1、 1 陕西省西安市长安区 2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题 理 一 .选择题： (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 ,请 将答案填涂 在答题 卡 的 相 应 位置 .) 1.复数 32(1 )(1 )ii?在复平面内对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.抛物线 22xy ? 的焦点坐标为 ( ) A. ( 21? ,0) B. (0, 21? ) C. ( 81? ,0) D. (0, 81? ) 3.“ 0?x ”是“ ln( 1) 0x?”的 ( ) A.必
2、要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分而必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.下列命题中正确的个数是 ( ) 命题“任意 (0, ),2 1xx? ? ?”的否定是“任意 (0, ),2 1xx? ? ?； 命题“若 cos cosxy? ，则 yx? ”的逆否命题是真命题； 若命题 p 为真，命题 q? 为真，则命题 p 且 q 为真； 命题“若 3?x ，则 2 2 3 0xx? ? ? ”的否命题是“若 3x? ，则 2 2 3 0xx? ? ? ” . A.0 个 B.1个 C.2 个 D.3 个 5.等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 xy 162
3、 ? 的准线交于 ,AB两点 .若 43AB? ，则 C 的实轴长为 ( ) A. 2 B. 22 C.? D.? 6.函数 ( ) sinxf x e x? 的图象在点 (3, (3)f )处的切线的倾斜角为 ( ) A.2? B.0 C. 锐角 D.钝角 7.已知正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 12, 2 2AB CC?， E 为 1CC 的中点，则直线 1AC 2 与平面 BED 的距离为 ( ) A 1 B 3 C 2 D 2 8.用数学归纳法证明 ( 1 ) ( 2 ) ( ) 2 1 3 . ( 2 1 ) ( * )Nnn n n n n n? ? ?
4、? ? ? ? ? ?时，从“ ?n k 到 1?kn ”左边需增乘的代数式为 ( ) A. 12?k B 132?kk C. 112?kk D )12(2 ?k 9.函数 21() xf x x e ? , 2,1x? 的最大值为 ( )A. 14e? B. 2e C.e D.1 10.设 F为抛物线 xy 42? 的焦点， A， B， C为该抛物线上三点，若 0? FCFBFA ，则FCFBFA ? 等于 ( ) A 9 B 4 C 6 D 3 11.如图 ,正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， P 为底面 ABCD 上的动 点， 1PE AC? 于 E ，且 PA PE
5、? ， 则点 P 的轨迹是 ( ) A.线段 B.圆弧 C.椭圆 的一部分 D.抛物线 的一部分 12.定义在 R 上的函数 ()fx满足 ? ?1( +2) 2f x f x? ，当 ? ?0,2x? 时，23121 2 , 0 1,2( ) =2 , 1 2 .xxxfxx? ? ? ? ? ?，函数 ? ?2( ) 2 .xg x x x e m? ? ? 若 ? ?1 4, 2 ,x? ? ? ? ? ?2 1,2 ,x? ? ? 使得不等式 12( ) ( ) 0f x g x?成立，则实数 m 的取值范围是 ( ) A.? ?,8? B. 3,8e? ? ?C 3 8+e?，D.
6、3, +8e? ?二 .填空题 ： （本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20分 .请把答 案填 写 在答题纸的相应 横线上 .） 13. ? dx11- 2x-1 3 14设 F1、 F2是双曲线 22116 20xy?的两焦点，点 P 在双曲线上若点 P 到焦点 F1的距离等于 9 ，则点 P 到焦点 F2的距离等于 15.做一个无盖的 圆柱形水桶，若要使其体积是 27? ，且用料最省，则圆柱的底面半径为 16函数 ? ? ? ?3 3 1 ,f x a x x x R? ? ? ?若对于任意 ? ?1,1x? ，都有 ? ? 0fx? 成立，则实数a 的值为 三 .解答题：（本大题共
7、6小题，共 70分 .解答时应写出必要的文字说明或演算步骤，请在答题纸的相应 位置 作答 .） 17.（本小题满分 10分） 已知集合 错误！未找到引用源。 若 错误！未找到引用源。 的充分条件，求 错误！未找到引用源。 的取值范围 18.（本小题满分 11分） 一辆家庭轿车在 x 年的使用过程中需要如下支出：购买轿车的费用12万元；保险费、燃油费等每年 1万元；维修保养费用 211()10 10xx? 万元；使用 x 年后汽车价值 4(10 )5x? 万元 .在这辆汽车上的年平均支出 y （单位：万元）是使用时间 x （单位：年）的函数 . （ 1） 求出 y 关于使用时间 x 的函数解析式
8、； （ 2） 随着 x 的变化，函数值 y 的变化有何规律 ;并求当 x 取何值时，函数 y 有最小值，求出最小值 . 19.（本小题满分 12 分） 如图三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，侧面 11BBCC 为菱形， 1AB BC? . （ 1）证明： 1AC AB? ； （ 2）若 1AC AB? ， o1 60CBB?， AB BC? , 求二面角 1 1 1A AB C?的余弦值 . 20.（本小题满分 12分） 已知点 ? ?2-0，A ，椭圆? ?01: 2222 ? babyaxE 的长轴长是短轴长的 2 倍， F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为332， O 为
