1、 1 南京市六校联合体高二期末试卷 数学（理科） 2018.6 参考公式：方差 2211 ()n iis x xn ?一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分请把答案直接填写在 答题卡相应位置上 . 1设 i 为虚数单位，复数 2 iz i? ，则 z 的模 |z? . 2一根木棍长为 5米，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度 都 大于 2米的概率为 . 3命题 “ 若 0a? ，则 复数 ( , )z a bi a b R? ? ?为纯虚数 ” 的 逆命题 是 命题 .（填 “ 真 ” 或“ 假 ” ） 4 已知一组数据为 2， 3， 4， 5， 6，则这组数据的方差
2、为 . 5将一颗骰子抛掷两次，用 m 表示向上点数之和， 则 10m? 的概率 为 . 6用分层抽样的方法从某校学生中抽取 1个容量为 45的样本，其中高一年级抽 20人，高三年级抽 10 人 .已知该校高二年级共有学生 300 人，则该校学生总数为 . 7 函数 ()y f x? 在点 (1, )Pm处切线方程为 60xy? ? ? ，则 (1) (1)ff? = . 8若21(2 )nx x?的展开式中所有二项式系数和为 64，则展开式中的常数项是 . 9根据如图所示的伪代码可知 ,输出的结果为 . 10若 2 6 2 4 1 0 1 20 1 2 5 6( 2 )x a a x a x
3、a x a x? ? ? ? ? ? ?， 则 0 2 4 6a a a a?= . 11 已知 mR ，设命题 P： 2, 1 0x R m x m x? ? ? ? ?； 命题 Q：函数 32( ) 3 1f x x x m? ? ? ?只有一个零点 . 则使 “ P?Q” 为假命题的实数 的 取值范围为 . 12 有编号分别为 1， 2， 3， 4， 5的 5个黑色小球和编号分别为 1， 2， 3， 4， 5的 5个白色小球，若选取的 4个小球中既有 1号球又有白色小球，则有 种不同的选法 . i1 S 0 While i8 S3 i+S i i+2 End While Print S
4、第 9 题 2 A1 BA DCBA O （第 16 题） EBA B1 A1 CBA C1 D1 ? 2 2 2 2 2 2( 7 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 6 ) ( 5 ) ( 1 )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 20 4 5 1 2 6? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 27 1 1 1 2 8 9 1 3? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 21 4 1 8 1 9 1 5 1 6 2 0? ? ? ? ? ? 13 观察 下列等式： 请你归纳出一般性结论 . 14乒乓球比赛 ,三局二胜制 .任一局甲胜的概率是 (0 1)pp?,甲赢得比
5、赛的概率是 q ,则qp? 的最大值为 . 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分 14分） 在平面直角坐标系 xoy 中，以 O 为极点， Ox 为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的 极坐标方程是2sin? ，直线 l 的参数方程是 1 2,1xtyt? ? (t 为参数 ) 求 直线 l 被曲线 C 截得的弦长 . 16.（本小题满分 14分） 在 棱长为 1的 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， O是 AC的中点， E是线段 D1O上一点 ，且 D1E EO. （ 1）若 =
6、1 ，求异面直线 DE与 CD1所成角的余弦值 ; （ 2） 若平面 CDE 平面 CD1O， 求 的值 . 3 17.（本小题满分 14分） 已知 ? ? ? ?2 3 *0 1 2 312 n nnx a a x a x a x a x n N? ? ? ? ? ? ?， （ 1） 求 ? ?31223 12 2 2 2n nnaaaas ? ? ? ? ? ? ?的值 ; （ 2）若 87aa? 且 89aa? ，求 n 的值 ; （ 3）求证： 20181(1 ) 71000?. 18.（本小题满分 16分） 某抛掷骰子游戏 中， 规定游戏者 可以 有三次机会抛掷 一颗骰子 ， 若游戏
