1、l第一节 常微分方程的基本概念l第二节 一阶微分方程l第三节 高阶微分方程的几个特殊类型l*第四节 二阶线性微分方程()22,32nyy yyxya yy yx 凡表示函数 及其导数和自变量 之间关系的方程叫作常微分方程,如等.所谓的常微分方程是指只有一个自变量的微分方程,其一般形式为(),0nF x y y yy.n并称其为 阶常微分方程这里简称为.本章主要介绍微分方程的一些基本概念及几种简单的常用的微分方程的解法.常微分方程微分方程先从实例出发,来说明微方程的基本概念.,m自由落体问题.设质量为 的物体 受重力作用,自由降落,试建立其方程.即求物体的运动规律.,()()stss t设物体降
2、落的铅垂线为 正向指向地心 物体在时刻 的位置为见图26-122,.d sFmamgmdt由牛顿第二定律 则22:,d sgdt于是有关系式说明运动规律与质量无关.1,dsstgtcdt为了求 两端对 积分 有2121().2s tgtctc再积分一次,便得运动规律注意到微分方程的解的过程是求原函数的过程,其解是一个函数.()(),0(),nyf xF x y yyyf x 若将一函数代入到微分方程中去,使方程恒成立,则函数叫作微分方程的解.图26-1 物体降落 示意图so221221(),2.d ss tgtctcgdt如函数是微分方程的解 将其代入方程恒成立212332133232.:,3
3、2,3()2.3yxy yxyxy yxxx 再如函数的微分方程的解验证 因为将代入该微分方程,有12232122223321233(1)32?:11(1)2,3(+1)(331)22,(1)yxy yxyxxy yxxxxyx 问函数是否也满足该满足微分方程验证因为将代入微分方程,有即函数也是该微分方程的解.1232122321233,()(),32.,()32,(1),yxccy yxyxcy yxcyxyx 实际上 函数为任意实数或说成积分常数 都是微分方程解其解有无穷多个 称为解曲线或者叫作积分曲线是平面内一族曲线.把叫作微分方程的通解,或者说成所有解.若 取定某一固定数值,如等 叫作
4、微分方程的特解.222121232(),(),.,.ny yxd scgdtc cnnc cc 通过上面例题可以发现,叫作一阶微分方程 的通解只有一个积分常数而为二阶微分方程 的通解中有两个积分常数理由很简单 因为一阶微分方程求解时需积一次分,而二阶微分方程积两次分,依次类推,阶微分方程的通解要有 个积分常数其通解形式为12(,)nyy x c cc:,.nnn特解的确定 因一阶微分方程只有一个积分常数,故需要一个初始条件,二阶微分方程有两个积分常数,故需要两个初始条件,阶微分方程有 个积分常数 故需要 个初始条件来确定特解(,)x y 已知曲线 上任意一点处之切线垂直于此点与原点的连线,例1
5、(1)由此建立微分方程;22(2);xyc验证隐函数为该微分方程的解(3)?该解如何得到的(4)(1,0),.若曲线过点试写出该曲线方程(1)().;yx,yxyyx 点与原点连续的斜率为因为过该点切线垂直于其连线,所以此即为所求微分方程解22(2)220,yxyyyxycx 因为所以即为该微分方程的解;2211(3),.22ydyxdxyxc 改写微分方程成两端积分可得22;xyc即为该微分方程的解22(4)1,0,1,1().xycxy因为时所以所求曲线方程为特解思考题1.微分方程的通解是否包含方程的所有解?答案202.说明微分方程 的阶数.x yxyy答案PT 3.用微分方程表示:在物理
6、中某种气体的气压 对于温度的 的变化率与气压成正比,与温度的平方成反比.答案4.特征参点答案课堂练习题2sin,1,0.11.确定函数关系式中的参数使之满足所给的初始条件.函数为xxy=CxCyy答案tan222.:,sinln,.验证是微分方程的解xyeyxyy ye答案在本节中，着重讨论几个简单形式的一阶微分方程的解法.一、可分离变量的微分方程()(),(),(),.dyf x g ydxf xg xx y形如的方程称为可分离变量的微分方程 其中分别是的连续函数:()0,g y 其解法为 设进行变量分离则有()()dyf x dxg y,.xy两端积分,便得 和 的关系式 即解出了微分方程
