1、 - 1 - 辽宁省辽阳市 2017-2018 学年高二数学下学期期末考试试题 文 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设命题 2: , 1 0p x R x? ? ? ?，则 p? 为（ ） A 200, 1 0x R x? ? ? ? B 2, 1 0x R x? ? ? ? C 200, 1 0x R x? ? ? ? D 200, 1 0x R x? ? ? ? 2.已知集合 ? ? ? ?1 1 , 3 1A x R x B x Z x? ? ? ? ? ? ?
2、? ? ?，则 AB? 中元素的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 3.复 数 ? ? ?1 3 1z i i? ? ? ?在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4.下列四个函数中，在 ? ?,0? 上为减函数的是（ ） A ? ? 2 2f x x x? B ? ? 2f x x? C ? ? 1f x x? D ? ? 1fxx? 5.已知函数 ? ? 13xfx ?，若 ? ?3 2log 2fa?，则 a? （ ） A 13 B 14 C 12 D 2 6.函数 ? ? sinf x x x?在区间 ? ?0,1 上的最小值为（ ） A
3、 0 B sin1 C.1 D sin11? 7.“ 1x? ”是“ ln 0x? ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D既不充分也不必要条件 8.现有下面三个命题 1:p 常数数列既是等差数列也是等比数列； ? ?22 0 2 0: , lo g 1 0p x R x? ? ? ?； - 2 - 3:p 椭圆 22 13yx ?的离心率为 33 . 下列命题中 为假命题的是（ ） A 12pp? B ? ? ? ?12pp? ? ? C. ? ?13pp? D ? ? ? ?23pp? ? ? 9.“已知函数 ? ? ? ?2f x x ax a a R? ? ?
4、?，求证： ?1f 与 ?2f 中至少有一个不少于 12 .”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是（ ） A假设 ? ? 11 2f ? 且 ? ? 12 2f ? B假设 ? ? 11 2f ? 且 ? ? 12 2f ? C. 假设 ?1f 与 ?2f 中至多有一个不小于 12 D假设 ?1f 与 ?2f 中至少有一个不大于 12 10.设3 1 23lo g 2 , lo g 2 , lo g 3a b c? ? ?，则（ ） A a c b? B c a b? C.c b a? D b c a? 11.函数 ? ? 444xxxfx ? ?的大致图象为（ ） A B C. D 12
5、.已知函数 ? ? ? ?31xf x x e a? ? ? ?有 2 个零点，则 a 的取值范围是（ ） A ? ?1 , 1e? B ? ?,0e? C. ? ?21 , 1e? ? ? D ? ?21 ,1e? 第 卷（共 90 分） - 3 - 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.若函数 ? ? 3 lnf x x x?，则 ?1f ? 14.已知函数 ? ? 32 , 0ln , 0x xxfxxx? ? ? ?，则 1ffe? 16.设复数 z 满足 ? ? ? ?213z i i? ? ? ，则 z 的虚部为 16.甲、乙、丙三位同学被问到是否去
6、过 ,ABC 三个城市时，甲说 :我没去过 C 城市；乙说 :我去过的城市比甲家，但没去过 B 城市；丙说 :我们三人去过同一城市，由此可判断甲去过的城市为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已知复数 ? ?1z a ai a R? ? ? ?. （ 1）若 z 是纯虚数，求 a ； （ 2）若 5z? ，求 z . 18. 已知 :p 函数 ? ? ? ?22 4 8 5f x x m x? ? ? ?在区间 ? ?,1? 上是减函数； :q 关于 x 的不等式 2 4 3 0x mx m? ? ? ?无解 .如果“ pq?
