1、一、二次函数的定义要点梳理要点梳理1一般地，如果yax2bxc(a，b，c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数特别地，当a0，bc0时，yax2是二次函数的特殊形式2二次函数的三种基本形式(1)一般式：yax2bxc(a，b，c是常数，a0)；(2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)；(3)交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标二、二次函数的图像和性质2ba2424bac baa，2ba2ba2ba2ba2ba2ba244acba244acba三、二次函数yax2bxc的图象特征与系数a，b，c的关系
2、四、二次函数图象的平移任意抛物线ya(xh)2k可以由抛物线yax2经过平移得到，具体平移方法如下：五、二次函数表达式的求法1一般式：yax2bxc(a 0)若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式yax2bxc(a0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值2顶点式：ya(xh)2k(a0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式ya(xh)2k(a0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式3交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式ya(xx1)(xx2)(a0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，
3、求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式六、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数yax2bxc的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数yax2bxc的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2bxc=0的根.有两个交点有两个交点有两个相异的实数根有两个相异的实数根b b2 2-4-4acac 0 0有一个交点有一个交点有两个相等的实数根有两个相等的实数根b b2 2-4-4acac=0=0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b b2 2-4-4acac 0 0七、二次函数的应用2一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及
4、它们之间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义1二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值考点讲练考点讲练例1 抛物线yx22x3的顶点坐标为_【解析】方法一：配方，得yx22x3(x1)22，则顶点坐标为(1,2)方法二：代入公式 ，则顶点坐标为(1,2)2122 1bxa2244 1 3 2244 1ac bya 解决此类题目可以先把二次函数
5、yax2bxc配方为顶点式ya(xh)2k的形式，得到：对称轴是直线xh，最值为yk，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.方法总结针对训练1对于y2(x3)22的图象下列叙述正确的是()A顶点坐标为(3,2)B对称轴为y3C当x3时，y随x的增大而增大 D当x3时，y随x的增大而减小C考点二 二次函数的图象与性质及函数值的大小比较例2 二次函数yx2bxc的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1x21，则y1与y2的大小关系是()A.y1y2 By1y2【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是直线x1，当x1时，y随x的增大而增大x1x21，y
6、11可得2ab0，故正确；由图象上横坐标为 x2的点在第三象限可得4a2bc0，故正确；由图象上横坐标为x1的点在第四象限得出abc0，由图象上横坐标为x1的点在第二象限得出 abc0，则(abc)(abc)0，即(ac)2b20，可得(ac)2b2，故正确故选D.【答案】D方法总结1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b0对称轴是y轴；a、b同号对称轴在y轴左侧；a、b异号对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.2.当x1时，函数yabc.当图象上横坐标x1的点在x轴上方时，abc0；当图象上横坐标x1的点在x轴上时，abc0；当图象上横坐标x1的点在x轴下方时，abc0.同理，可由图
7、象上横坐标x1的点判断abc的符号.针对训练3.已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）Ab1 Bb1 Cb1 Db1解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴 ，即b1，故选择D.2(1)bxb D 抛物线平移的规律可总结如下口诀：左加右减自变量，上加下减常数项.考点四 抛物线的几何变换例4 将抛物线yx26x5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达
8、式是()Ay(x4)26 By(x4)22Cy(x2)22 Dy(x1)23【解析】因为yx26x5(x3)24，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的表达式为y(x31)242，即y (x4)22.故选B.方法总结B针对训练4.若抛物线 y=7(x+4)21平移得到 y=7x2，则必须（）A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位B考点五 二次函数表达式的确定例5:已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,
9、函数值为7,求这个二次函数的表达式.待定系数法解：设所求的二次函数为yax2+bxc,由题意得：104427abcabcabc，解得,a=2,b=3,c=5.所求的二次函数表达式为y2x23x5.方法总结1.若已知图象上的任意三个点，则设一般式求表达式；2.若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设顶点式求表达式，最后化为一般式；3.若已知二次函数图象与x轴的交点坐标为 (x1，0)、(x2，0)时，可设交点式求表达式，最后化为一般式.针对训练5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.
10、解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状 相同 a=1或1.又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,顶点为(1,5)或(1,5).所以其解析式为:(1)y=(x1)2+5 (2)y=(x1)25 (3)y=(x1)2+5 (4)y=(x1)25例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）Ax1=0，x2=6Bx1=1，x2=7Cx1=1，x2=7 Dx1=1，x2=7【解答】二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，=3，解得m=6，关于x的方程x2+mx=7可化为x26x7=0，即(x+1)(x7)=0，解得x1=1，x2=7
11、 故选D2m考点六 二次函数与一元二次方程D例7 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.解：（1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),S=x(6-x)=-x2+6x,其中0 x6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为91000=9000（元）.考点七 二次函数的应用方法总结 利用二次函数的知识常解决以下几类问
12、题：最大利润问题，求几何图形面积的最值问题，拱桥问题，运动型几何问题，方案设计问题等.二次函数图象画法抛物线开口方向抛物线的顶点坐标和对称轴二次函数的性质抛物线的平移最值 确定 解析式 应用课堂小结课堂小结 见学练优河北中考热点专练课后作业课后作业 你能把一张三边分别为你能把一张三边分别为 的三角形的三角形纸片放入纸片放入 方格内方格内,使它的三个顶点都在方使它的三个顶点都在方格的顶点上吗格的顶点上吗?5,5,1044动动脑筋动动脑筋参考图参考图1-2,完成以下填空完成以下填空:22212_;7_;_.2aa面积面积a271220aaa大家抢答大家抢答 222222113_,2_,32_,73
13、245_,5_.3 5327123232222_,5_,0_,|2|_;|5|_;|0|_.请比较左右两边的式子请比较左右两边的式子,议一议议一议:与与 有什么关有什么关系系?当当 时时,;当当 时时,2a|a2_;a 2_.a 0a 0a 2|aa00a aa a225500aa 2222322211_,2_,33_,5141_,54_,62_.3 113482531(7)数数 在数轴上的位置如图在数轴上的位置如图,则则 a2_.a0-2-11a(8)如图如图,是直角坐标系是直角坐标系中一点中一点,求点求点P到原点的距离到原点的距离.5,2P5,2P025yxa3计算计算:计算计算:222211015;27259;322222.22232421|;535323432.7557课内练习课内练习P.8 1-6作业作业:作业本作业本2(1-2)