7、0(),()0,.yyxg y如果存在一点 或一函数使该情况另行考虑下面举例说明.dyxdxy 求解微分方程例122111,.22ydyxdxyxc变量分离两端积分解22.yxc所以其通解为.m 确定镭的衰变速度与质量 成正比例2,(0),dmkm kdt 为比例系数 负号表示质量随时间增加而减少.解1,(0),ln,dmkdt mmktcdt 所以1,kt cktmee 即为衰变规律.由此可见镭的质量随时间增加而按指数规律衰减.000,.tmcm若已知时 镭的质量为这时0(262).ktmm e所以有见图20cos|1.xdyyxydx 解方程 并求满足初始条件的特解例32110,cos,s
8、in,sindyyxdxxcyyyxc 当时 有所以所以为原方程的通解.解262见图 例2示意图Ot0mm0,0.yy显然满足该微分方程叫作该方程的补解10,1,1,.1 sinxycyx 将代入通解 得所求特解为221.(1)dyydxxxy 解微分方程例422211,1(1)1yxdydxdxyxxxx222211!(1)(1)xxxxxx所以22111ln(1)ln|ln(1)ln222yxxc故222(1)(1),(0)xycxc:,.注意 求解微分方程时 不必写成显函数 只写出关系式即可解(2,3),一曲线过点 它在两坐标轴间的任一切线段均为切点平分,求该曲线方程(见图26-3).例
9、5(,),x y设为所求曲线上任意一点过该点的切线方程为解()Yyy Xx,.0,2,X YXYy式中为切线的流动坐标令此时,.dydxyxyyx 于是有即图26-3 例5示意图OxyyY(,)x y中点ln|ln|ln,.2,3,6.yxcxycxyc 所以整理得当时6.xy 故所求曲线方程为6(1,1),(0,0)(,)1,(464).OP x yxPyOP 例 一曲线从原点经过点伸向第一象限 曲线从点到点一段弧与 轴及过 点平行 轴的直线围成面积等于为对角线,边分别平行坐标轴的矩形面积的求该曲线方程 见图264图2 例6示意图Oxy(1,1)(,)P x y01,0.,4xydxxy x
10、x依题意有两边对 求导1()4yyxy33,3,ln3lnln,.dydydxxyyxc ycxdxyx所以1,1.1xyc因为时所以故所求曲线方程为2,(0)yxx二、齐次微分方程dyyfdxx形如的方程称为齐次微分方程.tandyyydxxx如即为一齐次微分方程.显然该方程不能变量分离,解决该类问题的方法是解,.yuyxuxx令则两端对 求导有dyduuxdxdxtan,.duuxuudx于是便可变量分离tan0,ln|sin|ln|ln,(0),sintan,(0).dudxuuxc cuuxcx c当时所以tan0,0,0.sin,().uycycx cx 注意到即也是方程的解 所以允
11、许原方程的通解为为任意常数,(),dyuxf udx上例提供了解齐次微分方程的一般方法 即经过变换后 齐次方程可写在将其变量分离即为()dudxf uux227.dydyyxxydxdx例 解微分方程原方程可写成解22ydyy dyxdxx dx2,ydydududuuyxuuxuuxu uxxdxdxdxdx令则所以即1,(0)udxduuuxln|ln|ln,0,0.yxuuxc cycec所以故所以原方程通解为,()yxycec为任意实数:.c注 验证补解过程习惯上可以省略,最后注明 的取值范围即可三、()dyf axbycdx形如的微分方程,.()dudyduuaxbyabbf ucd
12、xdxdxa令则原方程可转化成将变量分离即()dudxbf uca28tan().dyxydx例 解微分方程22,1,tan1,tan1dudy duduuxyudxdxdx dxu 令则2cos.ududx即解11(1 cos2),sin2224uu dudxuxc原方程的通解为1sin()24xyxyxc四、一阶线性微分方程,.,dypyqpdxqxyy形如称为一阶线性微分方程(!重点掌握!).这里均为 的连续函数之所以称为线性 是指函数 及其导数都是一次的.()0,0q xypy若即称为一阶线性齐次方程.()0,.q xypyq若即称为一阶线性非齐次方程,ln|,.pdxdypdxyyp
