1、 - 1 - 南京市六校联合体高二期末试卷 数学（文科） 2018.6 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在 答题卡相应位置 上 . 1.已知集合 A 1， 3， B 1， 4， 5，则 A B 2.已知复数 z (4 3i)2(i 为虚数单位 )，则 z 的 实 部为 3. 一个原命题的逆否命题是“若 x 1，则 x2 2x 0”，那么该原命题是 命题（填“真”或“假” ） 4.函数 f(x) 5 4x x2的定义域是 5.以双曲线 x22 y2 1 的左焦点为焦点的抛物线的标准方程为 6.函数 f(x) 2x(0 x 1)，其值域为 D，在区间
2、( 1， 2)上随机取一个数 x，则 x D 的概 率是 7.某地区为了了解居民每天的饮水状况， 采用分层抽样的方法随机抽取 100 名年龄在 10， 20)，20， 30)， ? ， 50， 60年龄段的市民进行问卷调查 ， 由此得到样本的频率分布直方图如图所示 ， 则 30， 40)年龄段应抽取的人数为 8.如 图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 s 值等于 9.观察下列各式： a b 1， a2 b2 3， a3 b3 4， a4 b4 7， a5 b5 11， ? ，则 a8 b8 等于 10.从集合 A 2， 1， 1， 2中 随机取一个 数 为 m，从集合 B 1， 1， 2
3、， 3中 随机取一N Y 第 7 题 第 7 题 第 8 题 开始 k 4 结束 k?1， s?1 s?2s-k i k?k+1 输出 s - 2 - 个 数 为 n，则方程 x2my2n 1 表示双曲线的概率为 11.设椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2， P 是椭圆 C 上的点， PF2 F1F2， PF1F2 ， 若 cos 13，则椭圆 C 的离心率为 12.函数 f(x)满足 f(x 2) f(x)(x R)，且在区间 1， 1)上， f(x) ?2sin x3 ， 1 x 0x 3， 0 x 1， 则 f(f(2019) 13.已知函数
4、f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f(x) 12(|x 1| |x 2| 3) 若函数 g(x) f(x) ax 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围为 14.已知函数 f(x) |x|ex (x R)， 其中 e 为自然对数的底数 ， g(x) x2 2ax 2(a R), 若 A x|f(g(x) e R，则 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 。 15.（本小 题满分 14 分） 已知 二次函数 f(x)满足 f(1) 1， f( 1) 5，且图象过原点 (1)求 二
5、次函数 f(x)的解析式 ； (2)已知集合 U 1， 4， B y|y f(x)x2 ， x U，求 UCB 16.（本小 题满分 14 分） 已知 命题 p：指数 函数 f(x) (a 1)x在 定义域 上单调递减 ， 命题 q： 函数 g(x) lg(ax2 2x a2)的定义域为 R. (1)若 q 是真命题，求实数 a 的 取值范围 ； (2)若 “ p q” 为假命题 “ p q” 为真命题 ， 求实数 a 的取值范围 . - 3 - 17.（本小 题满分 14 分） 已知 函数 f(x) ax (k 1)a x(a 0 且 a1) 是奇函数 (1)求实数 k 的值； (2)若 f
6、(1) 0， 解关于 x 的不等式 f(x2 2x) f(x 4) 0 18.（本小 题满分 16 分） 某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为 60cm 的正方形纸板如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是 xcm 的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽 分别为 30cm、 xcm 的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒 (1)求包装盒的容积 V(x)关于 x 的函数表达式，并求函数的定义域； (2)当 x 为多少 cm 时，包装盒的容积最大 ？ 最大容积是多少 cm3？ - 4 - 19.（本小 题满分 16 分） 已知离心率为 32 的 椭圆
7、x2a2y2b2 1(a b 0) ，经过点 A(1，32 )，过 A 作直线 l 与椭圆相交于另一点 B，与 y 轴相交于点 D，取线段 AB 的中点 P，以线段 DP 为直径作圆与直线 OP 相交于点Q. (1)求椭圆的方程； (2)若 P 点坐标为 (32， 34 )，求直线 DQ 的方程； (3)求证：直线 DQ 过定点，并求出该定点坐标 . 20.（本小 题满分 16 分） 已知函数 f(x) ax xlnx 的图象在 (1， f(1)处的切线与直线 2x y 1 0 平行 (1)求实数 a 的值； (2)若 f(x)( k2 k 1)x2对任意 x 0 恒 成立，求实数 k 的取值
8、范围； (3)当 n m 1(m， n N*)时，证明： nn m mm n - 5 - 高 二期末 考试 数学试题答案 1、 1， 3， 4， 5 2、 7 3、真 4、 5， 1 5、 y2 4 3x 6、 13 7、 35 8、 3 9、 47 10、 12 11、 3 2 2 12、 2 13、 ( 1， 1) 14、 ( 1， 1) 15 解 ： (1)设 f(x) ax2 bx c(a 0)， 因为 f(1) 1， f( 1) 5，且图象过原点，所以? a b c 1，a b c 5，c 0，? 3 分 解得? a 3，b 2，c 0，所以 f(x) 3x2 2x. ? 7分 (2
