1、第七章不等式7.4基本不等式及其应用基本不等式及其应用内容索引基础知识基础知识 自主学习自主学习题型分类题型分类 深度剖析深度剖析易错警示系列易错警示系列思想方法思想方法 感悟提高感悟提高练出高分练出高分基础知识基础知识自主学习自主学习(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号.a0，b0ab2ab2知识梳理知识梳理1 1答案答案3.算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为 .两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数4.利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，xy有最
2、 值.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当 时，xy有最值.(简记：和定积最大)xy小xy大答案思考辨析答案1.设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为_.当且仅当xy9时，(xy)max81.81考点自测考点自测2 2解析答案12345解析解析由log2xlog2y1得xy2，又xy0，4解析答案12345解析解析当x2时，x20，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3.3解析答案123454.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.25当且仅当x10 x，即x5时，ymax25.解析答案123455.已知x，yR，且
3、x4y1，则xy的最大值为_.解析答案12345返回题型分类深度剖析题型分类深度剖析命题点命题点1配凑法求最值配凑法求最值1题型一题型一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值解析答案解析答案解析答案思维升华解析答案思维升华思维升华思维升华(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.例例2(1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_.命题点命
4、题点2常数代换或消元法求最值常数代换或消元法求最值解析答案3x4y的最小值是5.解析答案解析答案答案答案5解析答案思维升华解析解析ab2，解析答案思维升华又ab2，b0，答案答案2思维升华思维升华条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.跟踪训练1解析答案解得m4.答案答案4(2)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.解析答案方法一(消元法)x0，y0，y0，y0，当且仅当x3y时等号成立.设x3yt0，则t212
5、t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.答案答案6命题点命题点1用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题题型二题型二基本不等式与学科知识的综合基本不等式与学科知识的综合解析答案解析解析圆x2y22y50化成标准方程，得x2(y1)26，所以圆心为C(0,1).因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.解析答案因为b，c0，答案答案9当且仅当ab1时，等号成立.4解析答案命题点命题点2求参数的值或取值范围求参数的值或取值范围m12，m的最大值为12.12解析答案思维升华思维升华(1)应用基
6、本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.跟踪训练2解析答案解析解析由各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4，所以q2q20，解得q2或q1(舍去).解析答案解析答案解析解析对任意xN*，f(x)3恒成立，例例5运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50 x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2 )升，
7、司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；题型三题型三不等式的实际应用不等式的实际应用解析答案(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.解析答案思维升华思维升华(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；跟踪训练3解析答案当x80时，解解当0 x0，y0，温馨提醒解析答案返回易错分析解析解析x0，y0，且4xyx2y4
8、，则xy的最小值为_.2解析答案123456789101112131415 16解析解析由题意知：zx23xy4y2，当且仅当x2y时取等号，此时zxy2y2.所以x2yz2y2y2y22y24y2(y1)222.2解析答案123456789101112131415 16因为x3，所以x30，解析答案123456789101112131415 1610.若关于x的方程9x(4a)3x40有解，则实数a的取值范围是_.(，8解析答案123456789101112131415 1611.已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；解析答案123456789101112131
9、415 16解解x0，y0，2x5y20，当且仅当2x5y时，等号成立.解析答案123456789101112131415 16此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.123456789101112131415 16解析答案123456789101112131415 16解解x0，y0，解析答案123456789101112131415 16123456789101112131415 16解析答案123456789101112131415 16解析解析由已知得，3a2b0c2，123456789101112131415 1
10、6解析答案123456789101112131415 160224，当且仅当a5c0，ab1，a(ab)1时，等号成立，答案答案4123456789101112131415 1614.已知x，yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_.x24y24(当且仅当x2y时取等号).又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(当且仅当x2y时取等号).综上可知4x24y212.4,12解析答案123456789101112131415 16解析解析由题意知3a3b3，即3ab3，ab1，a0，b0，4解析答案123456789101112131415 16(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1t30，tN*)的函数关系式；解析答案123456789101112131415 16(2)求该城市旅游日收益的最小值.所以t1,30时，W(t)的最小值为441万元.解析答案返回123456789101112131415 16
