1、 1 2016-2017学年第 二 学期 期 末 考试卷 高 二 数学 (理科 ) 本试卷共 4页 满分 150分 ， 考试时间 120分钟 注意事项：试卷分第 I卷和第 II卷两部分， 将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷 . 第 I卷 共 60分 一、选择题： 本大题 有 12小题 ， 每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求 . 1 已知随机变量 ? 服从正态分布 ? ? ? ? 89.05,6,4 2 ?PN 则 ( 3)P?（ * ） A.0.89 B.0.78 C.0.22 D. 0.11 2 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1
2、000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为 X，则 X的数学期望为 （ * ） A. 100 B.200 C.300 D. 400 3 已知函数 ? ? 2 lnf x ax b x?在点 ? ?1, 1f 处的切线为 1y? ， 则 ab? 的值为 （ * ） A.1 B.2 C.3 D. 4 4 一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为 8081 ，则此射手每次射击命中的概率为 （ * ） A. 14 B. 13 C. 23 D. 25 5 有 3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一
3、个兴趣小组的概率为 （ * ） A 13 B 12 C 23 D 34 6 若6 2 60 1 2 6(1 ) .m x a a x a x a x? ? ? ? ? ?，且1 2 6. 63a a a? ? ? ?，则实数 m的值为 （ * ） A. 1 B. -1或 3 C. -3 D. 1或 -3 7 在31()2 nx x?的展开式中，只有第 5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 （ * ） A 7 B -28 C 7 D 28 2 8 设 a?Z ,且 0 13a? ,若 201251 a? 能被 13 整除 ,则 a? （ * ） A 0 B 1 C 11 D 12 9 用红
4、、 黄 、 蓝三种颜色给如图所示的六 个相连的 圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案 的 种数是 （ * ） A.12 B.24 C.30 D.36 10 某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1或元件 2正常工作，且 元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从 正态分布 2(1000,50 )N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命 超过 1000小时的概率为 （ * ） A. 18 B. 14 C. 12 D. 38 11 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人
5、中有 2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则 （ * ） A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道自己的成绩 D乙、丁可以知道对方的成绩 12 已知随机变量 i? 满足 P（ i? =1） =pi， P（ i? =0） =1 pi， i=1， 2 若 0 2()D? C 1()E? 2()E? ， 1()D? 2()E? ， 1()D? 2()D? 第 卷 共 90分 二、填空题： 本大题 有 6小题 ， 每 个 空 格 5分，共 30分，把答案填在答卷 的相应位置 . 13 一
6、批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100次， X 表示抽到的二等品件数，则 DX? _*_ 3 14 72 )x2x()x+1( 的展开式中，含 3x 的项的系数为 _*_ 15 为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10名学生，根据测量数据的散点图可以 看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为? ?y bx a?已知 101 225ii x? ?， 101 1600ii y? ?， ? 4b? 该班某学生的脚长为 24， 据此估计其身高 _*_ 16 从某企业生产的某种产品中抽取 1
7、00 件，测量这些产品的质量指标值，由 测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间 ? ?55,65 ， ? ?65,75 ， ? ?75,85 内 的频率之比为 4:2:1 若将频率视为概率， 从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件，记这 3 件产品中质量指标值位于区间 ? ?45,75 内的产品件数为 X ， 则 X 数学期望为 *_ 17 已知数列?an为等差数列，则有 ，02 321 ? aaa 033 4321 ? aaaa a a aa1 2 3 4 54 6 4 0?类似上三行 ,第四行的结论为 _*_ 18 下列说法中，正确的有 _*_ （写出 正确的所有序号）
8、 用数学归纳法证明 “ 12=2+2+2+1 3+n2+n2 ? ，在验证 1=n 时，左边的式子是 22+2+1 ； 用数学归纳法证明 )Nn(2413n+n 1+2+n 1+1+n 1 *?的过程中，由 k=n 推导到 1+k=n 时，左边增加的 项为 2+n2 1+1+n2 1 ，没有减少的项； 演绎推理的结论一定正确； 183 )1(xx?的二项展开式中，共有 4个有理项 ; 从分别标有 1， 2 ， ?， 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2次，每次抽取 1张则抽到的 2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 59 三、解答题： 本大题 有 5题， 共 60分 ，解答应写出文字说明、证明
