1、 1 2016-2017 学年度 第二学期 高二期末 数学试题 （文） （满分 150分，考试时间： 120分钟） 第 卷（选择题 共 60分） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 P=x R|1 x 3， Q=x R|x2 4，则 P （ ?RQ） =（ ） A 2， 3 B（ 2， 3 C 1， 2） D（ ， 2 1， + ） 2若 a=log20.5， b=20.5， c=0.52，则 a， b， c三个数的大小关系是（ ） A a b c B b c a C a c b D c a b 3在极坐标系
2、中，点（ ， ）到直线 cos sin 1=0的距离等于（ ） A B C D 2 4已知命题 p： ? x 0， ln（ x+1） 0；命题 q：若 a b，则 a2 b2，下列命题为真命题的是（ ） A p q B p q C p q D p q 5命题 p： “ ? x0 R“ ， x0 1 0的否定 p为（ ） A ? x R， x2 1 0 B ? x R， x2 1 0 C ? x0 R， x02 1 0 D ? x0 R， x02 1 0 6函数 f（ x） =ln（ x2 2x 8）的单调递增区间是（ ） A（ ， 2） B（ ， 1） C（ 1， + ） D（ 4， + ）
3、7已知函数 f（ x） =3x（ ） x，则 f（ x）（ ） A是奇函数，且在 R上是增函数 B是偶函数，且在 R上是增函数 C是奇函数，且在 R上是 减函数 D是偶函数，且在 R上是减函数 8函数 y=f（ x）的导函数 y=f （ x）的图象如图所示，则函数 y=f（ x）的图象可能是（ ） 2 A B C D 9若定义在 R上的偶函数 f（ x）满足 f（ x+2） =f（ x），且当 x 0， 1时， f（ x） =x，则函数 y=f（ x） log3|x|的零点个数是（ ） A多于 4个 B 4个 C 3个 D 2个 10已知函数 f（ x） =xlnx，若直线 l过点（ 0， 1
4、），并且与曲线 y=f（ x）相切，则直线 l的方程为（ ） A x+y 1=0 B x y 1=0 C x+y+1=0 D x y+1=0 11若函数 f（ x）在 R上可导，且满足 f（ x） xf （ x），则（ ） A 2f（ 1） f（ 2） B 2f（ 1） f（ 2） C 2f（ 1） =f（ 2） D f（ 1） =f（ 2） 12函数 y=1+x+ 的部分图象大致为（ ） A B C D 第卷（非选择题 共 90分） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 把答案填在答题卡的相应位置 13已知函数 y=f（ x）的图象在点 M（ 1， f（ 1）处的切线方程是
5、 y= x+2，则 f（ 1） +f （ 1） = 14已知函数 f（ x）是定义在 R上的偶函数，若对于 x 0，都有 f（ x+2） = ，且当 x 0，2时， f（ x） =log2（ x+1），则 f（ 2013） +f（ 2015） = 15若 a=log43，则 2a+2 a= 3 16已知函数 f（ x） = ，且关于 x 的方程 f（ x） +x a=0 有且只有一个实根，则实数 a的取值范围是 三、解答题（共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知 p： x A=x|x2 2x 3 0， x R， q： x B=x|x2 2mx+m2 9 0， x R，
6、m R （ 1）若 A B=1， 3，求实数 m的值； （ 2）若 p是 q的充分条件，求实数 m的取值范围 18已知指数函数 f（ x） =ax（ a 0，且 a 1）过点（ 2， 9） （ 1）求函数 f（ x）的解析式 （ 2）若 f（ 2m 1） f（ m+3） 0，求实数 m的取值范围 19已知函数 f（ x） = +x在 x=1处的切线方程为 2x y+b=0 （ ）求实数 a， b的值； （ ）若函数 g（ x） =f（ x） + x2 kx，且 g（ x）是其定义域上的增函数，求实数 k的取值范围 20已知函数 f（ x） =ax3+x2（ a R）在 x= 处取得极值 （ 1
7、）确定 a的值； （ 2）讨论函数 g（ x） =f（ x） ?ex的单调性 21.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），直线 l 的参数方程为 （ t为参数） （ 1）若 a= 1，求 C与 l的交点坐标； （ 2）若 C上的点到 l距离的最大值为 ，求 a 4 22已知函数 f（ x）对于任意 m， n R，都有 f（ m+n） =f（ m） +f（ n） 1，并且当 x 0时 f（ x） 1 （ 1）求证：函数 f（ x）在 R上为增函数； （ 2）若 f（ 3） =4，解不等式 f（ a2+a 5） 2 5 答案 一选择题（共 12小题） 1-5.BCABB
