1、l第一节 二阶、三阶行列式l第二节 n阶行列式l第三节 克莱姆法则()nn元线性方程组 即 元一次方程组 的一般形式为11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xa xa xb121211122122,;,.nmmnmnx xxb bbaaaa它含有 个方程个未知数与 可相等 也可以不相等 其中是未知数是常数;是方程组中未知数的系数,(1,2,;1,2,).jijijxaim jn一般地 把方程组中第 个方程第 个未知数 的系数记为1,mn 在工程上有很多问题归结到解线性方程组的问题.这里先讨论即一个一元一次方程的解法.a首先应讨论
2、 是否为零,?axb当一个一元一次方程通过合并同类项,称项等步骤化为后 如何来解它呢0,(92)baxa当时 方程有惟一解00,(92);abx当时且时 方程有无穷多个解,即 可为任意数00,(92).ab当且时 方程无解23,mnmn下面再来讨论及即二元,三元线性方程组的解法,并给出一般公式,引出行列式的概念.一、二阶行列式设二元线性方程组为11112212112222(9-3)a xa xba xa xb .现在用消元法来求解22122,aax 先以乘第一方程,以乘第二个方程 然后两式相减 便消去了111221121122212()(9-4)a aa axbab a 11222112211
3、221 1()(9-5)a aa axa ba b 1,x同理 消去 可得111221221211222112(9-4)(9-5),aaDaaxxa aa a 为了便于记忆和讨论,用记号表示和式中 或 的系数即1112112221122122aaDa aa aaa11222112(,1,2)(,1,2)(),.(.)ijija i ja i ja aa a 上式的左端称为二阶行列式,右端称为二阶行列式的展开式,它是一个代数式,称为行列式的元素,横排的称为列.当为数 实数或复数均可 时 右端是一个数值 行列式其实是一种计算的符号112112122212(94),;(95),.(94),(95)D
4、aab bDaab b 容易看出式的右边是把 中的第一列元素依次换成同样式的右边是把 中的第二列的元素依次换于是式式的右边分别为两个二阶行列式1121111122212211221 1222212,baabDbab aDa ba bbaab(94),(95)从而式式分别化为1122;.DxD DxD(9-2)0,(9-3)D 类似于对式的讨论,当时 方程组有惟一解1122DxDDxD,(93)D式中称为方程组的系数行列式.计算下列各行列式:例135tan1(1);(2).241tan 35(1)(3)4(2)52;24 222tan1(2)tan1(1)tan1sec1tan 530710 x
5、yxy 用行列式解线性方程组12例2先把方程组变成一般形式53071xyxy 12535 7 12 310127D 因为1030 7(1)33,17D 2505(1)12 05121D 解12331551DxDDyD 所以原方程的解为1112112221122122(9-6)aaDa aa aaa由二阶列式,.的定义 不难验证其具有以下性质 先引入二阶行列式的转置行列式的概念.,.TDDDD 将行列式 的所有行与相应的列互换后得到的行列式 称为行列式 的转置行列式记作或即1112112121221222,TaaaaDDDaaaa()TDD D并且 和是互为转置行列式.下面仅叙述行列式的性质,而
6、不加以证明.质 行列式与它转置行列式的值相等.性111121121112221121122211221221222,aaaaDa aa aDa aa aaaaa例如,.,该性质说明在行列式中 行与列的地位相同因此 在行列式中凡是对行成立的性质对列同样成立.(),kk质 行列式的某一行 列 中各元素都乘以同一数等于数乘此行列式性211121112111211122122212221222122,kakaaakaaaakkaaaakaaaa如 (),kk此性质表明,若行列式中某一行 列 各元素有公因子则公因子 可提到行列式外面.(),.质 若行列中某一行 列 各元素全为零 则此行列式的值为零性30
7、0,0000abab如(),.质 互换行列式的两行 列 行列式的值仅改变符号性421221112121111121112212222212122,aaaaaaaaaaaaaaaa 即(),质 若行列中有两行 列 的对应元素相同则此行列式的值为零.性50,0abaaabbb即 ,20,0.DDDDD 设此行列为是有即故(),.质 若行列式中有两行 列 的对应元素成比列 则此列式的值为零性60,0kakbkaaabkbb如 此性质由性质2与性质5不难得到.(),(),质 若行列式中的某一行 列 所有元素都是两项和 是此行列式等于把这些两项和各取一项做成相应的行 列 而其余行(列)不变的两个行列式的