13、dxc ycec 对于一阶线性齐次方程,其通解很容易解决.即这里 为任意实数对于一阶线性非齐次方程,不能进行变量分离,求解稍困难些.00,(),()pdxpdxpdxypyypyqyceypyypyqyceycepcxc x 不难看出,一阶线性齐次方程是非齐次方程的特殊情况,两者既有联系又有差异.对于函数来讲,它一定是齐次方程的解,一定不是非齐次方程的解 因为若将函数及其导数代入非齐次方程 有左端恒为零,而右端为函数不是零.于是可以猜想,若 不是常数,而 的函数 那么能否选取适当的函数,()?pdxyc x eypyq使函数是非齐次性方程的解呢().pdxyc x e于是人们尝试:令为非齐次方
14、程的解()()(),pdxpdxpdxyyc x ec x epypyqc x eypypq将 及代入方程中.有所以(),()pdxpdxc xqec xqedxc,(),(),pdxpdxc xqedxcyc x eypyq于是 当取适当函数时 函数一定是非齐次线性方程的解 即其通解为pdxpdxyqedxc e.,该方法称为数变由于该通解作为公式不易记忆 因此不背公式,根据推导过程,即利用数变来求解一阶线性非齐次方程.常易法常易法2.yyxx 求方程的通解例90.yyx先求对应齐次方程的通解解,ln|ln|ln,.dydxyxc ycxyx因为所以(),()()yc x x yc x xc
15、 xyy设原方程的解为将 及代入原方程有21()()()c x xc xc x xxx所以21(),()2c xx c xxc原方程通解为231122yxc xxcx2,xyyyxxxx该题当然也可以这样来解:变形为即21,2yxcx所以即原方程通解为312yxcx2cot.sinxyyxx 解微分方程例10cot0.yyx先求对应齐次方程的通解解cot,ln|ln|sin|ln.dyxdxyxcy 因为所以齐次方程的通解为sincyx设原方程的解为(),sinc xyx2()sin()cossinc xxc xxyxyy将 及代入原方程有()()()2cotcotsinsinsinsinc
16、xc xc xxxxxxxx所以2()2,()c xx c xxc原方的通解为2sinxcyxsin2,(sin)2,yxycoxxyxx该题也可以这样来做:变形为即2sin,yxxc所以原方程通解为2sinxcyx五、伯努利方程1111,(0,1).(?0,11?),1,(1)(1),.nnnnnndypyqynnndxdynypyqdxndydupyqyun pun qdxdx形如的方程称为伯努利方程情形又如何其解法为:变形所以令整理得此为一阶线性齐次方程2.yxyy 求微分方程通解例11111,duuuydxxx令则1,()1,1.cxuuxuxuxc ux 所以所以原方程的通解为xyx
17、c解思考题1.一阶齐次方程与一阶线性齐次方程中齐次的含义有何不同?答案2.是否微分方程都有通解?试举一例.答案203.微分方程+-的通解中含有几个积分常数.yy x答案4.线性微分方程有哪些特征?答案课堂练习题1.求=10的通解.x+yy答案21.2.求微分方程+2=0,满足初始条件的特解xxdyydxy答案一、()nnd yf xdx型的微分方程,.nn该类方程只需连积分 次 便可得到通解,其中有 个积分常数2cos.xyex 解方程例1211sin,2xyexc2121cos,4xyexc xc解所以原方程的通解为2212311sin82xyexc xc xc(0,1),12xyxMy 试
18、求经过点 且在该点与直线相切的积分曲线.例2211,2yxc1110,22xyc由初始条件所以解321162yxxc所以20,1,1,xyc由初始条件所以所求曲线311162yxx二、(,)yf x y型的微分方程,:,(,).xxxyypyppf x ppx该类型方程的特点是不含未知函数其解法为 令则所以原方程可写在为 关于 的一阶微分方程.简要地说,采用降阶的方法来解该类方程.0.xyy 求方程的通解例3,xdpypydx设则10,ln|ln|ln,dpdpdxxppxcdxpx 所以原方程可写成1112,ln|.ccpyycxcxx所以即所以原方程的通解为0022|1,|3.1xxxyy
