F ( (2) )解解: :在在 RtACB 中中 5 3 10 cos cos30 BC AC C 102ADACCDt 当当90DEF时时 AEDF, ,AEDF 四边形四边形 AEFD 为平行四边形为平行四边形 EFAD 90ADEDEF D A B C E F 9060AC 30AED 1 2 ADAE 1 102 2 tt 解得解得4t 当当90EFD, ,此种情况不存在此种情况不存在 点悟点悟: :对于直角三角形的存在性问题,分类讨论主要针对直角 顶点进行讨论,常利用勾股定理来求线段的长度. 综上所述综上所述, ,当当 5 2 t 或或 4 时时, ,DEF 为直角三角形为直角三角形 画板演示 【考点训练】【考点训练】 见考点训练见考点训练P215- -216