8、和.性71111121211121112212221222122ababaabbaaaaaa8(),(),.k 性质 把行列式某一行 列 各元素同乘以数 后 加到另一行行 的对应元素上 行列式的值不变11122122,aakaa例如将行列式的第一行乘以数 加到第二行上 得111221112212,7aaakaaka显然由性质 和性质6得111211121112111221112212212211122122aaaaaaaaakaakaaakakaaa.D 此性质也称消法变换消法变换的目的是为了将行列式中某个173元素化为零,以简化行列式的计算.例如为了计算512将第一行的-3加到第二行上去,得
9、17317351251(3)172(3)3D 17317(7)0 311907 二、三阶行列式设三元线性方程组为111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb.现在来求它的解332,xxx先由前两个方程消去再由第一 第三两方程消最后再由所得的两个方程消去就得到2223212321221112131323331333132aaaaaaaaaxaaaaaa2223223222112133233333332(9-9)aabababaaaababa 1(9-9),x 为了记忆和讨论方便,把式中 的系数称为三阶行列式记作11121
10、3212223313233aaaDaaaaaa111213222321232122212223111213323331333132313233aaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaa即1221311231(99),Daaab b bD 上式中右端称为三阶行列按第一行的展开式.容易看出,式右边刚好是三阶行列式 中的第一列分别换成得到的结果 所以它也是一个三阶行式 记作即111213222321232122121222311213323331333132313233aaaaaaaaaDaaabaaaaaaaaaaa11DxD于是可得2233,DxD DxD同理可得212223212331
11、32333123,;,DDaaab b bDDaaab b b式中是中第二列分别换成所得到的行列式是中第三列分别所得到的行列式,即111132232123212221223111133233313331331333ababaaaabDabaababaaaababa11121222212212232122211121323313313231323aabababaaDaabaabababaaaab0,D 若则可得到112233/xDDxDDxDD,(98).(9 11)(98)(9-8),(98)D 其中 行列式 称为方程组的系数行列式把式代入方程组就可以验证它们是适合式的 所以是线性方程组的惟一
12、的一组解.(97)(93)(9 11)(98)由式给出的线性方程组的惟一解与由式给出的线性方程组的惟一解分别称为二元线性方程组与三元线性方程组求解的克莱姆法则.(9 10)如果将的三个二阶行列展开,则可得到111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132112332122133132231a a aa a aa a aa a aa a aa a a(9 12)+,.,11 1.式的右端称为三阶行列的展开式.它有以下特点:一共有六项,每项都是不同行不同列的三个元素之积,其中三项有号 另三项有号为了便于记忆 三阶行列式也可按图所示展开实线上三个元素之积取正
13、号,虚线上三个元素之积取负号.这种展开三阶行列式的方法称为对解线展开法.图9-1 三阶行列式展开方法11a12a13a21a22a23a31a32a33a例如,按对解线展开法计算下列三阶行列式.2123412652 4 5 1 1 22 3(6)2 4 2 1 3 52 1(6)13(910)(910)D 由式定义的三阶行列式也具有二阶行列式所满足的性质18,例如性质1,由式定义的行列式 的转置行列式为112131122232132333aaaDaaaaaa,(9 13)DDD且有由此 三阶行列式 也可以按式定义11121322232123121321222311213132333133222
14、3313233(9 13)aaaaaaaaaDaaaaaabaaaaaaaa(910)(913),18,计算三阶行列式除对角线展开法外,也可以利用定义式或式也可以利用性质还常用到下面的例3.右上三角行列式例3111213222311223333000aaaaaa a aa 这可由三阶行列式定义得知.此行列式称为右上三角行列式.还有左下三角行列式.112122112233313233000aaaa a aaaa123231312 计算行列式为了使计算过程清楚,引入一些记号.例4(1),;iirici以 表示第 行 以 表示第 列(2),;,;ijiji jrri jcc交换两行记作交换两例记作(
