1、 1 福建师大附中 2016-2017学年上 学期期 末 考试 高二（ 文科班 ） 数学试卷 时间： 120分钟 满分： 150分 试卷说明： 试卷分第 I卷和第 II 卷两部分，请将答案填写在答卷上，考试结束后只交答案卷 . 第 卷（共 60 分） 一、选择题：（每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1抛物线 的焦点到准线距离为（ * ） A. 1 B. 2 C. D. 2 已知 ,则双曲线 : 与 : 的 （ * ） A 实轴长相等 B虚轴长相等 C离心率相等 D焦距相等 3. 设等比数列 的公比 ,前 n 项和为 ,则 （ * ） A. 2 B. 4
2、C. D. 4.在平面内，已知双曲线 的焦点为 ，则“ ”是 “点 在双曲线 上 ” 的（ * ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上 ,那么点 P 到点 Q（ 2, 1）的距离与点 P 到抛物线的焦点距离之和的最小值为（ * ） A.4 B.3 C.2 D.1 2 6 下列命题： (1)“若 ，则 ”的否命题； (2)“全等三角形面积相等”的逆命题； (3)“若 ，则关于 的不等式 的解集为 ”的逆否命题； 其中正确命题的个数是（ * ） A B C D 7.如图，直 线 和圆 ，当 从 开始在平面上绕
3、点 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过 ）时，它扫过的圆内阴影部分的面积 是时间 的函数，这个函数的图像大致是（ * ） A. B. C. D. 8设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（ * ） A B C D 9已知双曲线 C1： a2x2 b2y2 1(a0， b0)的离心率为 3.若抛物线 C2： x2 2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为 ，则抛物线 C2的方程为 （ * ） A x2 33y B x2 33y C x2 8y D x2 16y 10.已知双曲线 的中心为原点 , 是 的焦点 ,过 F 的直线 与 相交于 A
4、,B 两点 ,且 AB 的中3 点为 ,则 的方程式为（ * ） A B C D 1 已知 为双曲线 的左焦点 , 为 上的点 ,若 的长等于虚轴长的 2 倍 ,点在线段 上 ,则 的周长为 （ * ） A.44 B.45 C.67 D.68 12 如图 F1、 F2是椭圆 C1:4x2+y2=1与双曲线 C2的公共焦点， A B分别是 C1.C2在第二 .四象限的公共点 ,若四边形 AF1BF2为矩形 ,则 C2的离心率是（ * ） A 2 B 3 C 23 D 6 6 第 卷 共 90 分 二、填空题：（每小题 5分，共 30 分） 13已知命 题 p： ，则 是 * 14.某质点的位移函
5、数是 则当 时， 它的速度是 * 15.右图 是抛物线形拱桥，当水面在 l时，拱顶离水面 2米，水面宽 4米，水位下降 1米后，水面宽 * _米 16.已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个交点，若 ，则 = * 4 17 设双曲线 的中心为点 ,若有且只有一对相交于点 、所成的角为 的直线 和 ,使 ,其中 、 和 、 分别是这对直线与双曲线 的交点 ,则该双曲线的离心率的取值范围是 * 18 如右图， 的顶点 ， ， 的 内切圆圆心在直线 上，则顶点 的轨迹方程是 * 三、解答题：（本大题共 5小题，共 60 分） 19.（本题满分 10分） 已知曲线 .