19、yyx 求方程满足初始条件的特解例4解,xypyp设则解2222,11dpxdpxpdxdxxpx所以原方程可写成为2211ln|ln(1)ln,(1).pxc pc x21(1).yc x即3012|3,3,3,xycyxxc由初始条件所以02|1,1,xyc由初始条件所以331.yxx故所求特解为三、(,)yf y y型微分方程12,:,.,(,),(,).xxypyxdydxydp dydpdpppf y pydx dxdydyppyyx c c 该方程的特点是缺少自变量其解法为 令注意到方程中含有 而不含 为此想法令代换后出现而不出现所以于是原方程可写成此为关于变量的一阶微分方程,从方
20、程中求得最后再确定原方程的解220,0.yyyy 解方程例52,(!)20dpdpyp ypyppdydy设注意设法与 二 不同 则解0,.0pycp若若1,2dpdypy 有11ln|lnln,2pyc 所以11,ccdypdxyy即321122,.3ydyc dxyc xc所以2.yyyy 解方程例6,dpyp ypdy设2.dpypppdy所以有解0,;pyc若0,.1dpdyppy若有1ln|1|ln|ln,pyc所以11(1),1.cypc py 11,cdydxy 即1.ydydxyc所以112ln|.ycycxc原方程通解为322(1).yy 解方程例7322,(1),xydpy
21、p yppdx 该方程中既缺,又缺,按理说按类型二或类型三解都行,若按类型二,令则有该积分稍有些麻烦 若类型三 则比类型二要简单 这时有解322(1)dpppdy322,(1)pdpdyp所以2122111,1,()1yc pycp2111(),ycpyc 所以2111(),ycdydxyc 即121(),1()ycdydxyc 所以21121().ycxc 2221()()1xcyc3221(1)1.yy即解曲线为一单位圆,细心的也可发现,原微分方程为曲率处处为 的正是单位圆思考题 1.?对形如的微分方程求通解的步骤是什么nnd yf xdx答案2.采用何种方法来解形如的微分方程?y=f x
22、,y答案.3.注意在解形如的微分方程时的设法有何特点y=fy,y答案课堂练习题21.10.试将方程降阶并分离变量xy yy 返回2.求方程=cos 的通解.yx返回一、解的结构(,),(,)(,)0,yf x yyf y yF x y yyy上节介绍了特殊类型的二介微分方程的解法.对于一般的二阶微分方程求解是相当困难的.但如果是线性微分方程,所谓的线性是指函数 及其一阶 二阶导数都是一次方,是有办法解决的.,.ypyqyfp q fx二阶线性微分方程的一般形式为这里均为 的连续的函数()0,0f xypyqy若既叫作阶线齐二性次方程.()0,f xypyqyf若即叫作阶线齐二性非次方程.为了寻
23、求二阶微分方程的通解,先讨论线性微分方程的解的结构.0.yypyqycy设 是二阶线性齐次方程的解则也一定是该方程的解.1212,0.y yypyqyyy设是二阶线性齐性方程的两个解则也一定是该方程的解把上述两个基本性质写在一起,有121122,0,y yypyqyc yc y 若是二阶线性齐次方程的解 则其任意一个线性组合也是该方程的解.定理1 该定理说明,如果知道了二阶方程的两个解.由此可以构造出无穷多个解.1122?c yc y问题:是否为二阶齐次方程的通解121122,c cc yc y 二阶微分方程通应有两个积分常数,从表面上看,这里的恰好是任意两个实数,于是说,是通解 这句话的对错
24、 下面通过实例说明.21112212121122,202(2),xxxxxxyeyeyyc yc ycececc cecec yc y 已知是微分方程的两个解,(代入可验证),而其线性组合实际上只有一个积分常数 故不一定是该方程的通解.1212,.c cy y实际上,是否可以合并成一个常数 取决于的关系1121221121221212,;,(),yy yky yyyc cy ykkyy yc c若相差一个常数倍 即为常数 称是线性相关 这时必能合并 否则 当不相差一个常数倍 即为常数 或说成线性无关时一定不能合并,于是就有121122,0.y yypyqyc yc y 若是二阶线性齐次方程的两
