1、 - 1 - 吉安市高二下学期期末教学质量检测 数学（理科）试卷 第 卷（选择题，共 60 分） 一、 选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知复数 z 满足 4zz? （ i 为虚数单位），其中 z 是 z 的共轭复数， 22z? ，则复数 z的虚部为（ ） A 2? B 2i? C 2 D 2i 2.正弦函数是奇函数， ( ) sin( 1)f x x?是正弦函数，因此 ( ) sin( 1)f x x?是奇函数，以上推理（ ） A结论正确 B大前提不正确 C小前提不正确 D大前提、小前提、结论都不正确 3.如图所示，在
2、边长为 1的正方形 OABC 中任取一点 P ，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为（ ） A 14 B 15 C 16 D 17 4.设随机变量 X 服从正态分布 2(4, )N ? ，若 ( ) 0.4P X m?，则 ( 8 )P X m? ? ?（ ） A 0.6 B 0.5 C 0.4 D与 ? 的值有关 5.若对任意实数 x ，有 520 1 2( 2 ) ( 2 )x a a x a x? ? ? ? ?55( )ax? ? ，则 024a a a? ? ?（ ） A 121 B 122 C 242 D 244 6.2018 年平昌冬奥会期间， 5 名运动员从左到右排 成一排合影留
3、念，最左端只能排甲或乙，- 2 - 最右端不能排甲，则不同的排法种数为（ ） A 21 B 36 C 42 D 84 7.已知 X 是离散型随机变量， 3( 2) 4PX?， 1()4P X a?， 9()4EX? ，则 (2 1)DX?（ ） A 34 B 38 C 316 D 92 8.欧拉公式 cos sinixe x i x?（ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥” .根据欧拉公式可知， 23ie? 表示的复数位于复平面中的（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限
4、 D第四象限 9.曲线 ( 0)bxy ae a?作线性变换后得到的回归方程为 1 0.6ux? ，则函数 2y x bx a? ? ?的单调递增区间为（ ） A (0, )? B (1, )? C 1( , )2? D 3( , )10? 10.在一个袋子中装有 12个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球 6 个、白球 4 个、黄球 2个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸 3 次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（ ） A 13 B 14 C 16 D 18 11.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 64 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，
5、记它的油漆面数为 X ，则 X 的均值 ()EX? （ ） A 4532 B 54 C 32 D 2 12.甲罐中有 5 个红球， 2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 6 个红球， 2 个白球和 2 个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以 1A ， 2A ， 3A 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结- 3 - 论中 不正确 的是（ ） A事件 B 与事件 1A 不相互独立 B 1A 、 2A 、 3A 是两两互斥的事件 C1 7( | ) 11P B A ?D 3()5PB? 第 卷（非选择题，共 90
6、 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.在极坐标系中，点 2,6?到圆 2sin? 的圆心的距离为 14.甲、乙、丙射击命中目标的概率分别为 15 、 14 、 13 ，现在三人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为 15.若 51( )(2 )axxxx?的展开式中各项系数的和为 3 ，则该展开式中的常数项为 16.聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术 .得诀自诩无所阻 ,额上纹起终不悟 .”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： 2233?，3388? ， 444415 15? ， 555524 24? ，?，则
7、按照以上规律，若100 100100 100nn? 具有“穿墙术”，则 n? 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（ 1）已知复数 z 满足 22z? ， 2z 的虚部为 8 ，求复数 z ； （ 2）求曲线 ()xf x e? 、直线 2x? 及两坐标轴围成的图形绕 x 轴旋转一周所得几何体的体积 . 18.为了巩固全国文明城市创建成果，今年吉安市开展了拆除违章搭建铁皮棚专项整治行为 .为 了了解市民对此项工作的“支持”与“反对”态度，随机从存在违章搭建的户主中抽取了男性、女性共 100名进行调查，调查结果如下： 支持 反对 合计
8、男性 35 15 50 女性 30 20 50 合计 65 35 100 - 4 - （ 1）根据以上数据，判断是否有 90%的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与“性别”有关； （ 2）现从参与调查的女户主中按此项工作的“支持”与“反对”态度用分层抽样的方法抽取5 人，从抽取的 5 人中再随机地抽取 3 人赠送小礼品，记这 3 人中持“支持”态度的有 ? 人，求 ? 的分布列与数学期望 . 参考公式： ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 n a d b cKa b c d a c b d? ? ? ? ?，其中 n a b c d? ? ? ? . 参考数据： 2 0()P K
9、k? 0.10 0.05 0.01 0k 2.706 3.841 6.635 19.证明下列不等式 . （ 1）当 1a? 时，求证： 2 1 1 0a a a? ? ? ? ?； （ 2）设 0a? ， 0b? ，若 0a b ab? ? ? ，求证： 2 3 2 2ab? ? ? . 20.已知函数 2( ) 6f x x x? ? ?. （ 1）求不等式 ( ) 0fx? 的解集； （ 2）若对于一切 1x? ，均有 ( ) ( 3) 10f x m x m? ? ? ?成立，求实数 m 的取值范围 . 21.某中学开设了足球、篮球、乒乓球、排球四门体育课程供学生选学，每个学生必须且只能
10、选学其中 1门课程 .假设每个学生选学每门课程的概率均为 14 ，对于该校的甲、乙、丙 3 名学生，回答下面的问题 . （ 1）求这 3 名学生选学课程互不相同的概率； （ 2）设 3 名学生中选学乒乓球的人数为 ? ，求 ? 的分布列及数学期望 . 请考生在 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 - 5 - 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为：332112xtyt? ? ? ? ?（ t 为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 (5 4 cos 2 )
11、 9?，直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点 . （ 1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）若点 P 的极坐标为 (2 2, )4? ，求 PAB? 的面积 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 2 1f x x a x? ? ? ?. （ 1）当 2a? 时，求不等式 ( ) 3fx? 的解集； （ 2）若 ( ) 2f x x? 的解集包含 1,22?，求 a 的范围 . 吉安市高二下学期期末教学质量检测 数学试卷（理科）参考答案 一、选择题 1-5: ACCAB 6-10: CABDC 11、 12： CD 二、填空题 13. 3 14.