7、者在 前两次 抛掷中 至少成功一次才 可以进行第 三次抛掷， 其中 抛掷骰子 不成功得 0分， 第 1次成功得 3分，第 2次成功得3分，第 3次成功得 4分 .游戏规则如下：抛掷 1枚骰子，第 1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第 2次抛掷骰子向上的点数为 3的倍数则记为成功，第 3次抛掷骰子向上的点数为 6则记为成功 .用 随机变量 ? 表示该游戏者所得分数 . （ 1）求该游戏者有机会抛掷第 3次骰子的概率 ; （ 2）求 随机变量 ? 的分布列和数学期望 4 19.（本小题满分 16分） 已知函数 3 2 2()f x x m x m? ? ? （ 1）若 ()fx在区间 1,
8、)? 上是单调递增函数，求实数 m 的取值范围 ; （ 2）若 ( ) ( )g x f x nx?在 1x? 处有极值 10，求 mn? 的值 ; （ 3）若对任意的 12, 1,1xx? ，有 12| ( ) ( ) | 2f x f x?恒成立，求实数 m 的取值范围 . 20.（本小题满分 16分） 把圆分成 ( 3)nn? 个扇形，设用 4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有 ()fn种方法 . (1)写出 (3)f ， (4)f 的值 ； (2)猜想 ()fn ( 3)n? ，并用数学归纳法证明 。 5 南京市六校联合体高二期末试卷数学
9、（理科）参考答案 一、填空题 1. 5 2.15 . 3. 真 4.2 5.16 6. 900 7.4 8.240 9.48 10.365 11.45m? 12.136 13. 2 2 2 2 2 2( 7 ) ( 7 4 ) ( 7 5 ) ( 7 1 ) ( 7 2 ) ( 7 6 )k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ?kz? 14. 318 二、解答题 15.曲线 C 的直角坐标方程是 22( 1) 1xy? ? ? ? 4分 直线 l 的普通方程是 2 3 0xy? ? ? ? 8分 圆心 C 到直线 l 的距离 55d? ? 11分 弦长为 455 ? 14
10、分 16.解 (1 以 1,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz? 则 A(1， 0， 0)， ? ?11022O ， ， ， ? ?0 1 0C ， ， ， D1(0， 0， 1)， E? ?111442， ， ， 于是 ? ?111442DE ? ， ， ， ? ?1 0 1 1CD ?， ， . 由 cos 1DE CD?， 11| | | |DE CDDE CD? 36 . 所以异面直线 AE 与 CD1所成角的余弦值为 36. ? 6分 （ 2）设平面 CD1O的向量为 m=(x1， y1， z1)，由 m CO 0， m 1CD 0 得 1111
11、110220xyyz? ? ? ?，取 x1 1，得 y1 z1 1，即 m=(1， 1， 1) . ? 8分 由 D1E EO，则 E 12 (1 ) 2 (1 ) 1? ? ? ? ?， ， DE = 12 (1 ) 2 (1 ) 1? ? ? ? ?， ，.10分 6 又设平面 CDE的法向量为 n (x2， y2， z2)，由 n CD 0， n DE 0. 得 22 2 2002 (1 ) 2 (1 ) 1yx y z? ? ? ? ? ? ? ? ?，取 x2=2，得 z2 ，即 n ( 2， 0， ) .12 分 因为平面 CDE 平面 CD1F，所以 m n 0，得 2 ?1
12、4分 17（ 1）令 12x? ，则 ? ?3120 23 12 2 2 2n nnaaaaa ? ? ? ? ? ?=0，又 0 1a? 所以 1S? ? ? 4分 （ 2）由 8 8 7 78 8 9 922nnCC? ?，解得 11252nn? ?，所以 12n? ? 9分 （ 3） 20181(1 )1000? 2341 2 3 42 0 1 8 2 0 1 8 2 0 1 8 2 0 1 81 1 1 1 4 21 1 2 2 71 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 3 3C C C C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13、? ? ? ? ? ? ? ? 