25、个线性无关的解,则就是该方程的通解定理2122112212,0,.xxxxxyeyeyyyeky yyyc ec e 已知是微分方程的两个解(代入便可验证),且常数 即线性无关 所以该方程的通解为1212,(1)0.xxyx yexyxyyyc xc e再如 可以验证为方程的两个线性无关的解,则其通解为下面讨论二阶线性非齐次微分方程的解.*11(1),.yypyqyfyypyqyfyyypyqyff 设 是二阶线性非齐次方程的解,是的解 则是方程的解定理3().定理的正确性代入便可验证11122123,()0,(1).0,f xyyc yc yypyqyy y在定理 中 若即 是与方程对应的齐
26、次方程的解设为齐次方程的通解 即线性无关,则定理3可以叙述为:*11221122*0,.yypyqyfyc yc yypyqyyc yc yyypyqyf 设 是二阶线性非齐方程的特解,是与其对应的齐次方程的通解 则为方程的通解定理4*3121,2 2,3,2 0 2 2xxxxxyx eyyyxeyeyxeyyyyyyxe例如 可以验证为方程的特解 而是与方程对应的齐次方程的两个线性无关的解所以方程的通解为31213xxxycec xex e 以上介绍了二阶线性微分方程的解的结构,如何去解方程是最关键的,下面仅介绍最简单的二阶线性方程的解法.二、常系数二阶性微分方程的解法,0,.ypyqyp
27、q先考虑常系数二阶线性齐次微分方程这里均为常数,0,?rxrxyeyeypyqyr根据求导经验 因为指数函数的各阶导数仍为同类函数,于是猜想可能是常系数线性齐次方程的解那么 应取什么数值呢2,.,0rxrxyreyr ey y yypyqy将代入方程有220,0,0.rxrxrxrxr epreqeerprq因为所以2,0,00rxryeypyqyrprqypyqy说明 只要 满足上方程 则函数一定是方程的解 称为的.特征方程12,r r设是特征方程两个根.1212121212(1),0;r xr xr xr xrryeyeypyqyyc ec e若为实数 则就是方程的两个线性无关的解,这时方
28、程的通解为11121122(2),().r xr xr rryeyyyu xe 若为实数 即 为二重根 这种情况只能得到方程的一个解为了求通解 还要找到一个与 线性无关的解即满足常数12()r xyu x e于是设为方程另一解,则1121()()r xr xyu x eu x e r1112211()2()()r xr xr xyux eu x e ru x e r222,0yyyypyqy将代入方程整理得1112111()(2)()()()0r xr xr xux erp e u xrr pq e u x111111221211212(),().,()r xr xr xruxc u xc x
29、cyc xcyc xyc eyc xec xe 由 为特征根,及根与系数关系,可得又因为常数 所以可得微分方程的通解为或写成2()()11212122(3)40,i xi xpqyri riyeyeyyy 若即特征方程无实根,而是有一对共轭复数根,这时且常数 即线性无关,因此,方程的通解为12(cossin).(!)xyecxcx从前式到后式利用了尤拉公式.2 30.yyy 解微分方程例1解2230,1,3,rrrr 特征方程式为所以原方程的通解为312xxycec e00 2 0,|0,|1.xxyyyyy 求方程满足初始条件的特解例22210,1rrr 特征方程式为所以为二重根,原方程的通
30、为解12()xycc x e122:0,0,0,;xxxycyc ec xe由初始条件所以20,1,1,.xxycyxe由初始条件所以满足条件的特解为 2 50.yyy 解微分方程例3225012rrri 特征方程为所以为复根,原方程的通解为解(1 2)(1 2)1112(cos2sin2)i xi xxycecee cxcx常系数二阶线性齐次方程的解法很简单,因它不是用积分法,而是用代数法.下面看常系数二阶线性非齐次方程的通解.(),()0,.ypyqyf xf xp q其一般为为常数*112212*4,0,.,yypyqyyc yc yy yyyy根据定理该方程之通解应为它的一个特解加上与
