1、 1 2016-2017 学年度下学期期末高二年级理科数学试题 （ 考试时间： 120分钟 分值： 150分） 第 卷 （选择题 共 52分） 一、选择题：本大题共 13 小题，每小题 4 分，共 52 分 。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 下列说法正确的是 ( ) A. x? ， yR? ，若 0xy?，则 1x? 且 1y? B. aR? ， “ 1 1a? ” 是 “ 1a? ” 的必要不充分条件 C. 命题 “ xR? ，使得 2 2 3 0xx? ? ? ” 的否定是 “ xR? ，都有 2 2 3 0xx? ? ? ” D. “ 若 22am bm? ，
2、则 ab? ” 的逆命题为真命题 2 设 ? ? ?12i x yi? ? ?，其中 i 为虚数单位， x ,y 是实数，则 2x yi?( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 3 设随机变量 ? 服从正态分布 ? ?0,1N ，若 ( 1)Pp?，则 ( 1 0)P ? ? ? ?( ) A. 12 p? B. 1p? C. 12 p? D. 12p? 4 已知 m ， n 是两条不同的直线， ? ， ? 是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是 ( ) A. 若 /m? ， /m? ， n?，则 /mn B. 若 ? ， m? ， n ? ，则 mn? C. 若 ? ， ?
3、 ， m? ，则 m? D. 若 /?， /m? ，则 /m? 5 设等差数列 满足 ，且 ， 为其前 项 和，则数列 的最大项为 A. 23SB. 25SC. 24SD. 26S6 下图是一个算法流 程图，则输出的 x值为 A. 95 B. 47 C. 23 D. 11 7 二项式 2 naxx?的展开式中所有二项式系数和为 64，则展开 式中的常数项为 60 ，则 a 的值为 ( ) A. 2 B. 1 C. -1 D. 1? 8 设函数 ? ? ? ?lnx?f x x ax (aR? )在区间 ? ?0,2 上有两个极 值点，则 a 的取值范围是 ( ) A. 1,02?B. ln2
4、10,4?C. 1,12?D. ln2 1 1,42?9 若双曲线 M ： 221xyab?( 0a? ， 0b? )的左、右焦点分别是 1F ， 2F ，以 12FF 为直径的圆与双曲线 M 相交于点 P ，且 1 16PF? ， 2 12PF? ，则双曲线 M 的离心率 为( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 10 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某四 棱锥的三视图，则该四棱锥各个侧面中，最大的侧面面积为 ( ) A. 2 B. 5 C. 3 D. 4 11 已知函数 ? ? 22cos 2 2f x x?给出下列命题： ? ?,R f x? ?
5、? 为奇2 函数； 30,4? ?， ? ? ? ?2f x f x ?对 xR? 恒成立； 12,x x R?，若? ? ? ?12 2f x f x?，则 12xx? 的 最 小 值 为 4? ； 12,x x R?，若 ? ? ? ?120f x f x?，则? ?12x x k k Z? ? ?其中的真命题有 ( ) A. B. C. D. 12 已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过点 且垂直于 轴的直线与该双曲线的左支交于 两点， 分别交 轴于 两点，若 的周长为 12，则 取得最大值时该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 13 已知函数 ， 方程 有六个不同的实数解，则
6、的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 第 卷（非选择题，共 98分） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分。把答案直接答在答题纸上。 14 从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务，每天安排一 人，每人只参加一天若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为 _ (用数字作答 ) 15 点 ? ?,Mxy 是不等式组0333xyxy?表示的平面区域 ? 内的一动点，且不等式 20x y m? ? ? 恒成立，则 m 的取值范围是 _ 16 已知在 中， ， ，如图，动点 是在以 点为圆 心
7、，为半径的扇形内运动 (含边界 )且 ；设 ，则 的取值范围 _ 17 设 ?An 表示正整数 n 的个位数， ? ? ? ?2 ,na A n A n A?为数列 ?na的前 202 项和，函数 ? ? 1xf x e e? ? ?，若函数 ?gx 满足 ? ? 1 1xAxf g x A?，且? ? ?*Nnb g n n?，则数列 ?nb 的前 n 项 和为 _ 三、解答题：本大题共 7小题，共 82 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18 已知函数 ? ? 2s in 2 c o s6f x x x? ? ? (I)求 ?fx的最小正周期及 2,12 3x ?时 ?fx的
8、值域； () 在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边为 a， b， c，且角 C 为锐角， 3ABCS? ? ， c=2， 314 4 2fC ? ? ? ，求 a,b 的值 19 已知数列 ?na 中， 1 1a? ， ? ?*1 3nn naa n Na? ? (1)求证： 112na?是等比数列，并求 ?na3 的通项公式 na ； (2)数列 ?nb 满足 ? ?31 2nnnnnba? ? ? ?，求数列 ?nb 的前 n 项和为 nT 20 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 ADE BCF? 和一个正四棱锥P ABCD? 组合而成， AD AF? ， 2AE AD? ()
9、证明：平面 PAD? 平面 ABFE ； () 求正四棱锥 P ABCD? 的高 h ，使得二面角 C AF P?的余弦值是223 21 高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行 “3+3” 的构成模式，第一个 “3” 是语文、数学、外语，每门满分 150 分，第二个 “3” 由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6 个科目中自主选择其中 3 个科目参加等级性考试，每门满分 100 分，高考录取成绩卷面总分满分 750 分为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况， “ 将 A 市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生 ” 记作学生群体 B，从学生群体 B 中随机抽取
