1、 1 2016-2017 学年高二下学期期末考试 数学试卷 一、填空题（满分 70 分） 1. 六个数 5， 7， 7， 8， 10， 11的方差是 _ 【答案】 4 【解析】 ， ，故答案为 4. 2. 已知复数 （是虚数单位），则 =_ 【答案】 【解析】 ，故答案为 . 3. 命题 “ ” 的否定是 _ 【答案】 【解析】 根据全称命题的否定为特称命题可得： “ ” 的否定是，故答案为 . 4. 某工 厂生产 A、 B、 C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为 2： 3： 5，现用分层抽样的的方法抽出样本容量的 的样本，样本中 A 型产品有 16件，那么样本容量 为_ 【答案】 80
2、 【解析】 由题意得 点睛：在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即 ni Nin N. 5. 已知集合 ， ，则 _ 【答案】 2 【解析】 由 得： ，由 得：， 则 ，故答案为 . 6. 如果执行 下面的程序框图，那么输出的 _ 【答案】 20 【解析】 根据题意可知该循环体运行 4次 第一次： ， ； 第二次： ， ，因为 ，结束循环，输出结果 ， 故答案为 20. 7. 如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是 _. 【答案】 34 【解析】 由题设循环体要执行 3次， 第一次循
3、环结束后 ， ，第二次循环结束后 ， ， ； 第三次循环结束后， ， ； 故答案为 34. 点睛：本题考查循环结构，解决此题关键是理解其中的算法结构与循环体执行的次数，然后3 依次计算得出结果 ； 由于 的初值是 ，故在第一次循环中， ，计数变量从 2开始，以步长为 2 的速度增大到 6，故程序中的循环体可以执行 3次，于是可以逐步按规律计算出 的值 . 8. 已知一个质点在腰长为 4的等腰直角三角形内随机运动，则某时刻该质点距离三角形的三个顶点的距离均超过 1的概率为 _ 【答案】 【解析】 等腰直角三角形的面积为 设 “ 质点距离三角形的三个顶点的距离均超过 1” 为事件 ，则事件 构成的
4、区域面积为 ，由几何概型的概率公式得 ， 故答案为 . 9. 口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为 0.45，摸出红球或黄球的概 率为0.65，则摸出红球或蓝球的概率为 _ 【答案】 0.8 【解析】 由题意，摸出红球的概率为 ，摸出红球或黄球的概率为 ，故摸出蓝色球的概率为 ， 故摸出红球或蓝球的概率为 ， 故答案为. 10. 观察下列等式： ， ， ， ， ? 4 猜想： _（ ） . 【答案】 【解析】 ， ， ， 由归纳推理可得， 故答案为 . 11. 已知条件 条件 且 是 的充分不必要条件，则 a的取值范围可以是 _ 【答案】 【解析】 ， 或 ，若 是 的充分不必要条件
5、，则 是 的充分不必要条件，则 ， ，故答案为 . 12. 已知正数 满足 ,则 的最小值为 _ 【答案】 18 【解析】 正数 满足 ， ， 当且仅当 时取等号， 的最小值为 18，故答案为 18. 点睛：本题主要考查了基本不等式 .基本不等式求最值应注意的问题 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提 “ 一正、二定、三相等 ” 的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可 (2)在运用基本不等式时，要特别注意 “ 拆 ”“ 拼 ”“ 凑 ” 等技巧，使其满足基本不等式中 “ 正 ”“ 定 ”“ 等 ” 的条件 . 13. 若点 P是曲线 上任意一点，则点 P到直线 的最
6、小距离为 _ 【答案】 【解析】 先求与直线 平行的曲线的切线，设切点为 ，则由，所以切点为 ，因此点 P到直线 y=x 2的最5 小距离为 14. 已知奇函数 是 R上的单调函数，若函数 只有一个零点，则实数的值是 _ 【答案】 【解析】试题分析： 由题意得： 只有一解，即 ，只有一解，因此 考点：函数与方程 二、解答题（满分 90 分） 15. 已知复数 满足 (为虚数单位 )，复数 的虚部为 2，且 是实 数 . (1)求 及 ； (2)求 及 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） ， 【解析】 试题分析：（ 1）把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简和共轭复数的概念得答案；
7、(2)根据题意可设 ，根据虚部为 0可得 的值，故而可求得结果 . 试题解析：（ 1） (z1 2)(1 i) 1 i?z1 2 i， （ 2）设 z2 a 2i， a R， 则 z1 z2 (2 i)(a 2i) (2a 2) (4 a)i. z1 z2 R， a 4. z2 4 2i， 16. 从参加数学竞赛的学生中抽出 20 名学生， 将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示观察图形，回答下列问题：（ 1） 这一组的频率和频数分别为多少？ （ 2）估计该次数学竞赛的及格率（ 60 分及以上为及格）；（ 3）若从第一组和第三组的所有学生中随机抽取两人，求他们的成绩相差不超过
