1、6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算1.1.向量的数乘运算向量的数乘运算定义：一般地，我们规定定义：一般地，我们规定实数实数与向量与向量a的积是一个向的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作量，这种运算叫做向量的数乘，记作a.规定：规定：(1)(1)|a|=|=|a|.(2)(2)当当00时，时，a的方向与的方向与a的方向的方向相同相同；当；当00时，时，a的方向与的方向与a的方向的方向相反相反；当；当=0=0时，时，a=0.【思考思考】向量数乘运算的结果是什么？向量数乘运算的结果是什么？提示：提示：数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有
2、方向有方向.2.2.向量数乘的运算律向量数乘的运算律设设，为实数，则为实数，则(1)(a)=(1)(a)=a；(2)(+)(2)(+)a=a+a；(3)(3)(a+b)=)=a+b.特别地，我们有特别地，我们有(-)(-)a=-(=-(a)=(-)=(-a)，(a-b)=)=a-b.【思考思考】这里的条件这里的条件“，为实数为实数”能省略吗？为什么？能省略吗？为什么？提示：提示：不能，数乘向量中的不能，数乘向量中的，都是实数，只有都是实数，只有，都是实数时，运算律才成立都是实数时，运算律才成立.3.3.向量的线性运算向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的加、减、数乘运算
3、统称为向量的线性运算.4.4.共线向量定理共线向量定理向量向量a(a(a0)与与b共线的充要条件是：存在唯一一个实共线的充要条件是：存在唯一一个实数数，使，使b=a.【思考思考】(1)(1)共线向量定理中的共线向量定理中的“a0”是否多余，能去掉吗？是否多余，能去掉吗？提示：提示：不能，定理中之所以限定不能，定理中之所以限定a0是由于若是由于若a=b=0，存在，但不唯一，若存在，但不唯一，若a=0，b0，则，则不存在不存在.(2)(2)反之，反之，“若存在一个实数若存在一个实数，使，使b=a(a0)，则，则a与与b共线共线”成立吗？成立吗？提示：提示：成立成立.【素养小测素养小测】1.1.思维
4、辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)-3(1)-3a的方向与的方向与6 6a的方向相反，且的方向相反，且-3-3a的模是的模是6 6a的模的的模的 (a0).).()(2)(2)a与与-a的方向相反的方向相反.()12(3)(3)若若a，b共线，则存在唯一的实数共线，则存在唯一的实数，使，使a=b.()提示：提示：(1).(1).因为因为-30-30，所以，所以-3-3a与与a方向相反且方向相反且|-3|-3a|=3|=3|a|.|.所以所以6 6a与与a方向相同且方向相同且|6|6a|=6|=6|a|，所以，所以-3-3a与与6 6a方向相反且模是方向相反且模是
5、6 6a的模的的模的 .(2)(2).当当00时，时，a与与-a的方向相同的方向相同.(3)(3).若若b=0时不成立时不成立.122.2.下列计算正确的个数是下列计算正确的个数是()(-3)2(-3)2a=-6=-6a；2(2(a+b)-(2)-(2b-a)=3)=3a；(a+2+2b)-)-(2(2b+a)=0.)=0.A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3【解析解析】选选C.C.因为因为(-3)(-3)2 2a=-6=-6a，故正确；，故正确；中，左中，左=2=2a+2+2b-2-2b+a=3a=3a成立，故正确；成立，故正确；中，左中，左=a+2+2b-2-2b-a=000，
6、故错误，故错误.类型一向量的线性运算类型一向量的线性运算【典例典例】1.(20191.(2019临沂高一检测临沂高一检测)化简化简 (2 (2a+8+8b)-(4)-(4a-2-2b)的结果是的结果是()A.2A.2a-bB.2B.2b-aC.C.b-aD.D.a-b13122.2.已知向量已知向量a，b，x，且，且(x-(x-a)-()-(b-x)=)=x-(-(a+b)，则，则x=_.x=_.【思维思维引引】1.1.类比实数运算中合并同类项的方法化类比实数运算中合并同类项的方法化简简.2.2.利用解方程的方法求解利用解方程的方法求解.【解析解析】1.1.选选B.B.原式原式=(=(a+4+
7、4b-4-4a+2+2b)=(6)=(6b-3-3a)=2=2b-a.2.2.因为因为(x-a)-()-(b-x)=2)=2x-(-(a+b)，所以，所以2 2x-a-b=x-a-b，即即x=0.答案：答案：01313【内化内化悟悟】1.1.向量的线性运算的主要方法是什么？向量的线性运算的主要方法是什么？提示：提示：去括号，合并去括号，合并“同类项同类项”.2.2.解含有向量的方程时，可以把向量当成普通未知量解含有向量的方程时，可以把向量当成普通未知量求解吗？求解吗？提示：提示：可以可以.【类题类题通通】向量线性运算的方法向量线性运算的方法(1)(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要
