1、 - 1 - 上学期 高 二数学 期末模拟 试题 01 第卷 （选择题 共 60分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） . 1 在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别是 ,abc，且 Aba sin3? ，则 ?Bsin A. 3 B. 36 C. 33 D. 36? 2 抛物线 2xy ? 焦点坐标是 A (14 ， 0) B ( 14? ， 0) C (0, 14? ) D (0, 14 ) 3 “ 1x? ”是“ 2xx? ”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分
2、也不必要条件 4 椭圆 14 22 ? ayx 与双曲线 2212xya ?有相同的焦点，则 a 的值是 A 12 B 1或 2 C 1或 12 D 1 5 若 A( ,5 ,2 1)x x x?， B(1, 2, )xx? ，当 AB 取最小值时， x 的值为 A 6 B 3 C 2 D 1 6 下列命题中为真命题的是 “若 220xy?，则 ,xy不全为零”的否命题； “等腰三角形都相似”的逆命题； “若 1?m ，则不等式 2 20x x m? ? ? 的解集为 R”的逆否命题。 A B C D 7. 设 4321 , aaaa 成等比数列，其公比为 2，则432122 aa aa ?
3、的值为 A 1 B 12 C 14 D 18 8设 A 是 ABC中的最小角，且 11cos ? aaA ，则实数 a的取值范围是 A a 3 B a 1 C 1 a 3 D a 0 9 已知方程 22 0 ( 0 , , 0 )a x b y a b a x b y c a b a b c? ? ? ? ? ? ? ?和 其 中，它们所表示的曲线 可能是 - 2 - A B C D 10. 在棱长为 1的正方体 ABCD 1 1 1 1ABCD 中， M和 N分别为 11AB 和 1BB 的中点，那么直线 AM与 CN所成角的余弦值是 A 52 B 53 C 1010 D 52? 11. 正
4、方体 ABCD - 1 1 1 1ABCD 中， 1BB 与平面 1ACD 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63 12.椭圆 1416 22 ? yx 上有两点 P、 Q ， O为原点 ， 若 OP、 OQ 斜率之积为 41? ， 则 22 OQOP ? 为 A . 4 B. 20 C. 64 D. 不确定 第 II卷 综合题（共 90分） 二、填空题 ： （本大题共 4小题，每小题 4分，共 16 分把正确答案填在题中横线上） 13 已知命题 :px?R ， sin 1x? ，则 p? ： _. 14 若双曲线 221xyab? ? 的离心率为 3 ，则两条渐近线的方程为
5、 _. 15等差数列 na 的前 n项和为 Sn,且 428aa?， 3526aa? .记2nn ST n?，如果存在正整数 M，使得对一切正整数 n， MTn? 都 成立 .则 M的最小值是 . 16 若不等式组 5002xyyax? ? ?表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是 _. 三、解答题：（本大题共 6小题，共 74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 在 ABC中， cba, 分别 为角 A， B， C所对的三边， 22( ) ,a b c bc? ? ? （ I）求角 A； （ II）若 2sin ?cBb ，求 b 的值
6、 . - 3 - 18 （本小题满分 12 分） 设 na 是等差数列， nb 是各项都为正数的等比数列，且 111ab?， 221 abb ? ， 的等差中项与是 413 aab 。 （ I） 求 na ， nb 的通项公式； （ II） 求数列 nnab?的前 n项和 nS 19 （本小题满分 12 分） 某投资商到一开发区投资 72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出 12万元，以后每年支出增加 4万元，从第一年起每年蔬菜销 售收入 50万元 .设 )(nf 表示前 n年的纯利润总和，（ f（ n） =前 n 年的总收入 前 n年的总支出 投资额 72万元） . （ I）该厂从第
7、几年开始盈利？ （ II）该厂第几年 年平均纯利润 达到最大？并求出 年平均纯利润的 最大值 . 20 （本小题满分 12分） 已知 0a? ， 1a? ，设 p ：函数 log ( 1)ayx?在 (0, )? 上单调递减； q：曲线2 (2 3) 1y x a x? ? ? ?与 x轴交于不同的两点，如果 p且 q为假命题， p或 q为真命题 ,求实数a 的取值范围 . - 4 - 21 （本小题满分 12 分） 如图所示，矩形 ABCD 的边 AB=a ， BC=2， PA平面 ABCD， PA=2，现有数据： 32a? ； 1a? ； 3a? ；建立适当的空间直角坐标系， （ I）当
8、BC边上存在点 Q，使 PQ QD 时， a 可能取所给数据中的哪些值 ?请说明理由； （ II）在满足（ I）的条件下，若 a 取所给数据的最小值时，这样的点 Q有几个 ? 若沿 BC方向依次记为 12,QQ ，试求二面角 12Q PA Q?的大小 . 22 （本小题满分 14 分） 已知 ABC 的顶点 A， B 在椭圆 2234xy?上， C 在直线 2l y x?： 上，且 /ABl . （ 1）当 AB 边通过坐标原点 O 时，求 AB 的长及 ABC 的面积； （ 2）当 90ABC?，且斜边 AC 的长最大时，求 AB 所在直线的方程 - 5 - 参考答案 一、选择题： (每小题