8、10 分的概率 6 【答案】 （ 1）频率 ，频数 ；（ 2） ；（ 3） . 【解析】 试题分析：（ 1）根据条形对应的面积为该组的频率以及频数 =频率 样本容量可得最后结果；（ 2）及格率为最后 3个条形的面积；（ 3）根据古典概型概率计算公式可得结果 . 试题解析：（ 1） 所 以 这一组的频率和频数分别 0.25和 5 （ 2） 估计该次数学竞赛的及格率为 （ 3）第一组有学生 人，第三组有学生 人 从 5人中随机抽取 2人共有 10种情况，记抽取的 2人成绩相差不超过 10 分为事件 A， 共包含 4种情况 即抽取的 2人成绩相差不超过 10 分的概率为 17. 设命题 ： ；命题
9、：函数 的定义域为 R. (1)若 且 是真命题，求实数 的取值范围； (2)若 或 是真命题， 且 是假命题，求实数 的取值范围 【答案】 （ 1） ；（ 2） . 【 解析】 试题分析： (1)根据题意可知当 为真时， ，命题 为真时， 且 是真即求出两者的交集即可； (2) 或 是真命题， 且 是假命题等价于两者一真一假， 真 假， 真，再取其并集即可 . 试题解析：可知命题 p 为真命题时，实数 a的取值集合为 P a|02x m等价于 x2 x 12x m，即 x2 3x 1 m0，要使此不等式在 1,1上恒8 成立，只需使函数 g(x) x2 3x 1 m在 1,1上的最小值大于
10、0即可 g(x) x2 3x 1 m 在 1,1上单调递减， g(x)min g(1) m 1，由 m 10得， m 1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是 ( ， 1) （ 3） 即 当 时， 当 时， 当 时， 综上：当 时 当 时， ，当 时， 点睛：本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，以及函数的恒成立与 函数的最值求解的相互转化，主要涉及单调性在函数的最值求解中的应用，属于中档题；对于含有参数的一元二次不等式常用分类讨论的思想进行求解，常见的讨论形式有： 1、对二次项系数进行讨论； 2、对相对应的方程是否有根进行讨论； 3、对应根的大小进行讨论 . 19. 在某次水下
11、考古活动中 ,需要潜水员潜入水深为 30米的水底进行作业 .其用氧量包含 3个方面 : 下潜时 ,平均速度为 (米 /单位时间 ),单位时间内用氧量为 ; 在水底作业需 5个单位时间 ,每个单位时间用氧量为 0.4; 返回水面时 ,平均速度为 (米 /单位时间 ), 单位时间用 氧量为 0.2.记该潜水员在此次考古活动中 ,总用氧量为 . (1)将 表示为 的函数 ; (2)试确定下潜速度 ,使总的用氧量最少 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） . 【解析】 试题分析：（ 1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；（ 2）利用基本不等式可
12、得 时取等号，即使9 总的用氧量最少 . 试题解析： (1) (2) 当且仅当 即 时取等号 答：当下潜速度为 时，总用氧量最少。 点睛：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数 知识，考查分类讨论的数学思想；常用到的四种函数模型： 直线模型：一次函数模型 ； 反比例函数模型： 型； 指数函数模型： ； 对数函数模型，即型 . 20. 已知函数 ， ， ，其中 ，且. 当 时，求函数 的最大值； 求函数 的单调区间； 设函数 若对任意给定的非零实数 ，存在非零实数（ ）， 使得 成立，求实数 的取值范围 . 【答案】 （ 1） ；（ 2）详见解析；（ 3） . 【解析】 试题分析
13、： 令 求出根，判断两边的符号，求出最值； 导数大于零求出单增区间，导数小于零求出单调递减区 间，注意单调区间一定在定义域内； 不等式恒成立就是求函数的最值，注意对参数的讨论 . 试题解析： 当 时， 令 ，则 ， 在 上单调递增，在 上单调递减 ， ，（ ） 当 时， ， 函数 的增区间为 ， 当 时， ， 10 当 时， ，函数 是减函数； 当 时， ，函数 是增函数。 综上得， 当 时， 的增区间为 ； 当 时， 的增区间为 ，减区间为 当 ， 在 上是减函数，此时 的取值集合 ； 当 时， ， 若 时， 在 上是增函数，此时 的取值集合 ； 若 时， 在 上是减函数，此时 的取值集合
14、。 对任意给定的非零实数 ， 当 时， 在 上是减函数，则在 上不存在实数（ ），使得 ，则 ，要在 上存在非零实数（ ），使得成立，必定有 ， ； 当 时， 在 时是单调函数，则 ，要在上存在非零实数（ ），使得 成立，必定有 ， 。 综上得，实数 的取值范围为 . 21. （矩阵与变换） 若点 在矩阵 的变换下分别得到点 . （ ）求矩阵 ； （ ）若曲线 C在 的作用下的新曲线为 ，求曲线 C的方程 【答案】 （ 1） ；（ 2） . 【解析】 试题分析：（ 1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可； （ 2）在所求的曲线上任设一点写成列向量，求出该点在矩阵 的作用下的点的坐标，代入已知曲线即可 . 试题解析：（ 1）矩阵 ， （ 2）曲线 C的方程为