8、是向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项合并同类项”“”“提取公因式提取公因式”，但这里的，但这里的“同类项同类项”“”“公因式公因式”指向量，实数是向量的系数指向量，实数是向量的系数.(2)(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.【习练习练破破】已知已知a=4=4d，b=5=5d，c=-3=-3d，则，则2 2a-3-3b+c等于等于()A.10A.10
9、dB.-10B.-10dC.20C.20dD.-20D.-20d【解析解析】选选B.2B.2a-3-3b+c=8=8d-15-15d-3-3d=-10=-10d.【加练加练固固】已知向量已知向量a，b，且，且5x+2y=5x+2y=a，3x-y=3x-y=b，求，求x x，y.y.【解析解析】将将3x-y=3x-y=b两边同乘两边同乘2 2，得得6x-2y=26x-2y=2b.与与5x+2y=5x+2y=a相加，相加，得得11x=a+211x=a+2b，即，即x=x=a+b.所以所以y=3x-y=3x-b=3 =3 =a-b.11121112()1111ab311511类型二用已知向量表示相关
10、向量类型二用已知向量表示相关向量【典例典例】1.(20191.(2019长沙高一检测长沙高一检测)设设D D，E E分别是分别是ABCABC的边的边ABAB，BCBC上的点，上的点，AD=ABAD=AB，BE=BC.BE=BC.若若 =1 1 +2 2 (1 1，2 2为实数为实数)，则，则1 1+2 2的值为的值为_._.1223DEuurABuurACuuu r2.2.如图所示，已知如图所示，已知 ABCDABCD的边的边BCBC，CDCD上的中点分别为上的中点分别为K K，L L，且，且 =e1 1，=e2 2，试用，试用e1 1，e2 2表示表示 AKuuu rALuurBC CD.u
11、ur uuu r，【思维思维引引】1.1.先用向量先用向量 表示向量表示向量 ，然后，然后计算计算“系数系数”和和.2.2.先把先把 视为未知量，再利用已知条件找等量关视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程系，列方程(组组)，通过解方程，通过解方程(组组)求出求出 AB ACuur uuu r，DEuurBC CDuur uuu r，BC CD.uur uuu r，【解析解析】1.1.由已知由已知 所以所以1 1=-=-，2 2=，从而从而1 1+2 2=.=.答案：答案：2112(ACAB)ABABAC3263uuu ruuruuruuruuu r，21DEBEBDBCBA32uuru
12、uruuu ruuruuu r162312122.2.设设 =x，=y，则则 =e1 1=x-y，=e2 2=x-y，由由 BCuurCDuuu rAKuuu r12ALuur12121212，xyexye解得解得 即即 =211242,3342,33 xeeyeeBCuurCDuuu r2142,33ee1242,33ee【内化内化悟悟】分析切入问题时，对条件分析切入问题时，对条件 应怎样应怎样理解？理解？提示：提示：看作是用向量看作是用向量 、表示向量表示向量 的结果的结果.12DEABAC uuruuruuu r“”ACuuu rDEuurABuur【类题类题通通】(1)(1)由已知量表
13、示未知量时，要善于利用三角形法则、由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律平行四边形法则以及向量线性运算的运算律.(2)(2)当直接表示较困难时，应考虑设出未知向量，表示当直接表示较困难时，应考虑设出未知向量，表示出已知向量，建立方程组，利用方程出已知向量，建立方程组，利用方程(组组)求解求解.【习练习练破破】如图，如图，ABCDABCD是一个梯形，是一个梯形，ABCDABCD，且，且AB=2CDAB=2CD，M M，N N分分别是别是DCDC和和ABAB的中点，已知的中点，已知 =a，=b，试用，试用a，b表表示示 ABuurADuuu rBCMNu
14、uruuur和【解析解析】(方法一方法一)连接连接CNCN，则，则ANANDCDC，所以四边形所以四边形ANCDANCD是平行四边形是平行四边形.=-=-b，又因为又因为 =0，所以所以 =b-a，所以所以 =-=-b+a=a-b.CNAD uuu ruuu rCNNBBCuuu ruuu ruurBCCNNB uuruuu ruuu r121MNCNCMCNAN2uuuruuu ruuu ruuu ruuu r1414(方法二方法二)因为因为 =0=0，即：即：a+(-+(-a)+(-)+(-b)=0)=0，所以所以 =b-a，又因为在四边形又因为在四边形ADMNADMN中，有中，有 =0，