9、)y f(x)x2 3 2x， 当 x 1， 4时， 函数 y 3 2x是增函数， 当 x 1 时， y 取得最小值 1，当 x 4 时， y 取得最大值 52，所以 B 1， 52， ? 11分 UCB (52， 4 ? 14 分 16 解： (1)若命题 q 是真命题，则有 当 a 0 时定义域为 ( ， 0)，不合题意 ? 1 分 当 a 0 时，由已知可得? a 04 4a a2 0， ? 4分 解得： a 2， 故所求实数 a 的取值范围为 ( 2， ) ? 6 分 (2)若命题 p 为真命题 ， 1 a 2 ? 8 分 若 p 为真 q 为假，则 ?1 a 2a 2 ，得到 1 a
10、 2 ? 10 分 - 6 - 若 p 为 假 q 为 真 ，则 ?a 1或 a 2a 2 得到 a 2 ? 12 分 综上所述， a 的取值范围是 1 a 2 或 a 2 ? ? ? 14 分 17 解： (1)因为 f(x)是奇函数，且 f(0)有意义，所以 f(0) 0，所以 1 (k 1) 0， k 2 ? 2分 当 k 2 时， f(x) ax a x， f( x) a x ax， f(x) f( x) 0， 所以 f(x)是奇函数 ， k 2 符合题意 ? ? ? ? ? ? 4 分 (2)因为 f(1) 0，所以 a 1a 0，即 0 a 1， ? ? ? ? 6 分 f x)
11、axlna a xlna，因为 0 a 1， 所以 f x) 0，所以 f(x)是 R 上的单调减函数 ?9 分 由 f(x2 2x) f(x 4) f(4 x)，得 x2 2x 4 x，即 x2 3x 4 0， ? 12分 解得 x 4 或 x 1，故所求不等式的解集为 ( ， 4) (1， ) ? 14分 18 (1)因为包装盒高 h x，底面矩形的长为 60 2x，宽为 30 x， 所以铁皮箱的体积 V(x) (60 2x) (30 x) x 2x3 120x2 1800x ? 4 分 函数的定义域为 (0， 30) ? ? ? ? 6 分 (2)由 (1)得 ， V x) 6x2 24
12、0x 1800 6(x 10)(x 30)， 令 V x) 0， 解得 x 10 ? ? ? ? 8分 当 x (0， 10)时， V x) 0，函数 V(x)单调递增； 当 x (10， 30)时， V (x) 0，函数 V(x)单调递减 ? ? 12分 所以函数 V(x)在 x 10 处取得极大值，这个极大值就是函数 V(x)的最大值 又 V(10) 8000cm3 ? ? ? ? 15 分 答：切去的正方形边长 x 10cm 时，包装盒的容积最大，最大容积是 8000cm3 ? 16 分 19 (1)因为?ca 321a234b2 1所以： a 2， b 1 椭圆的方程为： x24 y2
13、 1? ? ? ? 4 分 (2)因为点 P 的坐标为 (32， 34 )，所以 AB 的方程为： y 32 x 3 ， 所以 D 点坐标为 (0， 3) ? ? ? ? ? ? 5 分 又因为以 DP 为直径的圆与 OP 交于 Q，所以 DQ OP 又 kOP 36 ，所以 kDQ 2 3? 7 分 所以 DQ 的 方 程 为 ： y 2 3 x - 7 - 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 分 (3) 由题意知直线 l 的斜率存在，可设 l 的方程为： y 32 k(x 1)， 所以 D 点坐标为 (0， 32 k)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 分 又?
14、y 32 k(x 1)x24 y2 1消去 y 后得： (4k2 1)x2 4k( 3 2k)x 4( 32 k)2 4 0 所以： xA xB 4k( 3 2k)4k2 1 ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分 所以 xP 2k(2k 3)4k2 1 ， yP32 k4k2 1，所以 kOP14k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 又 DQ OP，所以 kDQ 4k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 14 分 所以 DQ 的方程为： y 32 k 4kx，即 y 32 k(4x 1) ? ? ? ? ? ? ? 15 分 所以直 线
15、 DQ 恒过定点 (14， 32 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 16 分 20.解： (1)求导数，得 f (x) a lnx 1 由已知，得 f (1) 2，即 a ln1 1 2 a 1 ? ? ? ? ? ? ? 3分 (2)由 (1)知 f(x) x xlnx， f(x)( k2 k 1)x2对任意 x 0 成立 ?k2 k 1 1 lnxx 对任意 x 0 成立 ? ? 5 分 令 g(x) 1 lnxx ，则问题转化为 求 g(x)的最大值 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 分 求导得 g (x) lnxx2 ，令 g (x) 0，解得 x 1. ? ? ? ? ? ? ? ? ?7 分 当 0 x 1 时， g (x) 0， g(x)在 (0， 1)上是增函数； 当 x 1 时， g (x) 0， g(x)在 (1， )上是减函数 g(x)在 x 1 处取得