10、了 50 名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计表如下： 选考物理、化学、生物的科目数 1 2 3 人数 5 25 20 ( )从所调查的 50 名学生中任选 2 名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率； ( )从所调查的 50 名学生中任选 2 名，记 X 表示这 2 名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量 X的分布列和数学期望 ； ( )将频率视为概率，现从学生群体 B 中随机抽取 4 名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作 Y， 求事件 “ 2Y? ” 的概率 1F 、22 如图，椭圆 E 的左右顶点分别为 A、
11、 B,左右焦点分别为2F , 124, 2 3AB F F?,直线 ( 0)y kx m k? ? ?交椭圆于 C、 D 两点，与线段 12FF 及椭圆短轴分别交于 MN、 两点 (MN、 不重合 ), 且CM DN? . () 求椭圆 E的离心率； () 若 0m? ，设直线 AD BC、 的斜率分别为 12kk、 ，求 12kk 的取值范围 . 23.已 知函数 ? ? ? ? 2ln 1f x x ax? ? ?， 0a? . （ 1）讨论函数 ?fx的 单调性； （ 2） 若 函数 ?fx在 区间 ? ?1,0? 有 唯一零点 0x ， 证明： 210 1e x e? ? ? . 24
12、 已知直线 l 的参数方程为1232xtyt?(t 为参数 )，曲线 C的参数方程为 122 3 2x cosy sin?(? 为参数 )，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 P的极坐标为 22 3,3? () 求直线 l以及曲线 C的极坐标方程 ； () 设直线 l与曲线 C交于 A， B两点，求 PAB 的面积 河北冀州中学 2016-2017学年度下学期期末 高二年级理科数学试题答案 4 A 卷： BDCDB BDDDB CCD B 卷： CBACC DACBC BAC 14 5040 15 1 2 3m? 16 17 233 2nn n?18. (1) ? ? 31
13、s in 2 22f x x T? ? ? ? 42,63x ? ? 5 3 1,42fx ?(2) 1 s in 22 2 6CC? ? ? ?3 4 3S ab? ? ? 2 2 2 2 2 16c a b a b a b? ? ? ? ? ? 解得 223ab?或 232ab?19 (1)证明：由 ? ?1 *3nn naa n Na? ?，得13131nn n naa a a? ? ?， 11 1 1 1322nnaa? ? ? ?所以数列 112na?是以 3为公比，以11 1 322a? 为首项的等比数列，从而 11 1 3 232 2 3 1n n nn aa ? ? ? ? ?
14、 ?； (2) ? ?1 0 1 2 2 11 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2 2nn n n nnb T n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 11 1 1 11 2 12 2 2 2 2n nnT nn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 两式相减 得： 0 1 2 11 1 1 1 1 222 2 2 2 2 2 2n n n nT nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?124 2n nnT ? ? ?20. () 证明：正三棱柱 ADE BCF? 中， AB? 平 面 ADE ， 所以 AB AD? ，又 AD AF? ，
15、 AB AF A?， 所以 AD? 平面 ABFE ， AD? 平面 PAD ， 所以平面 PAD? 平面 ABFE () 由 () 知 AD? 平面 ABFE ，以 A 为原点， AB ， AE ， AD 方向为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系 A xyz? ，设正四棱锥 P ABCD? 的高为 h ， 2AE AD?，则 ? ?0,0,0A ， ? ?2,2,0F ， ? ?2,0,2C ， ? ?1, ,1Ph? ， ? ?2,2,0AF ? ， ? ?2,0,2AC? ， ? ?1, ,1AP h? 设平面 ACF 的一个法向量 ? ?1 1 1,m x y z? ，则 11
16、112 2 0,2 2 0,m A F x ym A C x z? ? ? ? ? ? ?取 1 1x? ，则 111yz? ? ，所以 ? ?1, 1, 1m? ? ? 设平面 AFP 的一个法向量 ? ?2 2 2,n x y z? ，则 222 2 22 2 0 ,0,n A F x yn A P x hy z? ? ? ? ? ? ? ?取 2 1x? ，则 2 1y? ， 2 1zh? ? ，所以 ? ?1, 1, 1nh? ? ? ? 二面角 C AF P?的余弦值是 223 ， 所以? ? 21 1 1 1 2 2c o s , 33 2 1mnmn mn h? ? ? ? ?
17、? ?，解得 1h? 21 () 记 “ 所选取的 2 名学生选考物理、化学、生物科目数量相等 ” 为事件 A 则? ? 2 2 25 2 5 2 0250 2049C C CPA C?所以他们选考物理、化学、生物科目数量 不相等的概率为 ? ? 291 49PA? 5 () 由题意可知 X的可能取值分别为 0， 1， 2 ? ? 2 2 25 2 5 2 0250 200 49C C CPX C? ? ?， ? ? 1 1 1 15 2 5 2 0 2 5250 251 49C C C CPX C? ? ? ? 115 2 0250 42 49CCPX C? ? ? 从而 X的分布列为 X 0 1 2 P 2049 2549 449 ? ? 2 0 2 5 4 3 30 1 24 9 4 9 4 9 4 9EX ? ? ? ? ? ? ? () 所调查的 50 名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有 25 名相应的概率为 25 150 2P?，所以Y 14,2B? 所以事件 “ 2Y? ” 的概率为 ? ? 2 2 3 42 3 44 4 41 1 1 1 1 1 12 1