15、即即：b+a+(-+(-a)=)=0，所以所以 =a-b.ABBCCDDAuuruuruuu ruuu rBCuur12BCuur12ADDMMNNAuuu ruuuruuuruuu r14MNuuur1214MNuuur【加练加练固固】如图所示，四边形如图所示，四边形OADBOADB是平行四边形，是平行四边形，=a，=b，又，又 试用试用a、b表示表示 OAuuu rOBuur11BMBC,CNCD,33uuu ruur uuu ruuu rOM ON MN.uuu r uuu r uuur，【解析解析】因为因为 =a-b，所以所以 (a-b)，所以所以 =b+(+(a-b)=)=b+a-b
16、=a+b.又由又由 =+=+=a+b，得，得BAOAOBuuu ruuu ruur111BMBCBA366uuu ruuruuu rOMOBBMuuu ruuruuu r1616161656ODuuu rOAuuu rOBuur =a+b.所以所以 =(=(a+b)-(-(a+b)=a-b.112ONODODOD263uuu ruuu ruuu ruuu r2323MNONOMuuuruuu ruuu r232316561216类型三向量共线定理及应用类型三向量共线定理及应用角度角度1 1求参数问题求参数问题【典例典例】(2019(2019天水高一检测天水高一检测)设设e1 1，e2 2是两个
17、不共线是两个不共线的向量，若向量的向量，若向量a=2=2e1 1-e2 2，与向量，与向量b=e1 1+e2 2(R)(R)共共线，则当且仅当线，则当且仅当的值为的值为世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.0A.0B.-1B.-1C.-2C.-2D.-D.-12【思维思维引引】利用向量共线定理解答利用向量共线定理解答.【解析解析】选选D.D.因为向量因为向量a与与b共线，所以存在唯一实数共线，所以存在唯一实数u u，使，使b=u=ua成立成立.即即e1 1+e2 2=u(2=u(2e1 1-e2 2)=2u)=2ue1 1-u-ue2 2.所以所以 解得解得=-.=-.12uu.，12【素养素养
18、探探】本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学运算的核心素养运算的核心素养.本例若把条件本例若把条件“向量向量b=e1 1+e2 2(R)”(R)”改为改为“向量向量b=2m=2me1 1+n+ne2 2(m(m，nR)”nR)”其他条件不变，试求其他条件不变，试求m+nm+n的值的值.【解析解析】因为向量因为向量a与与b共线，所以存在唯一实数共线，所以存在唯一实数u u，使，使b=u=ua成立成立.即即2m2me1 1+n+ne2 2=u(2=u(2e1 1-e2 2)=2u)=2ue1 1-u-ue2 2.所以所以 所以所以m+n=0.m
19、+n=0.2m2n，角度角度2 2三点共线问题三点共线问题【典例典例】设设a a，b b是不共线的两个非零向量，若是不共线的两个非零向量，若 =2=2a-b，=3=3a+b，=a-3-3b，求证：，求证：A A，B B，C C三点共线三点共线.世纪金榜导学号世纪金榜导学号OAuuu rOBuurOCuuu r【思维思维引引】利用向量共线定理解答利用向量共线定理解答.【证明证明】由题意，得由题意，得 =(3=(3a+b)-(2)-(2a-b)=)=a+2+2b，=(=(a-3-3b)-(3)-(3a+b)=-2)=-2a-4-4b=-2 =-2 ，所以所以 与与 共线，且有公共端点共线，且有公共
20、端点B B，所以，所以A A，B B，C C三点共线三点共线.ABOBOAuuruuruuu rBCOCOBuuruuu ruurABuurABuurBCuur【类题类题通通】关于向量共线定理的应用关于向量共线定理的应用(1)(1)向量共线定理：向量共线定理：b与与a(a0)共线与共线与b=a是一个等是一个等价定理，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，价定理，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值也可以根据共线求参数的值.(2)(2)证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线，必须说明构造的两个向量有
