1、*第五章 反三角函数与简单的三角方程(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容(1)反正弦、反余弦、反正切、反余切函数的概念、性质和 图像.(2)简单三角方程及其解法.(3)正弦、余弦定理及解斜三角形.二、本章重点、难点二、本章重点、难点 反三角函数的概念、性质以及解斜三角形既是重点，又是难点.三、对学习的建议三、对学习的建议(1)本章的反三角函数的图像及公式占有重要位置,现列于表5-1.表表 5-1 反三角函数的图像及公式反三角函数的图像及公式函数定义域值域图 像有关公式arcsin
2、yxarccosyxarctanyx 1 1，1 1，()，2 2，0，2 2，1,1sin(arcsin)arcsin()arcsin当 时，xxxxx 1,1cos(arccos)arccos()arccos当 时，xxxxx()tan(arctan)arctan()arctan当，时，xxxxx 21O1xy221O 1xy2Oxy2函数定义域值域图 像有关公式arccotyx()，(0)，()cot(arccot)arccot()arccot当，时，xxxxx 2Oxy续表续表(2)本章所述简单的三角方程可分为以下两类：含有同角、同名的三角函数的三角方程；可化成含有同角、同名的三角函数
3、的三角方程.(3)正弦定理和余弦定理是解斜三角函数的理论依据.它的解法归纳见表5-2.四、本章关键词四、本章关键词反三角函数三角方程通解正弦定理余弦定理表表 5-2 利用正、余弦定理解斜三角形的方法利用正、余弦定理解斜三角形的方法已 知 条 件解 法一边和两角 先求第三角，再用正弦定理求其它两边两边和一对角 先用正弦定理求另一对角，再求第三角，最后用正弦定理求第三边两边和夹角 先用余弦定理求第三边，再用正弦定理求未知两角中较小的一个，最后求第三角三边 先用余弦定理求两个较小的角，再求第三角(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、求反三角函数定义域与值域一、求反三角函数定义域与值域反正弦
4、、反余弦符号内的“式子”绝对值小于等于 1.2arccos1arctan5 写出下列各函数的定义域和值域.(1)；(2).yxyx例例1 1解解01110(1)，xx 121解得，xx12故所求函数的定义域为.x0arccos12又因为，x 02arccos1所以，x 2arccos10所以函数 的值域，；yx505(2)，解得，xx5故所求函数的定义域为.x 0arctan52又因为，x0,2所以函数的值域为.对于反三角函数符号内的“式子”中含偶次根式、分式、对数，必须使“式子”有意义，再使反三角函数也有意义.即求公共解，就是函数的定义域.二、反三角函数的求法二、反三角函数的求法(1)把三角
5、函数转化成反三角函数121sincos6232tan00cot14 (1)；(2)；(3)；(4).例例2 2解解,62 2(1)因为，1arcsin26所以；20,3(2)因为，12arccos23所以；0,2 2(3)因为，arctan00所以；0,4(4)因为，arccot14所以.(2)直接采用公式计算21sin arcsincos arccos243tan arctancot(arccot10)3 求下列各式值.(1)；(2)；(3)；(4).例例3 3解解2 1 12(1)因为，22sin arcsin22所以；1 1 14(2)因为，11cos arccos44所以；33tan
6、arctan33(3)；cot(arccot10)10(4).11arcsinarccos22arctan(1)arccot(1)求下列各式的值.(1)；(2)；(3)；(4).例例4 4解解1 1 12(1)因为，11arcsinarcsin22所以.1arcsin26又因为，1arcsin26所以；1 1 12(2)因为，11arccosarccos22所以.1arccos23又因为，12arccos233所以；arctan(1)arctan1(3)因为，arctan14，arctan(1)4所以；arccot(1)arccot1(4)因为，arccot14，3arccot(1)44所以.