9、过程或演算步骤 . 质量指标值 0.012 0.004 0.019 0.030 15 25 35 45 55 65 75 85 0 频率 组距 第 16 题 图 4 19.（ 本小题满分 12 分 ） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量 各箱水产品的产量（单位： kg）其频率分布直方图如下： （ 1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A表示事件： “ 旧养殖法的箱产量低于 50kg， 新养殖法的箱产量不低于 50kg” ，估计 A的概率； （ 2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱
10、产量 50kg 箱产量 50kg 旧养殖法 新养殖法 附 ： ， 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ?20.（本小题满分 12分 ） 设数列 na 的前 n项和为 nS ，并且满足 naS nn ? 22 ， 0?na （ n N*） . （）求 1a ， 2a ， 3a ； （）猜想 na 的通项公式，并用数学归纳法加以证明； 5 21.（ 本小题满分 12 分 ） 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2元的价格当天全部处理完 .根据往年销售
11、经验，每天需求量与当天最高气温（单位： ）有关 .如果最高气温不低于 25，需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间 20， 25），需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高 气温 10， 15） 15， 20） 20， 25） 25， 30） 30， 35） 35， 40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 . （ 1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列； （ 2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位
12、：元） .当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时， Y的数学期望达到最大值？ 22 （ 本小题满分 12分） 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4件作检验，这 4件产品中优质品的件 数记为 n。如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为 12 ，且各件产品是否为优质品相互独立 （ 1）求这批产品通过检验的概率； （ 2）已知每件产品检验费用
13、为 100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X（单位：元），求 X的分布列及 数学期望。 23 （本小题满分 12分） 已知函数 ( ) ln 3af x xx? ? ?有两个零点 1 2 1 2, ( )x x x x? （ 1） 求实数 a 的 取值范围； （ 2）求证： 122x x a? 6 福建师大附中 2016-2017学年 高二下理科数学期末 考试卷 解答 一、选择题： DBCCA； DCDCD; CA 二、填空题： 13 1.96 ; 14 -196 ; 15 166 ; 16 3 0 .6 1 .8EX np? ? ? ? 17 1 2 3
14、4 5 65 1 0 1 0 5 0a a a a a a? ? ? ? ? ?； 18 三、解答题： 本大题 有 5题， 共 60分 ，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 19.（ 本小题满分 12 分 ） 20.（ 本小题满分 12 分 ） 7 解：（）分别令 1?n ， 2， 3，得 ?3)(22)(212233212221211aaaaaaaaa 0?na ， 11?a ， 22?a ， 33?a . （）猜想： nan? .以 下 用数归证明， 1） 当 1n? 时， 11?a 符合 猜想； 2）假设当 kn? （ k 1）时， kak? . 那么当 1?kn 时， 2 2
15、2 2 2 21 1 1 1 122111 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 221k k k k k k k kkka S S a k a k a a a ka a k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0)1()1( 11 ? ? kaka kk ， 01?ka ， k 1， 0)1(1 ? kak ， 11 ? kak . 这就是说，当 1?kn 时也成立， 由（ 1） ，（ 2）可知 nan? （ n 1） 故对于 n N*，均有 nan? 21.（ 本小题满分 12 分 ） 解 ： （ 1）由题意知， X 所有可能取值为 200,300,500，由表格数据知 ? ? 2 1 62 0 0 0 .290PX ? ? ?， ? ? 363 0 0 0 .490PX ? ? ?， ? ? 2 5 7 45 0 0 0 .490PX ? ? ?. 因此 X 的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 （ 2） 由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500，至少为 200，因此只需考虑 200 500n . 当 300 500n 时， 若最高气温不低
