1、第六章 定 积 分 的 应 用(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、主要内容一、主要内容二、本章重点，难点二、本章重点，难点1、定积分在几何中的应用，主要包括求平面图形的面积和旋 转体的体积。2、定积分在经济中的应用，主要包括利用定积分解决资本现 值与投资问题；利用边际函数求总函数，如由边际成本、边际收益求总成本，总收益等。1、恰当选择积分变量求曲边图形的面积和旋转体的体积。2、准确选择整体函数的微元，以达到求整体函数的目的，尤其是在经济中的应用。三、对学习的建议三、对学习的建议1、熟练掌握各种积分方法。2、
2、对于几何问题，应先画出草图，再恰当选择积分变量。3、对于实际问题，根据实践经验，准确找出整体函数微 元，得出积分式子。四、本章关键词四、本章关键词曲边梯形 面积 旋转体体积 边际函数 资本现值(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、关于平面图形的面积的求法一、关于平面图形的面积的求法12()()()首先应该知道，由两条连续曲线，.及直线，.所围成图形(图6-1)的面积为yf xyfxxaxbab12|()()|baSf xfxdx它的特殊情况如图6-2和图6-3所示.一般的说，上面定积分的积分限的确定应是图形对 轴的投影，所得闭区间，的两端点.xab因此，求一个平面图形的面积应该：(1
3、)根据已知条件画出图形.D(2)判别 是否为图中所示三种基本情况，若是，利用公式.否则，考虑对 积分或者分割图形使之每部分属于图中某一类型.分割一般是通过特殊点作平行于 轴的直线.DyyOabyx1()yf x2()yfx图 6-1 面积图形1Oabyx1()yf x2()yfx图 6-2 面积图形2Oabyx1()yf x2()yfx图 6-3 面积图形3222 求抛物线 与其在点，处法线所围成图形 的面积.pypxp例例1 1解解222123.2因为，所过点，的切线斜率为1，过该点法线斜率为-1.法线方程为 ，即 yypppypxpyxp 画出图形如图6-4所示。Oyx22ypx32yxp
4、图 6-4 例 1 面积(对 积分)x方方法法一一1190222如图将图形分割成左，右两块，分别向 轴投影得闭区间，xppp 91221023 2(2)(2)2pppSpxpx dxxppxdx (对 积分)y方方法法二二3,对 积分求面积，该图形可看成是属于基本类型.将图形向 轴投影，得到闭区间yyp p216.3p223316.223ppySpydypp20(2)13 试求由抛物线 和抛物线相切于纵坐标 处切线以及 轴所围成图形的面积.yxyx例例2 2解解2(2)1因为，yy3122所以，当 时，yyx 13(2)2所以切线方程为 yx画出图形如图6-5所示.Oyx2D图 6-5 例 2
5、 面积31D3D(对 积分)y方方法法一一对 积分求面积，该图可看成是属于基本类型，将图形向 轴投影，得到闭区间 0,3,yy320(2)1(24)9.Syydy()对 积分x方方法法二二123对 积分求面积，该图形不属于基本类型.因此，如图分割成三部分、，将它们分别向 轴做投影，得到三个闭区间：-4,1,1,2,1,5.xDDDx1254111122(21)(21)22Sxdxxxdxxdx9.基本上每个问题都有两种方法，可酌情选择.二、关于求经济函数的方法二、关于求经济函数的方法应熟知以下基本结论：()()()1、设某产品在时刻 总产量的变化率为，则从 到 这段时间内的总产量；batf t
6、tatbbaQf t dt000()()()2、设生产某产品 单位的边际成本为 固定成本为 ，则生产 单位时的总成本；xxC xCxC xC t dtC0()()()3、设生产某产品 单位时边际收益为，则总收益 .xxR xR xR t dt2()200 140.3()13 设某厂生产某产品的边际产量为时间 的函数 千件/小时，求 到 这两小时 的总产量.tf ttttt例例3 3解解321(200 140.3)453.4()千件.Qttdt()24 设某产品边际成本函数为，为产品件数，且固定成本为1000元，求成本函数.C xxx例例4 4解解201()(24)10002410002.xC
7、xtdtxx()1000.01 已知某产品边际收益为，其中 为产 量，求收益函数.R xxx例例5 5解解解解20()(1000.01)1000.005.xR xt dtxx2()450()生产某产品边际费用，其中 为产量，已知生产三年时，总费用为181万元，试写出总费用 的表达式.C xxxxC x例例6 620000()()(450)xxC xC t dtCttdtC3202503xxxC0(3)18140因为，所以.CC22()250403于是.xC xxx(三三)思考题思考题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1、定积分的几何应用有哪些？3、求旋转体体积时，应注意及掌握哪些规律及方
8、法？4、请简要说明利用定积分微元法解决物理问题的步骤.21212?、在直角坐标系下由上，下两条连续曲线，及，所围成的图形的面积的计算公式是什么yfxyfxfxfxxaxbabA(四四)课堂练习题课堂练习题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案 2 1 4 06 .、设一物体作直线运动，求物体从开始运动到任一时刻所经过的路以度程速ttV ttt2 ln1 .、求由曲线，所围曲边梯形的面积yxxxeS233 1 .、求曲，轴及所围图形绕旋转一周得到的旋转体的体积yxyxyxxV24 1 .、写出求平面光滑曲线在相应区间 0,1 上的弧长的公式yxxL返返 回回1、求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线弧长等.返返 回回 212.、baAfxfxdx返返 回回3 、首先应先明确是绕轴还是轴旋转从而选择不同的计算旋转体体积公式；其次画出草图帮助明确积分区间；最后在应用积分求解时若能用对称性化简方程,注意利用.xy返返 回回4、第一步是选变量，定出积分区间.第二步是取近似，写出积分微元.第三步是求积分，算出要求的整量.返返 回回1、：解 322.342S tv t dtttdtCtt返返 回回2、：解1111lnln1.eeeSxdxxxxdxx返返 回回3、：解1122234600Vxxdxxxdx1157002.5735xx返返 回回4、：解1122001121.Ly dxxdx