12、 35 15. 120 16. 9999 三、解答题 17.（ 1）设 ( , )z a bi a b R? ? ?，由已知条件得 228ab?， 2 2 2 2z a b abi? ? ? ， 2z 的虚部为 8 ， 28ab? ， 2ab? 或 2ab? ? ，即 22zi? 或 22zi? ? . （ 2） 2 2 2 402( ) ( 1 )022xxV e d x e e? ? ? ? . 18.解：（ 1） 22 1 0 0 ( 3 5 2 0 3 0 1 5 ) 1 .1 2 .7 0 66 5 3 5 5 0 5 0K ? ? ? ? ? ? ? ?， 没有 90%的把握认为对
13、此项工作的“支持”与“反对”态度与性别有关 . - 6 - （ 2）依题意可知，抽取的 5 名女户主中，持“支持”态度的有 3 人，持反对态度的有 2 人， ?的所有可能取值为 1， 2 ， 3 ， 123235 3( 1) 10CCP C? ? ? ?， 213235 63( 2 ) 1 0 5CCP C? ? ? ? ?， 303235 1( 3) 10CCP C? ? ? ?， ? 的分布列为： ? 1 2 3 P 310 35 110 3 3 1 91 2 31 0 5 1 0 5E ? ? ? ? ? ? ? ?. 19.证明：（ 1）要证 2 1 1 0a a a? ? ? ? ?
14、；即证 2 1 1a a a? ? ? ?， 只要证 ? ? ? ?222 1 1a a a? ? ? ?，只要证 24 2 2 1a a a? ? ?， 只要 证 2 1aa?，由于 1a? ，只要证 221aa?， 最后一个不等式显然成立，所以 2 1 1 0a a a? ? ? ? ?； （ 2）因为 0a b ab? ? ? ， 0a? ， 0b? ，所以 111ab?， 1 1 2( 2 ) 3 3 2 2abab a b b a? ? ? ? ? ? ? ， 当且仅当 2abba? ，即 2ab? 时，等号成立，所以 2 3 2 2ab? ? ? . 20.解：（ 1） ( ) 0
15、fx? ， 2 60xx? ? ? ， ( 2)( 3) 0xx? ? ?， ( ) 0fx? 的解集为 | 2 3xx? ? ? ， （ 2） 2( ) 6f x x x? ? ?， 当 1x? 时， 2 6 ( 3 ) 1 0x x m x m? ? ? ? ? ?恒成立， 2 4 4 ( 1)x x m x? ? ? ?， 对一切 1x? 均有 2 441xxm x? ? 成立， 又 2 4 4 11 2 2 1 2 011xx xxx? ? ? ? ? ? ? ?， - 7 - 当且仅当 2x? 时，等号成 立 . 实数 m 的取值范围为 ( ,0? . 21.解：（ 1） 3 名学生
16、选学的课程互不相同的概率 343 348AP?. （ 2） ? 的所有可能取值为 0 ， 1， 2 ， 3 ， 333 27( 0) 4 64P ? ? ? ?， 12333 27( 1) 4 64CP ? ? ? ?， 2333 9( 2) 4 64CP ? ? ? ?， 333 1( 3) 4 64CP ? ? ? ?， ? 的分布列为： ? 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164 2 7 2 7 9 1 30 1 2 36 4 6 4 6 4 6 4 4E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 22.解：（ 1）因为直线 l 的参数方程为332112xtyt? ? ? ? ? ? ? ?， 3? 得 30xy?， 故直线 l 的普通方程为 30xy?， 又曲线 C 的极坐标方程为 2 2 25 4 (2 co s 1) 9? ? ? ? ?，即 2 2 29 8 cos 9? ? ?， 因为 2 2 2xy? ?， cos x? ， 2 2 29( ) 8 9x y x? ? ?，即 2 2 19x y?， 故曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 19x y?. （ 2）因为点 P 的极坐标为 2 2,4