6、 （ I）求曲线在点 处的切线方程； （ II）求斜率为 的曲线的切线方程 20.（本题满分 12分） 已知命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，命题 双曲线 的离心率，若命题 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围 21.（本题满分 12分） 已知 是递增的等差数列 , , 是方程 的根。 （ I）求 的通项公式； （ II）求数列 的前 项和 . 5 22.（本题满分 12分） 在平面直角坐标系 中 ,经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点和 （ I）求 的取值范围； （ II）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ,是否存在常数 ,使得向量与 共线？如果存在 ,求 值；
7、如果不存在 ,请说明理由 23.(本题满分 14 分 ) 已知椭圆 的顶点 B到左焦点 F1的距离为 2，离心率 e= （ I） 求椭圆 C的方程； （ II） 若点 A为椭圆 C的右頂点，过点 A作互相垂直的两条射线，与椭 圆 C分別交于不同的两点 M，N（ M， N不与左、右顶点重合），试判断直线 MN 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标； 若不过定点，请说明理由 6 福建师大附中 2016-2017学年上学期期末考试 高二（ 文科班 ） 数学参考答案 一、选择题： 1 12： ADCBB BDCCB AD 二、 填空题： 13、 052, 2 ? xxRx 14、 sm/24 15、
8、 2 6 16.3 17. 23( ,2318. 22=19 16xy? ( 3x? ) 三、解答题： 19.解：（ I）依题意 ，2xy? 曲线在点 ? ?42，P 处的切线的斜率 42 ? ?xyk ，所以所求的切线方程为 )2(44 ? xy ，即 044 ?yx ? 3分 ( )当切线的斜率为 1时，设此时的切点为 ? ? 3431 300 xxM ，则切线的斜率 1200 ? ? xyk xx，所以 10?x 或 10 ?x ，? 6分 当 10?x 时，切点为 ? 351，此时切线方程为 135 ? xy ，即 0233 ? yx ，? 8分 当 10 ?x 时，切点为 ? ?11
9、-， ，此时切线方程为 11 ? xy ，即 02?yx ? 10分 20.解：若 p 真 ， 则有 9 2 0mm? ? ? ， 即 ： 03m?； ? 2分 若 q 真 ， 则有 0m? ，且 222 31 1 ( , 2 )52bme a? ? ? ? ?， 即 ： 5 52 m? ? 4分 若命题 pq? 为真命题， pq? 为假命题，则 pq、 一真一假 ? 5分 若 p 真 、 q 假 ， 则 03m?， 且 55 2mm?或 ， 即 ： 50 2m?； ? 8分 若 p 假 、 q 真 ， 则 30mm?或 ， 且 5 52 m?， 即 ： 35m?； ? 11 分 ， 所求 m
10、 的取值范围为 50 2m?或 35m? ? 12 分 21.解 :（ I） 方程2 5 6 0xx? ? ?的两根为 2,3,由题意得2 2a?,4 3,设数列?na的公差为 d,7 则422a a d?,故 d=12,从而1 32a?, 所以?n的通项公式为 :1 12nan? 4分 ( )设 求数列nna?的前n项和 为 Sn,由 ( )知1222nnnn ?, 则 :2 3 4 13 4 5 1 22 2 2 2 2n nnnnS ? ? ? ? ? ?3 4 5 1 23 4 5 1 22 2 2 2 2 2n nnnnS ? ? ? ? ? ? 6分 两式相减得3 4 1 2 1
11、21 3 1 1 1 2 3 1 1 212 4 2 2 2 2 4 4 2 2n n n n nnnS ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10分 所以142 2n nn ? 12 分 22.解：（ ）由已知条件 ,直线 l 的方程为 2y kx? ,? 1分 代入椭圆方程得 2 2( 2 ) 12x kx? ? ? 整理得 221 2 2 1 02 k x kx? ? ? ? ? 3分 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 2 2 218 4 4 2 02k k k? ? ? ? ? ? ?,? 4分 解得 22k? 或 22
12、k? 即 k 的取值范围为 22? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ? 5分 （ ）设 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ，,则 1 2 1 2()O P O Q x x y y? ? ? ?，,? 6分 由方程 ,12 24212kxx k? ? ? ? ? 7分 又 1 2 1 2( ) 2 2y y k x x? ? ? ? 而 ( 2 0 ) ( 0 1 ) ( 2 1 )A B A B ?， ， ， ， ， ? 9分 所 以 OP OQ? 与 AB 共线等价于 1 2 1 22 ( )x x y y? ? ? ?,? 10分 8
13、将 代入上式 ,解得 22k? ? 11分 由 （ ）知 22k? 或 22k? ,故没有符合题意的常数 k ? 12分 23.解：（ 1）由题意可知： ， 解得： ， 故椭圆的标准方程为 ； ? 3分 （ 2）设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2） 当直线 MN的斜率不存在时， MN x轴， MNA为等腰直角三角形， |y1|=|2 x1|， 又 ， M， N不与左、右顶点重合，解得 ，此时，直线 MN过点 ； ? 6分 当直线的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 y=kx+m， 由方程组 ，得（ 1+k2） x2+8kmx+4m2 4=0， =（ 8km） 2 4（ 1+k2）（ 4m2 4） 0，整理得 4k2 m2+1 0， ? 9分 由已知 AM AN，且椭圆的右顶点 A为（ 2， 0）， ， ， ? 10 分 即 ， 9 整理得 5m2+16km+12k2=0，解得 m= 2k 或 ，均满足 =4k2 m2+1 0成立 ? 12分 当 m= 2k时，直线 l的方程 y=kx 2k 过顶点（ 2， 0），与题意矛盾舍去 当 时，直线 l的方程 ，过定点 ， 故直线过定点，且定点是 ? 14分