15、3)()();iikikr kc用数 乘第 行 列 记作(4)()();iiikrk ck从第 行 列 提出公因子 记作(5)()(),().jijiikjrkr ckc把第 行 列 的 倍加到第 行 列 上 记作12221331121236231231232316311316 012312612112011ccrrccrrcc121230126 1 1(3)18003r r 由例3解思考题(),?1.互换行列式的两行 列 时 若对换奇数次则所得到的行列式的值 与原行列式的值有什么关系 对换偶数次呢答案2.该等式是否成立?为什么?kakbabkkckdcd答案3.克莱姆法则的意义是什么?答案课
16、堂练习题.1031002041.试计算行列式199200395 的值301300600答案02.023.0计算行列式的值bacbca答案一、n阶行列式的概念nn为了求解 元线性方程组,需要将二阶,三阶行列式的概念推广到 阶行列式上去.已知一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示,即111213222321232122212223111213323331333132313233.aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 这个式子给出了以二阶行列式来定义三阶行列式的方法:三阶行列式等于它的第一行元素与相应的二阶行列式乘积的代数和.类似地,可以用三阶行列式来定义四阶行列式为111213142
17、223242123242122232411323334123133343132333442434441434441424344aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2122242122231331323414313233414244414243aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa(1)(1).nnnn仿照这种由低阶行列式定义高一阶行列式的方法,如果阶行行列式已经定义,那么 阶行列式就可以用 个阶行列来定义111212122212,nnnnnnaaaaaaDnaaa义 行列式叫作 阶行列式定1(1)nn设阶行列式已经定义,则 阶行列式的值为222322123
18、2323333133311122313nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaa2121212313131311111(1)iiniiniinnininnaaaaaaaaaaaaa21222131323111121(1)nnnnnnnnaaaaaaaaaa1112(,1,2,),ijnna i jnnaaa其中称为 阶称为对线行列式的元素主角元素.,aa规定一阶行列式二阶 三阶行列式均已有定义,于是,四阶行列式也便有了定义,从而五阶行列式也就有了定义.以此类推,任意阶行列式都有了定义.|=,(1)(1).ijijijijijijijijnDaMDanaMaA义 在 阶行
19、列式 中 元素 的余子式是在 中划去 的所在的行和列,余下的元素按原来的顺序组成的阶行列式.元素 的余子式的前面添加符号称为元素 的代数余子式,记为定2(1)ijijijAM 二、n阶行列式的性质性质1 行、列依次互换，行列式的值不变.,.1,nDDD 对于 阶行列式将所有对应与列的位置互换所得到的行列式,称为 的转置行列式.记作根据性质 显然有111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDDaaaaaa,n质 表明了在 阶行列式中 行与列在地位上是相同的 凡是有关行有什么性质,对于列也同样成立.性1(),.kk质 某行 列 所有元素同乘以数
20、所得行列式的值等于原行列式的 倍性2111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakak aakaaaaaaa例如(),质 行列式中有一行 列 各元素全为零 则该行列式的值为零.性3(),质 对换行列式中的任意两行 列 的位置 行列式反号.性4(),质 行列式中有两行 列 元素对应相同则行列式的值为零.性5()质 行列式中有两行 列 各元素对应成比例,则行列式的值为零.性611121111211122121212nniiiiininiiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa111211212niiinnnnnaaaaaaaa