21、向线段表示的向量共线，必须说明构造的两个向量有公共点，否则两向量所在的直线可能平行，解题时有公共点，否则两向量所在的直线可能平行，解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分常常会因忽视对公共点的说明而丢分.【发散发散拓拓】关于关于A A，B B，C C三点共线条件的变形式三点共线条件的变形式平面上三点平面上三点A A，B B，C C共线的充要条件是：存在实数共线的充要条件是：存在实数，使得，使得 =+=+，其中，其中+=1+=1，O O为平面为平面内任意一点内任意一点.OAuuu rOCuuu rOBuur【延伸延伸练练】已知已知A A，B B，P P三点共线，三点共线，O O为直线外任意一点，若
22、为直线外任意一点，若 求求x+yx+y的值的值.xOAyOB，OP【解析解析】设设 则则 则则 所以所以x+y=1+-=1.x+y=1+-=1.ABBP，OBOAAB ，OPOBBP OAABBPOAOBOAOBOAOB 1OA （）（），【习练习练破破】已知非零向量已知非零向量e1 1，e2 2不共线不共线.(1)(1)如果如果 =e1 1+e2 2，=2=2e1 1+8+8e2 2，=3(=3(e1 1-e2 2)，求，求证：证：A A，B B，D D三点共线三点共线.(2)(2)欲使欲使k ke1 1+e2 2和和e1 1+k+ke2 2共线，试确定实数共线，试确定实数k k的值的值.A
23、BuurBCuurCDuuu r【解析解析】(1)(1)因为因为 =e1 1+e2 2，=2=2e1 1+8+8e2 2+3+3e1 1-3-3e2 2=5(=5(e1 1+e2 2)=5)=5所以所以 ，共线，且有公共点共线，且有公共点B B，所以，所以A A，B B，D D三点三点共线共线.ABuurBDBCCDuuu ruuruuu rAB，uurABuurBDuuu r(2)(2)因为因为k ke1 1+e2 2与与e1 1+k+ke2 2共线，共线，所以存在所以存在，使，使k ke1 1+e2 2=(=(e1 1+k+ke2 2)，即，即(k-)(k-)e1 1=(k-1)(k-1)
24、e2 2，由于，由于e1 1与与e2 2不共线，不共线，只能有只能有 所以所以k=k=1.1.k0k10 ，努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过的伤都是我的勋章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启爱他吗谁谁的快意人生。第二名就意味着你是头号输家科比布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在走上坡路。如果每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不断地发现以前的自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你如今的气质里，藏着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家
25、教的问题，和未成年没关系。总会有人是第一，那为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一定是昨天我拼上了全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界那么大，我要赚钱带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受尽委屈爱情可以没有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不会苦一辈子，但总会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说三分话，不可全抛一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么不敢赢，致所有20岁和即将20
26、岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平，但不公平是好事情，它会让你更努力成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊才会成群，狮虎只会独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努力有什么都想要。不要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风雨兼程。你有多自律，就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高一分，干掉千人。一生不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。你要记得，只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律
