1、 1 第 3 题图 普宁一中 2016-2017学年度 第一学期 高 二 级 期末考试 理科数学 试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。 2.用 2B 铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须 写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卷的整洁。 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给 出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 ) 1、已知复数 31z
2、i? ? ，则 1z? 为（ ） A 102 B 32 C 322 D 233 2、已知集合 | 1 ,A x y x A B? ? ? ? ?， 则集合 B不可能是（ ） A ? ?124 ? xxx B ? ?1? xyy C | s in , 36y y x x? ? ? ? D ? ?)12(lo g),( 22 ? xxyyx 3、若一个圆台的轴截面如图所示，则其 侧面积 等于 ( ) A 6 B 6? C 35? D 65? 4、设奇函数 ( ) s i n ( ) c o s ( ) ( 0 )2f x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，的最小正周期是 ? ，则
3、 （ ） A ()fx在 02?，单调递减 B ()fx在 344?，单调递减 C ()fx在 02?，单调递增 D ()fx在 344?，单调递增 5.如图，该算法输出的结果是（ ） A 12 B. 23 C.34 D. 45 n 2 A1 B1 C1 D1 A B C D E 6.已知等比数列?na中， 32,4 643 ? aaa ，则10 1268aaaa?的值为（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 7、在平面直角坐标系 xOy 中， M 为不等式组3 6 0200, 0xyxyxy? ? ? ? ? ?所表示的区域上一动点，则 21yx? 的最小值为 A 23? B 2? C 0
4、 D 45 8、定义在实数集 R 上的奇函数 ()fx，对任意实数 x 都有 )()23( xfxf ? ，且满足 2)1( ?f ，mmf 3)2( ? ，则实数 m的取值范围 是（ ） A 30 ?m 或 1?m B 30 ?m C 31 ? m D 3?m 或 1?m 9、 长方体 1111 DCBAABCD ? 的底面是边长为 2的正方形，若在侧棱 1AA 上至少存在一点 E ,使得 ? 901EBC ,则侧棱 1AA 的长的最小值 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10.若函数 ),()(2 Rdcbacbxax dxf ?的图象如图所示 ，则 ?dcba : （ ）
5、A 1:6:5:( 8)? B 1:6:5:8 C 1:( 6):5:8? D 1: ( 6) :5: ( 8)? 11.如图所示，椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的离心率 e12，左焦点为 F， A、 B、 C为其三个顶点，直线 CF 与 AB交于 D点，则 tan ADF的值等于 ( ) A 3 3 B 3 3 C. 35 D. - 35 12、定义在区间 ),0( ? 上的函数 )(xf 使不等式 )(4)( xfxxf ? 恒成立，其中 )( xf 为 )(xf 的导数，则（ ） A 16)1( )2( ?ffB 8)1( )2( ?ffC 4)1( )2( ?ffD 2)1( )
6、2( ?ff第 11 题 3 DCBA二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分） 13. 若 ,xy满足约束条件 10202 2 0xyxyxy? ? ? ? ?则 yxz ?2 的最大值为 14.已知命题：“在等差数列 na 中，若 ,244 (.)102 ? aaa 则 11S 为定值”是真命题，由于印刷问题，括号处的数据模糊不清，可推得括号内的数为 15.设双曲线 2219 16xy?的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于 B,则 AFB? 的面积为 16.已知一个正倒立的圆锥容器中装有一定的水，现放入一个小球后，水面恰好淹过小球（水面与小球
7、相切），且圆锥的轴截面是等边三角形，则容器中水的体积与小球的体积之比为 _ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 12 分）如图，已知 , , ,ABCD 四点共面，且 =1CD , 2BC? , 4AB? , 120ABC?, 27cos 7BDC?. （）求 sin DBC? ； （ ）求 AD . 18.(本小题满分 12分 ) 2016 年春节期间全 国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将 688 元发成手气红包 50 个，产生的手气红包频数分布表如下： 金额分组 1,5） 5,9） 9,13） 13,17） 17,21） 21,25 频数 3
8、9 17 11 8 2 (I)求产生的手气红包的金额不小于 9元的频率； ( )估计手气红包金额的平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 )； (III)在这 50个红包组成的样本中，将频率视为概率 (i)若红包金额在区间内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率； 4 (ii)随 机抽取手气红包金额在内的两名幸运者，设其手气金额分别为 ,mn，求事件“ mn? ?6 ”的概率 B (本小题满分 12 分） 如图，在多面体 ABCDM 中， BCD 是等边三角形， CMD 是等腰直角三角形， 90CMD?，平面 CMD ? 平面 BCD ， AB ? 平面 BCD ，点