7、从例3、例4中得出，要想求反正弦、反余弦，首先验证一下反正弦、反余弦符号内的“数值”是否在-1，1 内，如果在-1，1 内反正弦，反余弦就存在，否则就不存在.2arcsin sinarcsin sin33 求下列各式的值.(1)；(2).例例5 5解解3arcsin sinarcsin323(1)；2arcsin sinarcsin sin33(2)arcsin sin33.arcsin(sin)22arcsin(sin)22由例5看出，当 中，即 在反正弦的值域内，则，其他三个反三角函数也在相应的反三角函数的值域内,也有以上的性质.当，arcsin(sin)arcsin(sina)即 不在反
8、正弦的值域内，则，这时 等于在值域内且和 有相同正弦函数值的另一个角，其他三个反三角函数也有同样的性质.4arccos cosarccos cos33 求下列各式的值.(1)；(2).例例6 603(1)因为，解解arccos cos33所以；403(2)因为，4arccos cos3所以 arccos cos3arccoscos3arccos cos3arccos cos3233；(3)三角函数与反三角函数互换进行计算213sin arccos2tanarccos32523cos arccos2arccos35 求下列各式的值.(1)；(2)；*(3).例例7 7解解2arccos23(1)
9、设，2cos2032所以，2221sin1 cos1233所以，1sin3原式；3arccos5(2)设，3cos0052所以，32111 cos1155tan3821 cos42155原式；23arccos2arccos35*(3)设，.23cos2cos03522所以，.281sin1 cos193所以，2234sin1 cos155.cos()原式coscossinsin231423535 2(2 22)15.2arctan(32 2)arctan24*证明 例例8 8证明证明左边取正切：2tan arctan(32 2)arctan22tanarctan(32 2)tan arctan
10、221tanarctan(32 2)tan arctan2232 2221(23 2)263 2163 2232 2002因为，20arctan(32 2)0arctan222所以，.02232 22由于正切函数在，内是单调增加的且，因此2arctan(32 2)arctan220arctan(32 2)arctan22即 2arctan(32 2)arctan24所以 三、简单三角方程的解法三、简单三角方程的解法 简单三角方程是通过代换化为代数方程和最简三角方程的方程.一般地，三角方程有以下几种方法.(1)直接化为最简三角方程2cos(315)10 解方程：.x 例例9 9解解2cos(31
11、5)1因为，x 1cos(315)2所以.x 315315把 当作一个角，先求方程关于 的取值，得xx1315360arccos()2 ，xkkZ|12045所以原方程的解集 .x xkk Z(2)化为以某一三角函数为变量的二次方程形式(包括关于正弦函数与余弦函数是二次齐次的)直接采用因式分解(其中是某一三角函数的二次方程).22sin(23)sin3 解方程 .xx例例1010解解22sin(23)sin30因为 xx(2sin3)(sin1)0所以 xx32sin30sin2由 即，得其解集为 xx3(1)arcsin()2，kxkk Zsin10sin1由 即，得其解集为 xx 2arc
12、sin(1)()，xkk Z所以原方程的解集为(1)232，kx xkkx xkk ZZ 通过三角函数恒等变型，变成同角、同名的三角函数的方程，然后求解.22sin3cos0 解方程.xx例例1111解解22sin1 cos把 代入方程得xx 22(1 cos)3cos0 xx22cos3cos20(cos2)(2cos1)0所以，xxxxcos20cos2由 得，xx这时方程解集为.12cos 10cos2由 得.x 12arccos()2方程的解集为，.xkkZ223所以原方程的解集为，.x xkkZ 角的正弦和余弦的齐次方程(即每项的次数相等)可运用三角恒等式化同角和同名三角函数的方程，
13、然后求解.22sin4sin cos3cos0 解方程.xxxx例例1212解解cos0cos022因为 若 则，不满足方程xxxk2cos所以用 同除原方程的两边得x2tan4tan30 xx(tan1)(tan3)0所以 xxtan10tan1arctan1()由 得，这时方程解为 ，.xxxkk Ztan30tan3arctan3()由 得，这时方程解为 ，.xxxkk Z所以原方程解集为arctan34，.x xkkx xkkZZ222sin5sin coscos4 解方程.xxxx例例1313解解22sincos1因为，xx所以原方程可化成222sin5sin cos3cos0 xx