8、6-10. DADBB 11-12.AD 二 填空 题 （共 4小题） 13 3 14 0 15 16（ 1， + ） 三 解答题 17解：由已知得： A=x| 1 x 3， B=x|m 3 x m+3 （ 1） A B=1， 3 ， m=4； ?（ 5分） （ 2） p是 q的充分条件， A?RB， 而 CRB=x|x m 3，或 x m+3 m 3 3，或 m+3 1， m 6，或 m 4 ?（ 5分） 18解：（ 1）将点（ 2， 9）代入到 f（ x） =ax得 a 2=9，解得 a= ， f（ x） =?（ 4分）（ 2） f（ 2m 1） f（ m+3） 0， f（ 2m 1） f
9、（ m+3）， ?（ 6分 ） f（ x） = 为减函数， ?（ 8分） 2m 1 m+3， ?（ 10 分） 解得 m 4， 实数 m 的取值范围为（ 4， + ） ?（ 12分） 19解：（ ） f（ x） = +x， f （ x） = +1， ?（ 1分 ） f（ x）在 x=1处的切线方程为 2x y+b=0， 6 +1=2， ?（ 2分 ）， 2 1+b=0， ?（ 3分 ） a=1， b= 1； ? ?（ 5分） （ ） f（ x） =lnx+x， g（ x） = x2 kx+lnx+x， g （ x） =x k+ +1， ?（ 6分 ） g（ x）在其定义域（ 0， + ）上是增
10、函数， g （ x） 0在其定义域上恒成立， x k+ +1 0在其定义域上恒成立 ?（ 8分） k x+ +1在其定义域上恒成立， ?（ 9分 ） 而 x+ +1 2 +1=3，当且仅当 x=1时 “=” 成立， ?（ 11分 ） k 3 ?（ 12分 ） 20解：（ 1）对 f（ x）求导得 f （ x） =3ax2+2x ?（ 2分） f（ x） =ax3+x2（ a R）在 x= 处取得极值， f （ ） =0， ?（ 4分） 3a? +2?（ ） =0， a= ； ?（ 6分） （ 2）由（ 1）得 g（ x） =（ x3+x2） ex， g （ x） =（ x2+2x） ex+（
11、x3+x2） ex= x（ x+1）（ x+4） ex， ?（ 8分 ） 令 g （ x） =0，解得 x=0， x= 1或 x= 4， 当 x 4时， g （ x） 0，故 g（ x）为减函数； 当 4 x 1时， g （ x） 0，故 g（ x）为增函数； 当 1 x 0时， g （ x） 0，故 g（ x）为减函数； 当 x 0时， g （ x） 0，故 g（ x）为增函数； ?（ 10分） 综上知 g（ x）在（ ， 4）和（ 1， 0）内为减函数，在（ 4， 1）和（ 0， + ）为增函数 ?（ 12 分） 21.解：（ 1）曲线 C的参数方程为 （ 为参数），化为标准方程是： +y
12、2=1； 7 a= 1时，直线 l的参数方程化为一般方程是： x+4y 3=0； ?（ 2分 ） 联立方程 ， ?（ 3分） 解得 或 ， 所以椭圆 C和直线 l的交点 为（ 3， 0）和（ ， ） ?（ 6分 ） （ 2） l的参 数方程 （ t为参数）化为一般方程是： x+4y a 4=0， 椭圆 C上的任一点 P可以表示成 P（ 3cos ， sin ）， 0， 2 ）， ?（ 8分） 所以点 P 到直线 l的距离 d 为： d= = ， 满足 tan= ， ?（ 10分 ） 又 d的最大值 dmax= ， 所以 |5sin（ + ） a 4|的最大值为 17， 得： 5 a 4=17或
13、 5 a 4= 17， 即 a= 16或 a=8 ?（ 12 分） 22 解：（ 1）证明 ：设 x1， x2 R，且 x1 x2，则 x2 x1 0，则 f（ x2 x1） 1 函数 f（ x）对于任意 m， n R，都有 f（ m+n） =f（ m） +f（ n） 1成立 令 m=n=0，有 f（ 0+0） =f（ 0） +f（ 0） 1，即 f（ 0） =1， ?（ 2分） 再令 m=x， n= x，则有 f（ x x） =f（ x） +f（ x） 1，即 f（ 0） =f（ x） +f（ x） 1， f（ x） =2 f（ x）， f（ x1） =2 f（ x1） 而 f（ x2 x1
14、） =f（ x2） +f（ x1） 1=f（ x2） +2 f（ x1） 1 1， ?（ 4分 ） 即 f（ x2） f（ x1） 0，即 f（ x2） f（ x1）， 函数 f（ x）在 R上为增函数； ?（ 6分） （ 2） f（ 3） =f（ 1+2） =f（ 1） +f（ 2） 1=f（ 1） +f（ 1） +f（ 1） 2=3f（ 1） 2=4 f（ 1） =2 ?（ 8分） f（ a2+a 5） 2，即为 f（ a2+a 5） f（ 1）， ?（ 10 分） 由（ 1）知，函数 f（ x）在 R上为增函数， a2+a 5 1，即 a2+a 6 0， 8 3 a 2 不等式 f（ a2+a 5） 2 的解集是 a| 3 a 2 ?（ 12 分）