9、坐标原点 . 4 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）设过点 ? ?2-0，A 的动直线 l 与椭圆 E 相交于 QP, 两点 .当 OPQ? 的面积最大时，求直线 l 的方程 . 21.（本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 ABCDP? 中， 侧面 ABCDPAD 底面? , 2? PDPA , PDPA? , ABCD底面 为直角梯形， 其中 BC /AD ， ADAB? , 1?BCAB ,O 为 AD 的中点 . （ 1） 求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值； （ 2） 线段 PD 上是否存在一 点 Q ,使得二面角 DACQ ? 的余弦值为36？ 若存在，求出 QDPQ
10、 的值；若不存在，请说明理由 . 22 （本小题满分 13 分） 已知函数 ? ? 1ln1 xfx x? ? （ 1）求曲线 ? ?y f x? 在点 ? ? ?00f， 处的切线方程； （ 2）求证：当 ? ?01x? ， 时， ? ? 323xf x x?； （ 3）设实数 k 使得 ? ? 33xf x k x?对 ? ?01x? ， 恒成立，求 k 的最大值 APCBDO5 2016 2017学年度第一学期期末考试 高二数学参考 答案及评分标 准（理科） 一、选择题： (本大题共 12 小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )
11、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A B C D A D B C A B 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分） 13 2? . 14 17 15 3 16. 4 三、解答题：（本大题共 6小题，共 70分） 17.解： 错误！未找到引用源。 当 错误！未找到引用源。 时， 错误！未找到引用源。 ，不合题意； ?2分 当 错误！未找到引用源。 时， 错误！未找到引用源。 ，由题意知 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 ? 6分 当 错误！未找到引用源。 时， 错误！未找到引用源。 ，由 错误！未找到引用源。 得 错误！未找到
12、引用源。 ， ? 8分 此时无解 ,综上： 错误！未找到引用源 。 . ? 10 分 18.解 ：（ 1） ? ?20 .1 1 .9 0y x xx? ? ? ? 5分 （ 2）由 ? ?20 .1 1 .9 0y x xx? ? ? ?，求得 ? ?22 0.1 0yxx? ? ?当22 0.1 0y x? ? ?时， ? ?0,2 5x? ； 当22 0.1 0y x? ? ?时， ? ?2 5,x? ? ； 当 25x? 时，函数有最小值为 19 4 5 2.7910? ? 11 分 19.解 ： (1)连结 1BC ，交 1BC于 O，连结 AO因为侧面 11BBCC 为菱形，所以
13、1BC 1BC? ，且 O 为 1BC 与 1BC 的中点又 1AB BC? ，所以 1BC? 平面 ABO ，故 1BC AO?又 1BO CO? ，故 1AC AB? . ? 6分 6 （ 2）因为 1AC AB? 且 O为 1BC的中点，所以AO= 又因为 AB= ，所以 BOA BOC? ? 故 OA ，从而 OA， OB， 1OB 两两互相垂直 以 O为坐标原点， OB的方向为 x轴正方向， OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 O-xyz 因为01 60CBB?，所以 1CBB? 为等边三角形又 AB= ，则 30,0, 3A?， ? ?1,0,0B ，1 30, ,03B?，
14、 30, ,03C?1 330, ,AB?，11 31, 0 , ,3A B A B? ? ?1131, , 03B C B C ? ? ? ?设 ? ?,n x y z? 是平面的法向量，则 11100n ABn AB? ?，即33 0333 03yzxz? ? ?所以可取 ? ?1, 3, 3n? 设 m 是平面的法向量，则 111100m ABn BC? ?，同理可取 ? ?1, 3, 3m ? ? 10分 则 1co s , 7nmnmnm?，所以二面角 1 1 1A AB C?的余弦值为 17 .? 12分 20.解 ： (1) 设 ? ?,0Fc ，由条件知 2ab? ，得 3c?
15、 又 32ca?， 所以 a=2 ， 2 2 2 1b a c? ? ? ,故 E 的方程 2 2 14x y?. ? 4分 （ 2）依题意当 lx? 轴不合题意，故设直线 l： 2y kx?，设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,P x y Q x y 将 2y kx?代入 2 2 14x y?，得 ? ?221 4 1 6 1 2 0k x kx? ? ? ?， 当 216(4 3) 0k? ? ? ?，即 2 34k ? 时 ， 21,2 28 2 4 314kkx k? ?7 从而 22212 24 1 4 31 14kkP Q k x x k? ? ? ? ? 8分 又点 O到直
16、线 PQ 的距离22 1d k? ? ，所以 ? OPQ 的面积 221 4 4 32 1 4O P Q kS d P Q k? ? ?， 设 243kt?，则 0t? ， 2 44 144O P Q tS tt t? ? ? ? ?， 当且仅当 2t? ， 72k?等号成立，且满足 0? ，? 10 分 所以当 ? OPQ的面积最大时， l 的方程为： 7 22yx? 或 7 22yx? ? . ? 12 分 8 21.解： (1)在 PAD? 中， 2? PDPA ， O 为 AD 的中点，所以 ADPO? , 侧面 ABCDPAD 底面? , ABCDPO 面? .又在直角梯形 ABCD
17、 中，连接 OC ,则ADOC? ,以 O为坐标原点，直线 OC 为 X轴，直线 OD 为 Y轴 ,直线 OP 为 Z轴建立空间直角坐标系 . )111( ? ，PB , POCAO 面? , )010( ， ?OA , 3c o s , s in3nmP B O A nm ? ? ? 所以，直线 PB 与平面 POC 所成角的 余弦值为36.? 6分 法 2：传统方法求出直线 PB 与平面 POC 所成角的 余弦值为36.? 6分 （ 2） 存在 .设 )10( ? ? PDPQ , )110( ? ，PD , OPOQPQ ? )0( ?， ,所以 )10( ? ?，Q . 因为二面角 DACQ ? 的余弦值为366co s n , 3nmmnm?,解得 31? .所以 21?QDPQ .? 12 分 22.解： （ 1）2( ) l n , ( 1 , 1 ) , ( ) , ( 0 ) 2 , ( 0 ) 01 1xf x x f