14、xxcos0cos022xxxk因为 若 则，不满足方程2cos所以原方程两边同除以 得x22tan5tan30 xx(2tan3)(tan1)0所以 xx32tan30tan2由，即，得xx 3arctan()2，xkkZtan10tan1由，即，得xx arctan1()，xkk Z所以原方程的解集为3arctan42，.x xkkx xkkZZ22sincossin()tan(3)形如 的方程，可以先把左端化成 其中，然后求解axbxcbAxAaba3sincos2*解方程 .xx例例1414解解31因为，ab22(3)13 12所以.A 13tan00323即，ba6所以.2sin26
15、所以原方程变成 .x2sin62所以，得x2(1)arcsin()62，kxkk Z所以原方程的解集为(1)6，kx xkk Z四、解斜三角形四、解斜三角形 正弦定理反映了三角形的边角关系，可以用来解决两类斜三角形问题.已知两角和一边，求其他边和角.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，再进一步求出其他的边和角.1 1、正弦定理正弦定理103045 中已知，求、和.ABCaABbcC例例1515解解180(1),CAB 1803045105；Csinsin(2)由，abABsinsin即，aBbA1010sin45210 21sin302从而；bsinsin(3)由，acACsinsin即
16、 aCcA621010sin10545(62)1sin302所以 c2145 在 中，已知，求、.ABCbcBaAC例例1616解解45 分析：已知两边及一边对角，先判断三角形解的情况.由，故有一解.bcB21sin12sin22根据正弦定理得，cBCb45由，可知，bcBCB 30所以 C180又，ABC 180()105所以 ABC sinsin所以 bAaB2sin105sin45622422622.1012120 在 中，已知，解三角形.ABCabA例例1717解解120因为 是钝角，A所以 应是最大边，a但，ba所以此题无解.3245 中，已知，求、和.ABCabBACc例例1818
17、 分析：这是已知两边和一边所对的角解三角形的问题，可用正弦定理求解，但先要判定是否有解，有几个.ABC解解4590因为，且，Bba所以有两解ABC由正弦定理得sin3sin453sin22aBAb60120所以 或.AA60(1)当 时，A180()75，CAB sin2sin7562sinsin452bCcB120(2)当 时，A180()15，CAB sin2sin1562sinsin452bCcB6260752故 ，ACc62120152或，ACc6000m45753015*我炮兵阵地位于地面 处，两观察所分别位于地面点 和 处.已知，目标出现于地点 处时，测得，(图 5-1)，求炮兵阵
18、地到目标的距离(结果保留根号).ACDCDACDADCBBCDBDC例例1919751590 分析：如图 5-1 所示，题中的四点、可构成四个三角形，要求 的长，由于，只需知道 和 的长，这样可选择在 和 中应用定理求解.ABCDABADBADBDADCCBD45301575ABCD图 5-1 例19 示意解解60601800450 中：，.ACDADADCCADCCDACDsin452sin603根据正弦定理有 .CDADCD180135同理在 中.BCBCDBDCDCBDsin302sin1352根据正弦定理有.CDBDCD90 中 又因为在，ADBADBADCBDC 2221421000
19、 42326所以.ABADBDCDCD1000 42 m所以炮兵阵地到目标的距离为.2 2、余弦定理余弦定理 余弦定理也反映了三角形的边角关系，它是勾股定理的进一步推广，可以解决以下三类有关斜三角形问题.已知三边，求三个角.已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，此类问题需要讨论.2 662 34 3 在 中，已知，求 、.ABCabcABC例例2020解解6060 分析：已知三边,可用余弦定理直接求角，先求出两个角后，再用内角和求第三角.使用余弦定理求角时，一般在判断三个角的大小后，可先求最大角，也可先求最小角.如果最大角小于，最小角大于，可
20、知三角形无解.由已知，得 是最大角.acbB根据余弦定理，得222cos2acbBac2448(4824 3)2 6 64 3136242 2 0105所以 是钝角，.BB由正弦定理得sinsincBCb4 3sin10562 3624 3462 312因为，bc45所以 是锐角，.CC180()30于是，ABC 3010545所以，.ABC2223cos3022 注：此题也可由余弦定理先求最小角，再求其他角.bcaAAAbc(31)30 在 中，已知，.，求、ABCaACBb 例例2121解解30 分析：由于 已知，再求出一个角后，用内角定理即可求第三个角.因为，使用正弦定理求其他角的正弦时