31、其对应的齐次方程的通解其中线性无关当然 目前已经能确定 现在问题是如何寻求特解当然 要与*().(),(),.,f xf xyf xy函数有关 若为一般初等函数 找也是不容易的 但若为指数函数 多项式函数,正弦余弦函数,特解是容易确定的因此 仅对这三种情况的函数进行研究.2 3.xyyye 求微分方程的通解例4 3 0yyy先求对应齐次方程的通解.解2310,rr 因为特征方程35.2r所以所以齐次方程的通解为35352212xxycec.下面确定非齐次方程的特解22*2*2*2*2222*2(),.2,4.,43 2,xxxxxxxxxxf xeeyAeAyAeyAeyyyAeAeAeeye
32、 因为根据求导经验及微分方程为常系数,猜想特解很有可能仍是形式的函数,这仅是一个猜想,是否真具有该种形式,关键看其否满足方程.于是,设为待定系数将代入原方程 有故函数满足原方程 即其为非齐次线性方程的特解.353522212.xxxycce所以原方程之通解为2 3 2.xyyye 求方程的通解例5 3 20yyy先求方程的通解.解2320,1,2.rrrrr特征方程为所以212 3 20.xxyyyycec e所以齐次方程的通解为2*2*2.?,4,.xxxAeyAeyAe 说明原方程不具备形式之特解问题何在 分析一下 在例中设成功 该例中设则失败222,.xxxeAeAe 观察 思考 可以发
33、现 该例中是相应齐次方程之解,由定理1,必是齐次方程的解,必不是非齐次方程的解,从而若将代入原方程 必会有左恒等零 而右不为零 从而得出矛盾结果22*2*22*22*,2,44.,xxxxxxxxeeyAxeyAeAxeyAeAxeyyy 因为形式的函数及其一阶导数,二阶导数的某一个线线性组合有可能得到形式的函数 于是假设 原方程的特解为则将代入原方程222222(44)3(2)2xxxxxxAeAxeAeAxeAxee那么原方程的特解可能具备什么形式?*21,.xAyxe所以故原方程的通解为2212xxxycec exe005|2,|.xxyy将例 改为求满足初始条件的特解2,2,xy因为1
34、22,cc所以2221222xxxxycec eexe0,0,xy因为1221.cc 所以21(1),(2)3,5.cc 由式得故所求满足初始条件的特解为2253xxxyeexe2 4 4.xyyye 求微分方程的通解例6 4 40.yyy先求对应齐次方程的通解解2440,2.rrr特征方程为所以为重根 所以齐次方程的通解为212()xycc x e2*222212(),xxxxxf xeyAeAxec ec xe然后再确定原方程的特解,这里仍是由例4,例5可知,不能设成及形式 理由很简单,因为对应齐次方程的通解有含有及22*2*2222222,22,284.xxxxxxxxAxeeyAxey
35、AxeAx eyAeAxeAx e 因为函数与其一阶 二阶导数的线性组合有可能得到于是假定特解为故*,yyy将代入原方程,有2222222222(284)4(22)4xxxxxxxAeAxeAx eAxeAx eAx ee*2211,.22xAyx e所以特解故原方程的通解为222121()2xxycc x ex e*2,(),;.xxxxxf xBeyAeyAxeyAx eypyqyBe 归纳以上三例 当时 且 不是对应齐次方程的特征根时,特解应设为之形式 若 是特征方程单根时,特解应设成之形式 若 是特征方程二重根时,特解应设成之形式从而可以得么求解常系数二阶线性非齐次方程的方法()f x
36、下面讨论为多项式之情况.yyyx 求微分方程的通解.例7201130,2yyyrrir 先求对应齐次方程的通解.特征方程为所以解所以齐次方程的通解为13132212iixxycec e 21233coscos22xecxcx.下面确定原方程的特解()f xx因为为一次函数,猜想非齐次线性方程的特解很可能是一次多项式,于是*212,0,(),1,1,1.33coscos122xyAxByA yyyyAAxBxAByxyecxcxx 设为原方程的特解 则将代入原方程 有比较系数得所以故原方程的通解为*:(),.,0,1,0,.f xxyyAxyA yAAxxAAAx注意 尽管中没有常数项也要设成一