21、a()(),.质 如果行列式中某一行 列 各元素都可以写成两项之和,则此行列式等于两个行列式这和,并且这两个行列式除了这一行列 外 其余与原行列式的对应元素相同 性7()()k质 把某一行 列 各元素的 倍加到另一行 列 的对应元素上,行列式的值不变.性8上述性质,在计算行列式中应用非常广泛,利用这些性质可以简化行列式的计算,提高运算的准确性.()计算行列式的值.记住其运算规律例1112233000000(1)000000nnaaaa对角行列式直接由定义1122nna aa112122313233112212300000(2)0;0nnnnnnnaaaaaaa aaaaaa左下三角行列式111
22、2122233311220(3)00000nnnnnnnaaaaaaaa aaa右上三角行列式()这三种行列式的值均等于主对角线元素的乘积!三、n阶行列式的计算()D 行列式 的值等于它的任一行 列 所有元素与其对应的代数余子式乘积之积.定理1122()iiiiininDa Aa AA Ai按第 行展开1122(),(,1,2,).i ji jijijnjnja AaAA Aji jn按第 列展开()()D论 行列式 某一行 列 各元素与另一行 列 对应元素的代数余子式作乘积,其和为零.推11220,i jjiinjnja Aa AA A11220,ijijinina Aa AA A(,1,2
23、,).i jnij且把定理及其推论合起来简记为11,(,1,2,)0,nnikjkkjkjkkD ija Aa Ai jnij,8,()(1),(),(1)nnnn计算一个 阶行列式 经常利用行列式的性质 特别是性质 将某一行 列 的个元素化为零 然后依定理按这一行 列 展开这样原来的 阶行列式的计算 就化为一个阶行列式的计算,类似依次做下去,直至化为一个三阶或二阶行列式的计算,从而达到简化的目的,这种运算称为化零运算.11111121.41205042D 计算行列式例2解 方法一 化为上三角行列式11111111112102104120032450420542D 111101201 1(7)
24、17;00740001 21rr314rr415rr23cc11111111012001200234007401535073 322rr42rr43rr方法二 利用定理，按第四行展开.414243445,0,4,2,aaaa因为414243445,4,8,7,AAAA 4141424243434444Da Aa Aa Aa A所以5 50(4)4(8)2 77;方法三 利用性质8及定理.1 211111111232112120321(1)3114120301154250425042D 21rr13rr按第二列展开2 385085311(1)(1)71161160 212rr232rr按第三列展
25、开1234412334122341 计算例31023412341234101231123412310412141234121034113412341 12cc13cc14cc110c21rr13rr14rr123412340111011110101600222004401130004 223rr24rr解思考题1.,请总结出计算行列式的几种方法 并掌握在计算中采用较简便的方法.答案2.对形如=特征的行列式采用的计算步骤是怎样的?abbbabDbba答案 3.理解 阶行列式中元素的余子式与代数余子式的概念.ijnDa答案课堂练习题,1001.计算行列式 023 的值 并写出元素4的代数余子式.0
26、45答案.()111011012.计算行列式的值 尝试用不同方法解题10110111答案线性代数的一个中心问题是求解线性方程组,这里只研究方程个数和未知量个数相等的情形,至于更一般的情形,将在第二十四章讨论.()莱则 如果线性方程组定理1克姆法11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 的系数行列式1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa,则该方程组有惟一解 且解可通过系数表为(1,2,)iiDxinD.iDDi式中是把系数行列式 中第 列换成常数项列所构成的行列式,0,.D 由法则可知 当系数行列
27、式时 有以下特性(1).方 程 组 有 解(2),iiDxD其解惟一 且由公式给出.故其证明的步骤为12(1),nDDDDDD验证的确为方程组的解.(2).iiDxD若方程组有解,证明其解的惟一性,必由公式给出12(1),nDDDiDDD不失一般性 把代入方程组中第 个方程 则左端为121211221()niiiniiinnDDDaaaa Da Da DDDDD11112211211222221()()inninna b Ab Ab Aab Ab Ab AD1122()innnnnnab Ab Ab A1111221111221()()iiinniiiiiininb a Aa Aa Ab a