9、 5分，共 60 分 ) CCADD BCABA DB 二、填空题： (每小题 4分，共 16 分 ) 13 :px? ? ?R ， sin 1x? 14 22yx? 15. 2 16. ? ?7,5 三、解答题： 17 解： (1)由 bccbabccba ? 22222 :)( 得 212co s 222 ? bc acbA， ? 3分 又 ?A0 , 3A ? 。 ? 6分 (2) 21s in,s ins in ? CCCcBb ，? 8分 6?B 。? 10 分 16s in2s in2,2s in ? ?BbcBb 。? 12分 18.解：（ 1）设 ?na 的公差为 d ， ?n
10、b 的公比为 q ，则依题意有 0q? 且 由2112 1 1 3qd? ? ? ? ? ?，解得 2d? ， 2q? 1 ( 1) 2 1na n d n? ? ? ? ?，? 5分 112nnnbq? 6分 （ 2）1212n nna nb ? 7分1 2 2 13 5 2 3 2 11 2 2 2 2n nnS ? ? ? ? ? ?， ? 8 分 325 2 3 2 12 2 3 2 2 2n nnS ? ? ? ? ? ?，? 9分 由得2 2 12 2 2 2 122 2 2 2 2n nn nS ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分 =2 2 11 1 1 2 12 2 (1
11、 )2 2 2 2nn n? ? ? ? ? ? ? ?= 1111212221 212nnn? ? ? ?=1236 nn? 12分 19.解 ：由题意知 7242 )1(1250)( ? nnnnnf 72402 2 ? nn ? 4分 （ 1）由 182,072402,0)( 2 ? nnnnf 解得即 ? 7分 由 *Nn? 知，从第三年开始盈利 .? 8分 （ 2）年平均纯利润 16)36(240)( ? nnnnf ? 10 分 当且仅当 n=6时等号成立 . ? 11 分 年平均纯利润 最大值为 16万元， 即第 6年，投资商 年平均纯利润 达到最大， 年平均纯利润 最大值 16
12、 万元? 12 分 20解：由题意知 p与 q中有且只有一个为真命题， ? 2分 当 0 25 .? 4分 （ 1） 若 p正确， q不正确，即函数 ? ?1log ? xy a 在（ 0， +）上单调递减， 曲线 2 (2 3) 1y x a x? ? ? ?与 x轴不交于两点， 故 a 15(0 ,1) , 1 (1, )22?，即 a ? 1,21.? 7分 （ 2）若 p不正确， q正确，即函数 ? ?1log ? xy a 在（ 0,+）上不是单调递减， 曲线 2 (2 3) 1y x a x? ? ? ?与 x轴交于两点，因此 a （ 1,+）（ 0,21 ）（ 25 ,+）， 即
13、 a（ 25 ， +） .? 10分 综上， a取值范围为 21 ， 1) (25 ， + ).? 12分 21.解：（ I）建立如图所示的空间直角坐标系 ,则各 点坐标分别为 : (0,0,0)A ， ( ,0,0)Ba ， ( ,2,0)Ca ， (0,2,0)D ， (0,0,2)P 设 ( , ,0)Qax (0 x 2)， ? 2分 ? ? ? ?, , 2 , , 2 , 0 ,P Q a x Q D a x? ? ? ? ?由 PQ QD得 22( 2 ) 0 ( 2 )P Q Q D a x x a x x? ? ? ? ? ? ? ? ?。 ? ? ? ?20 , 2 , (
14、 2 ) 0 ,1x a x x? ? ? ? ? 4分 在所给数据中， a 可取 32a? 和 1a? 两个值 . ? 6分 (II) 由 ( )知 32a? ，此时 12x? 或 32x? ，即满足条件的点 Q有两个，? 8分 根据题意，其坐标为1 31( , ,0)22Q和2 33( , ,0)22Q，? 9分 PA平面 ABCD， PA AQ1， PA AQ2， Q1AQ2就是二面角 Q1-PA-Q2的平面角 .? 10分 - 7 - 由 1212 12c o s , | | | |A Q A QA Q A Q A Q A Q? ?= 33 344213? ?， 得 Q1AQ2=30?
15、，二 面角 Q1-PA-Q2的大小为 30?.? 12分 22.解：（ 1） AB l/ ，且 AB 边通过点 (00)， ，直线 AB 的方程为 yx? ? 1分 设 AB， 两点坐标分别为 1 1 2 2( ) ( )x y x y， ， ， 由2234xyyx? ? ，得 1x? ? 3分 122 2 2A B x x? ? ? 4分 又 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离 2h? ， 1 22ABCS AB h? ? ? 6分 （ 2）设 AB 所在直线的方程为 y x m? ， 由 2234xyy x m? ? ?得 224 6 3 4 0x m x m? ? ? ? 8
16、分 因为 A, B在椭圆上，所以 212 64 0m? ? ? ? ?设 ,AB两点坐标分别为 1 1 2 2( ) ( )x y x y， ， ， ，则 12 32mxx? ? ， 212 344mxx ? ， 所以 212 3 2 62 2 mA B x x ? ? ? 12分 又因为 BC 的长等于点 (0, )m 到直线 l 的距离，即 | 2 |2mBC ? 所 以 2 2 2 222 1 0 ( 1 ) 1 1A C A B B C m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以当 1m? 时， AC 边最长，（这时 12 64 0? ? ?） 此时 AB 所在直线的方程为 1yx? 14分