37、次多项式 否则将会出现矛盾结果若设则代入原方程有所以矛盾 即特解不是形式.yyx 求微分方程之通解例820.0,0,1,yyrrrr 先求之通解特征方程所以所以齐次方程的通解为解12xycc e*(),?,0,f xxyAxByyAxB yA yAx然后确定非齐次方程的特解,因为是一次多项式 是否能设特解为观察该微分方程之特点 其缺少函数项若设特解为代入原方程 则左端等于 为常数而右端为函数,矛盾.依照过去的做法,再乘于是设特解*2*(),2,2yx AxBAxBx yAxB yA*,2(2),yyyAAxBx将代入原方程 有1,12AB 所以*221211.22xyxxycc exx特解故原
38、方程的通解为(),(),().f xyf xyyf xx归纳以上两例可得,当为多项式时,若方程中含有则特解设成与同次多项式 若方程中不含有 而含特解设成与同多项式与 的乘积依次类推(),.f x下面讨论为正弦 余弦的情形 2sinyyyx 求微分方程的通解.例92 20.20yyyrr 先求对应齐次方程的通解特征方程解2121,2.xxrrycec e 所以齐次方程的通解为*sincoscossin,sincos.yAxBxyAxBx yAxBx 然后确定非齐次方程的一个特解,根据求导经验,特解可能是含有正弦,余弦的函数,于是猜测特解形成为*,yyy将代入原方程有(sincos)(cossin
39、)2(sincos)sinAxBxAxBxAxBxx3131,.301010ABABBA 比较系数有所以故原方程的特解为*31sincos1010yxx 所以原方程的通解为21231sincos1010 xxycec exx:()sin,sin,f xxAx注意 这里虽然但特解不能设成否则必出现矛盾结果.sinyyx 求微分方程的解.例10212120.10,cossin.ixixyyrriycec ecxcx 先求对应齐次方程的通解特征方程为所以齐次方程的通解为解*(),sincos,f xyAxBxx然后再确定原方程的一个特解,这里仍是正弦函数 但注意到齐次方程的通解,就不能再设之形式 按
40、照以往的方法 在原形式上再乘一个 即*(sincos).yx AxBx设为原方程的特解*,yyy将代入原方程有*(sincos)(cossin),yAxBxx ABx则*2(cossin)(sincos)yAxBxxAxBx2(cossin)(cossin)(cossin)sinABxx ABxx ABxx即原方程的通解为121cossincos2ycxcxxx*110,cos,22AByxx 所以所以(),()(),ypyqyf xf xf x以上着重讨论了常系数二阶线性齐次方程当为指数函数,多项式函数,正弦函数,余弦函数的解法,进一步地,根据解的结构定理,对于当为指数函数 多项式函数 余弦
41、函数之和或之积,仍是可以解决的,下面举例说明.2 331.xyyyxe 求微分方程的通解例11 2 30yyy先求对应齐次方程的通解.解2230,1,3,rrrr 特征方程为得齐次方程的通解为312xxycec e*111*1(),2 331,01123()31,1,.33f xyyyxyAxByA yAAxBxAByx 这里为一多项式函数及一指数函数之和 根据定理3,分别求与多项式函数对应的特解和与指数函数相应的特解,于是考虑方程的特解.设为其特解 则代入有所以*222 2 3,2,xxxxxxxyyyeeyAxeyAeAxeyAeAxe 再考虑方程的特解.因为为对应齐次方程的解,所以设为其
42、特解 则代入有(2)2()3xxxxxxAeAxeAeAxeAxee所以*211,44xAyxe *312121134xxxyyyycec exxe故原方程的通解为2 3 2.xyyyxe 求方程的通解例122 3 20.320yyyrr先对应齐次方程的通解特征方程为解1,2,rr 所以齐次方程的通解为212xxycec e22,(),2,(),.xxf xerAxexyAxBf x 然后确定原方程的特解 这里是一多项式函数与一指数函数的乘积.若单看指数函数且为特征方程的单根,特解应具形式 若单看多项式函数 且原方程不缺函数 项 其特解应具有形式 将二者合在一起来看,注意到为它们的积 于是 猜