9、O 为 CD的中点 ,连接 OM . (1) 求证： OM 平面 ABD ； (2) 若 4?BCAB ，求三棱锥 BDMA? 的体积 . 20（本小题满分 12 分） 已知两点)0,1(1 ?F及)0,12，点 P在以F、 为焦点的椭圆C上，且1PF、2F、PF构成等差数列 （ I）求椭圆C的方程； （ II）设经过 2F 的直线 m 与曲线 C 交于 PQ、 两点，若 PFQF 22 2? ，求直线 m 的斜率 22.（本小题 12分）已知函数 xaxaxxf )2(ln)( 2 ? ).0( ?a (1)讨论函数 ()fx的单调性 ; (2)当 ()fx有极大值与极小值时，求证函数 ()
10、fx在定义域内有唯一的零点 22（本小题满分 10分 )选修 44? ：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 2 sin co s 1 0? ? ? ?， 以极点为直角坐标系原点，极轴所在直线为 x轴建立直角坐标系，曲线 1C 的参数方程为1 3cos: 2sinxC y ? ?（ ? 为参数）， ( )求曲线 C 的直角坐标方程和曲线 1C 的普通方程； ( )若点 M 在曲线 1C 上运动，试求出 M 到曲线 C 的距离的最小值及该点坐标。 OMDCBA5 DCBA数学理科参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C B C A B A
11、B A A A 二、填空题： 13. 2514.18 15.3215 16. 5:4 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 12 分） 解：（）在 BDC 中，因为 27cos 7BDC?，所以 21sin 7BDC? 由正弦定理 =s in s inD C B CD B C B D C?得， s in 2 1s in = 14D C B D CD B C BC? ? 5分 （ ） 在 BDC 中，由 2 2 2 2 c o sB C D C D B D C D B B D C? ? ? ? ?得， 2 274 1 2 7D B D B? ? ? 所以 2
12、47 307D B D B? ? ? 解得 7DB? 或 377DB? （舍） ? 7分 由已知得 DBC? 是锐角，又 21sin = 14DBC? ，所以 57cos = 14DBC? . 所以 c o s = c o s 1 2 0A B D D B C（ ）? ? ?. = c o s 1 2 0 c o s s i n 1 2 0 s i nD B C D B C? ? ? ? ? 1 5 7 3 2 1= 2 1 4 2 1 4? ? ? ?7=? ? 10 分 在 ABD 中，因为 2 2 2= 2 c o sA D A B B D A B B D A B D? ? ? ? 7=
13、 1 6 7 2 4 7 ( ) 2 714? ? ? ? ? ? ?， 所以 33AD? ? 12 分 6 18.解： (I)由题意得 1 7 1 1 8 2 1 95 0 2 5P ? ? ? 因此产生的手气红包的金额不小于 9元的频率为 1925 ? 2分 ( ) 手气红包金额的平均数为x 3 0 . 0 6 7 0 . 1 8 1 1 0 . 3 4 1 5 0 . 2 2 1 9 0 . 1 6 2 3 0 . 0 4 1 2 . 4 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6分 (III) (i)红包金额在区间内有 2人，所以抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率 21
14、50 25P? ? 8分 (ii)由频率分布表可知，红包金额在 1,5）内有 3人，设红包金额分别为 , cba 在 21,25内有2 人，设红包金额分别为 .,yx 若 nm, 均在 1,5）内，有 3种情况： ).,(),(),( cbcaba 若 nm, 均在 21,25内只有 1 种情况： ),( yx ；若 nm, 分别在 1,5）和 21,25内时，有 6 种情况，即).,(),(),(),(),(),( ycxcybxbyaxa 因此基本事件的总数为 10 种，而事件“ mn? ?6 ”所包含的基本事件个数有 6种。所以事件“ mn? ?6 ”的概率为 53166)16|(| ?
15、 nmP ? 12 分 19(1)证明： CMD 是等腰直角三角形， 90CMD ?,点 O 为 CD 的中点， OM CD? . 平面 CMD ? 平面 BCD ，平面 CMD ? 平面BCD CD? ， ?OM 平面 BCD AB ? 平面 BCD , OM AB AB ? 平面 ABD ,OM ? 平面 ABD , OM 平面 ABD ? 6分 (2): 由 ( )知 OM 平面 ABD , 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离 . 4AB BC?， BCD 是等边三角形， 2,4 ? ODBD ， . 连接 OB , 则 OB CD? , 23OB? . A
16、 B D M M A B D O A B D A B D OV V V V? ? ? ? ? ?=833 三棱锥 A BDM? 的体积为 833 . ? 12 分 BCD面?7 ? 5分 （ II）由题意知直线 m 的斜率不为 0，且经过右焦点（ 1,0），故设直线 m 方程为 1x ty? 代入 134 22 ? yx 得 22(3 4 ) 6 9 0t y yt? ? ? ?显然 0? ,设 11( , )Px y ， 22( , )Qx y12 2634tyy t? ? ? ?则 ? 12 2 934yy t? ? 由 PFQF 22 2?得 12 2yy ? ?解得52?t，所以，直线 m 的斜率 251 ? tk ? 12 分21.解 : (1) =令 或当 即 时 , 恒成立 , 则 在 上单调递增 . 当 即 时 ,令 或 ,令, 则 在 和 递增 ,在 递减 . 当 即 时 ,令 或 ,令 , 8 则 在 和 递增 ,在 递减 . ? 5分 (2) 因为 存在极大值与极小值 ,由 (1)知 或 . 当 时 , 在 和 递增 ,在 递减 . 若, ,无零点 ; 若,有一个零点 , 则当 时 , 有唯一零点 . 当 时 ,