28、Aa Aa AD1122()ninininnnb a Aa Aa A1iibDbD12,nDDDDDD这就是证明的确为原方程组的解.证：1212(2),iiiiniiiniDxDaDaaAAAn 下面证明解的惟一性,必由公式给出 用 中元素的代数余子式分别乘原方程组的第1,第2,第 个方程 然后再将乘积得的各个等式分左右两端相加得111222111122()()iinniiiiininiia Aa Aa Axa Aa Aa Ax1122()nininnnina Aa Aa Ax1122iinnib Ab Ab AiD,(),ijxDxji由行列式的展开式定理及推论知 除了 的系数为 外 其余的
29、系数均为零 于是有iiDxD,1,2,iin由于以上讨论中 是任意的 即于是得到下列方程组1122inDxDDxDDxD 0,D 由于原方程组的每一组解一定是上面这个方程组的解,而上述方程组当时 有惟一解为1122nnDxDDxDDxD,(1,2,).inDxinD故原方程组只有惟一解为12342341242342344331733xxxxxxxxxxxxx 解线性方程组例1因为12340111160,13010731D142343111128,13013731D 2143403114811010331D解31244013196,13110731D4123401130.13010733D所以方
30、程组有惟一解为1122334412881648316966160016DxDDxDDxDDxD:由此说明(1)0;D 克莱姆法则只能用来解方程个数与未知量个数相等且系数行列式的这类线性方程组(2),(1),4,nnnnnn理论上 克莱姆法则可以有来解 元线性方程组 但实际利用本法则计算时很不方便.因为解一个 方程个未知量的线性方程组,要计算个 阶行列式 这个运算量是很大的.一般只当未知量个数时 才便于运用本法则.121200.nnbbbxxx线性方程组右端常数项时称为齐次线性方程组,否则称为非齐次线性方程组.对于齐次线性方程组,显然至少有一组零解111122121122221122000nnn
31、nnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x 0.D 有非零解的充要条件为系数行列式 判断齐次线性方程组例212341234123412343420320243039760 xxxxxxxxxxxxxxxx有无非零解.1342312124133976D13420101470109700501342010147005000500所以原方程组有非零解.因为解思考题1.克莱姆法则解线性方程组的运用范围是什么?答案2.齐次线性方程组有非零解的充要条件是什么?答案3.什么样的线性方程组称为非齐次线性方程组?答案课堂练习题,?=01.若齐次线性方程组0只有零解 问 满足0什么条件x+
32、y+zx+y+zx+y+z答案1111112.111111+1计算行列式的值;当2时行列1+1-1式又等于多少?xxx=xx答案1.对换奇数次得到的行列式的值是原行列式的值的相反数;对换偶数次得到的行列式的值与原行列式的值相等.返回2.kakbababkkkckdcdcd2.不成立.因为返回3.在于克莱姆法则给出了解与系数的明显关系.返回1.解:103100204199200395301300600121cc 322cc 31004-1200-513000314=100-12-51302000.返回2.解:00230bacbca5.abc 返回 1.常用的方法有：直接利用行列式的性质计算、化为
33、三角形行列式计算、按某行（列）展开将高阶化为低阶行列式来计算等.返回 2.注意到各行（或列）元素的和都相等，故可利用行列式性质先把各行（或列）元素加到第1列（或第1行），提出该列（或行）的公因子，使该列（或行）的元素都变成1，进而化三角或者降阶计算.返回3.,;ijijijaMDan元素 的余子式是指在行列式 中划去所在的行和列 余下的元素按原来顺序组成的-1 阶行列式1.ijijijijaAM 元素 的代数余子式返回1.解:100230232.45045 3 23232413.AM 元素 的代数余子式为返回2.解:111011011011011111100011010101111110011101010011 1110011100120003 3.返回1.克莱姆法则只适用于方程个数与未知量的个数相等的线性方程组返回2.0.D 线性方程组的系数行列式是齐次线性方程组的非零解的充要条件返回111122112112222211223.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb当线性方程组右端的常数项12,nb bb不全为零时称其为非齐次线性方程组.返回1.解:2111110,111DD=由方程组只有零解知0即1.得到返回2.解:原式11110000000 xxxxxxx0000 xxx xxx4,x2,16.x 当时 行列式等于返回