43、测解应具有以下形式*222()(),.xxyAxB xeAxBx e设*222(2)2(),xxyAxB eAxBx e则*222224()4().xxxyAeAxB eAxBx e*,yyy将代入原方程 有22(24)(84)4xABAB xAx e222223(22)2(22)xxxBAB xAx eAxBx exe1,1,2AB 比较系数 解方程组可得*2112xyxxe 所以故原方程的通解为2212112xxxycec exxe00cos2|1,|0 xxyyxxyy 求微分方程满足初始条件的特解.例1312cossin.ycxcx由例10知对应齐次方程的通解为解*()cos2()si
44、n2yAxBxCxDx设为非齐次方程的特解.*cos22()sin2sin22()cos2yAxAxBxCxCxDx则(22)cos2(22)sin2CxDAxAxBCx *2cos22(22)sin22 sin2(22)cos2yCxCxDAxAxABcx(444)cos2(444)sin2AxBCxCxADx*,yyy将代入到原方程,有4()cos2()sin2 AxBCxCxADx()cos2()sin2 cos2.AxBxCxDxxx14,0,39ABCD 比较系数 可得*14cos2sin2.39yxxx 所以所以原方程通解为1214cossincos2sin239ycxcxxxx1
45、0,1,1,xyc由初始条件所以2218sincossin2cos2cos2339yxcxxxxx 250,0,9xyc 由初始条件所以满足初始条件的特解为514cossincos2sin2939yxxxxx思考题1.写出二阶线性微分方程的一般形式.答案 2.熟练掌握常系数二阶线性齐次微分方程的解法及常系数二阶线性非齐次方程的通解的求解过程.并说明其通解的特点.答案课堂练习题1.试写出-0的特征方程.yyx=答案2.求方程560的通解.y+y+y=答案1.不一定,因为通解只是含有任意常数的解且任意常数的个数恰好等于方程的阶数.返回2.二阶.返回23.:dPPkkdTT 用微分方程表示为 为比例
46、系数返回.返回(1)1yy方程中 及 的各阶导数的次数都是 次.(2).y方程中各项不能出现关于未知函数 的负次幂(3),cosln.yyy方程中各项不能再现关于 的函数 如或1.解:12cos:yCxC 将初始条件代入后可得1212sin1,cos0.CCCC121,.2CCkkZ 所以返回2.验证：tantan2221,lntan,sec,22 2xxxyeyye将.代入可得返回 1.,0,yfxx yy+p x yy y一阶齐次方程是由齐次函数而定义的,就是关于的零次齐次函数.一阶线性齐次方程的左端是关于都是一次性的(线性)右端为零,因此称为线性齐次方程.返回 23.2.不是,例如 y在
47、实函数范围内无解返回3.两个.返回4.特征三点如下:yy(1)方程中 及 的各阶导数的次数都是1次.y(2)方程中各项不能出现关于未知函数 的负交幂.yyy(3)方程中各项不能出现关于 的函数,如cos 或ln 等.返回1.解:10 1010 xyxydydydxdx分离变量后两端积分得:101010ln10ln10ln10yxC1010 xyC所以即为所求.返回2.解:2,ln2lnlndydxyxcyx .y=cx-2所以.Cy=x-2由初始条件,得:=4,即所求特解4返回1.nn对方程两端连续积分 次,就可得到含有 个积分常数的通解.返回2.一般用降阶的方法.返回P=yyxdy.3.首先
48、,令,注意到方程含 而不含,为此我们希望代换后出现,dpdp dydpypdxdy dxdy所以=,dpPfy pdyy p 即此为关于变量的一价微分方程.返回1.解:y,方程不显含未知函数 ,.y=p xypx令则20 xppp则方程降阶为-1-2.1Pdpdxpx分离变量后得到返回2.解:1cossin,yxdxxc 12cos;yx c dxxc xc 1=sin+211223cossin.2cyxc xcdxxxc xc 123(,)c c c 为任意常数返回1.y+py+qy=f p,q,fx 均为 的连续函数返回2.,.y常系数二阶线性齐次微分方程求通解利用其特征方程的特征根可得出;对于非齐次微分方程它的通解是它的一个特解再加上与其对应的齐次方程的通解而得到的返回1.解:0,0.yyxyy 是非齐次线性方程 其齐次线性方程为32:0rr特征方程为返回2.解:2560,rr原方程的特征方程为:2,3.rr 12得特征根为23122:,.xxycec ec c1故原方程的通解为 为任意常数返回