21、，需知、或、，实际上只需知道、就可以了.于是利用余弦定理，用 表示，找到 与 二者的关系.CCabacbcccabac(31)由，根据余弦定理得ba2222coscbaabC2223(31)2(31)2aaa2(23)a00因为，ab2323，.所以 caacsinsin由正弦定理，得 cCaAsinsin所以 aCAc1232223316242 2.(31)由，知.baab75105所以 或.A75180()75时，.ABAC 得，与已知矛盾.ab105180()45所以，.ABAC 2 22 345 在 中，已知，求，.ABCabAcBC例例2222解解根据余弦定理，有2222cosabc
22、bcA222(2 2)(2 3)2 2 3 sin45cc 22 640得，cc126262解 ，.cc162当 时，c 2221cos2abcCab8 1284 32 2 22 3 624117560故，.CB2215120同理可求得 ，.CB 注：已知两边及一边对角求解三角形时，使用余弦定理，借助方程的思想，将第三边视为未知数，得到以这边为未知数的一元二次方程.若这个方程有两个不同的正实根，则三角形有两解；若方程有重根，三角形有一解(为直角)；若方程只有一正实根而另一个为负实根，也有一解(为锐角).BB9nmile(1nmile1852m)20nmile h15248nmile5h 方向，
23、距 有 ，并以 /的 速度沿南偏西 方向 行驶.若 甲*如图船以 5-2 所示，甲船在 处，乙/的速度行驶，应沿船在 处什么方向，的南偏东 用多少小时能尽快 追上 乙船？AAA例例23234515ABC图 5-2 例23 示意9nmile1801545120 分析：若在 处甲船追上乙船，那么在 中，CABCABABC解解根据余弦定理，得2222cos ACABBCABBCABC221(28)81(20)2 9 202ttt 212860270.tt(43)(329)0，tt39()432解得 舍去.tt 332821(n mile)2015(n mile)44所以 ，ACBCsinsin由 B
24、CABCBACAC3155 322114，120ABC5 3arcsin14所以 为锐角，.BACBAC5 37 2214142又因为，5 3arcsin144所以.5 33arcsinh4144所以甲船沿南偏东 的方向用 可以追上乙船.注：航海问题常涉及解斜三角形的知识，解题时应注意画出示意图，帮助分析.本题中的，边已知，另两边未知，但它们都是船航行的距离，由于两船的航速已知，所以这两边均与时间 有关.这样据余弦定理，可列出关于 的一元二次方程，解出 值，问题得到解决.ABCABttt(三三)思考题思考题 1、在反三角函数中必须明白哪种形式是求角或数，并会求 反三角函数的定义域，值域.2、反
25、三角函数求解中遇到哪些类型题.3、解三角方程的方法大致有几种.4、正弦定理解决哪类三角形问题.答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案(四四)课堂练习题课堂练习题1、写出反三角函数：1535 sin cos cot3.62626(1)；(2)；(3)2.、求值2(1)sin arcsin(2)arctan131(3)tan arctancot3?2；arc32cos2=1、解方程:.x 4、已知三边求三角:已知两角和任一条边,求其他两边和一角各用什么定理解决.答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1 arcsin2 .、无开头者总体是求角，不是这开头是求数值，但必须有意义前提下，如无意义ar
26、c返返 回回2 、把三角函数转化成反三角函数；直接采用公式计算；三角函数与反三角函数互换.返返 回回22 sincos .sin ,tan.3、直接化为最简单三角方程：化为以某一三角函数为变量的二次方程形式；形如的方程 先把左边化成，然后解=axbxcbAxAaba返返 回回4、解决:(1)已知两角和任一条边，求其他两边和一角.(2)已知两边和其中一边的对角求一边、两角.返返 回回1351 (1)arcsin (2)arccos26265 (3)arccot3.6、；返返 回回22.3(1)(2)、；-411(3)arctanarccot3.tan cot3.22设=，则，1tantan1.3，代入原式=返返 回回113 cos2 22arccos.22、，=，xxkk Z,.x|x=kkZ原方程解集为6返返 回回4、分别用余弦定理、正弦定理.返返 回回