27、约束是为了更大的成功。越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净的东西。过于欣赏自己，就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去金钱的人损失甚少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比现实要美好，但是谎言像多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你丢掉了，才有云淡风轻的机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前，财富就会悄悄跟在后面。不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说
28、球太滑，你只需做好基本功。就算对手难缠，就算他小动作多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚持都至关重要。当别人开始说你是疯子的时候，你离成功就不远了当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么东西。学习会使你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是一边等一边把事业向前推动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热，太冷了。含泪播种的人一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施，都一定要保证公司员工的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是运动的，一个人不会永远处在倒霉的位
29、置。工作上的执着实际上是人的一种意志。登高莫问顶，途中耳目新。最困难的时候，也就是我们离成功不远的时候。不屈不挠的奋斗是取得胜利的唯一道路。我们都有兽性的一面，作为人类，我们的责任是成为驯兽师那样的人。勇敢，世界就会让步。如果有时候你被它打败了，不断地勇敢再勇敢，它就会屈服。最高的圣德便是为旁人着想。我应当生活得仿佛自己的生命是为别人的利益而存在。世界上能为别人减轻负担的都不是庸庸碌碌之徒。从错误中比从混乱中易于发现真理。我们有时从错误中学到的东西，可能比从美德中学到的还要多。在生活中示曾做过任何傻事的人，决不象他自己想象得那么聪明。人的思想是了不起的，只要专注于某一项事业，就一定会做出使自己
30、感到吃惊的成绩来。没有播种，何来收获；没有辛劳，何来成功；没有磨难，何来荣耀；没有挫折，何来辉煌。天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。过去属于死神，现在属于自己。伟大的事业是根源于坚韧不断地工作，以全副精神去从事，不避艰苦。书山有路勤为径，学海无崖苦作舟。有志者，事竟成。我们比较容易承认行为上的错误、过失和缺点，而对于思想上的错误、过失和缺点则不然。每个人都有错，但只有愚者才会执迷不悟。不经一翻彻骨寒，怎得梅花扑鼻香。所有的科学都是错误先真理而生，错误在先比错误在后好。意志坚强的乐观主义者用“世上无难事”人生观来思考问题，越是遭受悲剧打击，越是表现得坚强。一时的失误不会毁掉一个性格
31、坚强的人。如果我们把每个人的不幸堆一堆由大家均分，大多数人都甘愿接受一份，欣然离去。在世界的前进中起作用的不是我们的才能，而是我们如何运用才能。困难只能吓倒懦夫、懒汉，而胜利永远属于攀登高峰的人。除了我们自己以外，没有人能贬低我们。如果我们坚强，就没有什么不良影响能够打败我们。包含着某些真理因素的谬误是最危险的。不要失去信心，只要坚持不懈。人往往取吉祥的错误而抛弃恼人的真理。人的最高尚行为除了传播真理外，就是公开放弃错误。为人服务，其实就是缴付居住在地球上的租金。世上无难事，只要肯登攀。我的最高原则是：不论对任何困难，都决不屈服。坚持自己该做的事情，是一种勇气。不做良知不允许的事，是另一种勇气
32、。人生目标确定容易实现难，但是如果不行动，那连实现的可能也不会有。对别人要求松一点，就不会总是失望；对自己要求严一点，就不会总是沮丧。青春的寂寞是生命的点缀，没有寂寞的青春是悲哀的，然寂寞的青春不是没有幸福，而是我们不懂幸福。一生经历一次的青春，目的是听一次花开的声音，看一次花落的寂然，然后散场。如果可以重新活一次，每个人都将是成功者。除了自己，任何人都无法给你力量。时间给勤勉的人留下智慧的力量，给懒惰的人留下空虚和悔恨。勤学的人，总是感到时间过得太快；懒惰的人，却总是埋怨时间跑得太慢。每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。人生就像一个大舞台，每个人都有自己所要扮演的角色。至于要表演甚么角色，自己去决定。如果你很聪明，为什么不富有呢