14 分 18 该 游戏 者 抛掷骰子 成功的概率分别为 211?p、 312?p、3 16p?，该 游戏 者有 机会抛掷 第3次骰子 为事件 A 则1 2 1 2 1 2 2( ) (1 ) (1 ) 3? ? ? ? ? ?P A p p p p p p； 答： 该游戏者有机会抛掷第 3次骰子的概率为 23 ? 6分 (2)由题意可知， ? 的可能取值为 0 、 3 、 6 、 7 、 10 ， 31)1)(1()0( 21 ? ppP ? ， 1 2 3 1 2 3 5 5 5( 3 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 8 3 6 1
14、2P p p p p p p? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1 2 3 5( 6 ) (1 ) 36P p p p? ? ? ? ?， 1 2 3 1 2 3 2 1 1( 7) ( 1 ) ( 1 ) 3 6 3 6 1 2P p p p p p p? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1 2 3 1( 1 0 ) 36P p p p? ? ? ?， 7 所以 ? 的分布列为 ? 14分 所以 ? 的数学期望 1 5 5 1 1 5 30 3 6 7 1 03 1 2 3 6 1 2 3 6 1 8E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 16分 19解： (1) f
15、 (x)=3x2+2mx，由 f(x)在区间 1， +) 上是单调递增函数得， 当 x1 时， 3x2+2mx0 恒成立，即 m 32x恒成立， 解得 m 32； ? 4分 （ 2） 2( ) 3 2g x x m x n? ? ? ?，由 题 (1) 0 3(1) 1 0 3gmgn? ? ? ?或 411mn? ?当 33mn? ?时， ( ) 0gx? ? ， ()gx无极值，舍去 . 所以 7mn? ? ? 8分（没有舍扣 2分） （ 3） 由对任意的 x1， x2 1， 1，有 | f(x1) f(x2)|2 恒成 立，得 fmax(x) fmin(x)2 且 | f(1) f(0)
16、|2 ， | f( 1) f(0)|2 ，解得 m 1， 1， ? 10分 当 m=0时， f (x)0 ， f(x)在 1， 1上单调递增， fmax(x) fmin(x)= | f(1) f( 1)|2 成立 ? 11 分 当 m(0 ， 1时， 令 f (x) 0，得 x( 23m， 0)，则 f(x)在 ( 23m， 0)上单调递减； 同理 f(x)在 ( 1， 23m)， (0， 1)上单调递增， f( 23m)= 427m3+m2， f(1)= m2+m+1，下面比较这两者的大小， 令 h(m)=f( 23m) f(1)= 427m3 m 1， m 0， 1， h (m)= 49m
17、2 1 0，则 h(m)在 (0， 1 上为减函数， h(m) h(0)= 1 0， 故 f( 23m) f(1)，又 f( 1)= m 1+m2 m2=f(0)， 仅当 m=1时 取等号 . ? 0 3 6 7 10 p 31 512 536 112 136 8 所以 fmax(x) fmin(x)= f(1) f( 1)=2 成立 同理当 m 1 ， 0)时， fmax(x) fmin(x)= f(1) f( 1)=2成立 综上得 m 1 ， 1 ? 16分 20.解 ：（ 1） (3) 24, (4) 84ff? 2+4=6 分 （ 2）当 4n? 时，首先，对于第 1个扇形 1a ，有 4种不同的染法，由于第 2个扇形 2a 的颜色与1a 的颜色不同，所以，对于 2a 有 3种不同的染法，类似地，对扇形 3a ， ? ， 1na? 均有 3种染法对于扇形 na ，用与 1na? 不同的 3 种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形 1a 颜色相同的情况，而扇形 1a 与扇形 na 颜色相同的不同染色方法数就是 ( 1)fn? ，于是可得 1( ) 4 3 ( 1)nf n f n? ? ? ?10 分 猜想 ( ) 3 ( 1) 3nnfn ? ? ? ?12 分 当 3n? 时，左 边 (