7、 ”为假，“ pq? ”为真，求 m 的取值范围 . 19.（ 1）在平面上，若两个正方形的边长的比为 1:3 ，则它们的面积比为 1:9 .类似地，在空间中，对应的结论是什么？ （ 2）已知数列 ?na 满足11212, 4nn naaa a? ? ?，求 2345, , ,a a a a ，并由此归纳得出 ?na 的通项公式 （无需证明） . 20.A 市某机构为了调查该市市民对我国申办 2034 年足球世界杯的态度，随机选取了 140位市民进行调查，调查结果统计如下 : 不支持 支持 合计 男性市民 60 女性市民 50 合计 70 140 （ 1）根据已知数据把表格数据填写完整； -
8、4 - （ 2）利用 (1)完成的表格数据回答下列问题 : （ i）能否有 99%的把握认为支持申办足球世界杯与性别有关； （ ii）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有 5 位退休老人，其中 2 位是教师，现从这 5 位退体老人中随机抽取 3 人 ，求至多有 1位老师的概率 . 参考公式： ? ?213 22 12 2321 2 1 2n n n n nn n n n? ? ? ? ，其中 11 12 21 22n n n n n? ? ? ?. 参考数据： ? ?2 0Pk? ? 0.050 0.010 0k 3.8416.635 21.已知函数 ? ? lnxf x axx?.
9、 （ 1）当 0a? ，求函数 ?fx的单调区间； （ 2）若函数 ?fx在 ? ?2,? 上是减函数，求 a 的最小值； 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 设直线 l 的参数方程为11232xtyt? ? ?（ t 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 4cos? ? ? . （ 1）把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）设直线 l 与曲线 C 交于 ,MN两点，点 ? ?1,0A ，求 22MA NA? 的值 . 23.选修
10、4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? 23f x x x? ? ? ?. （ 1）求不等式 ? ? 15fx? 的解集； （ 2）若 ? ?2x a f x? ? ? 对 xR? 恒成立，求 a 的取值范围 . - 5 - 高二数学期末试题 参考答案（文科） 一、选择题 1-5:DBAAD 6-10:DBCBB 11、 12： AD 二、填空题 13.2 14.32 15. 7? 16.A 三、解答题 17.解：（ 1）若 z 是纯虚数， 则 100aa? ?， 所以 1a? （ 2）因为 ? ?2 215z a a? ? ? ?， 所以 2 20aa? ? ? ， 所以 2a? 或 1a?
11、. 当 2a? 时， 1 2 , 1 2z i z i? ? ? ?， 当 1a? 时， 2 , 2z i z i? ? ? ? ? ?. 18.解：若 p 为真，则对称轴 21xm? ? ? ，即 1m? 若 q 为真，则 ? ?216 4 3 0mm? ? ? ? ?，即 24 3 0mm? ? ? ，解得 31 4m? ? ? 因为“ pq? ”为假，“ pq? ”为真，所以 ,pq一真一假 . 若 p 真 q 假，则 1314mmm? ? ? ? 或，得 3 14 m?或 1m? 若 q 真 p 假，则 1 31 4mm? ? ?，得 m? 综上，所以 3 14 m?或 1m? ，即
12、m 的取值范围是 ? ?3 ,1 , 14? ? ? ?. 19.解：（ 1）对应的结论为：若两正方体的棱长的比为 1:3 ，则它们的体积之比为 1:27 . - 6 - （ 2）由11 2132 1,14nn naaa a? ? ? ? ? ?， 得2 3 4 533 1 3 0 3 1 1 3 2 321 , 0 1 , 1 , 19 1 56 2 2 3 4 4 4 5 524a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由此可归纳得到 3 1na n?20.解：（ 1） 不支持 支持 合计 男性市民 40 20 60 女性市民 30 50 80
13、 合计 70 70 140 （ 2）（ i）由已知数据可求得 ? ? 22 1 4 0 4 0 5 0 3 0 2 0 1 1 .6 6 7 6 .6 3 56 0 8 0 7 0 7 0? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以有 99%的把握认为支持申办足球世界杯与性别有关 . （ ii）从 5 人中任意取 3 人的情况有 35C 种，其中至多有 1位教师的情况有 1 2 32 3 3CC C? 种， 故所求的概率 1 2 32335 3 710C C CP C ? 21.解：函数 ?fx的定义域为 ? ? ? ?0,1 1,? ? ， （ 1）函数 ? ? ?2ln 1 lnxfx x?，
14、 当 0 xe?且 1x? 时， ? ?0fx? ； 当 xe? 时， ? ?0fx? ， 所以函数 ?fx的单调递减区间是 ? ? ? ?0,1 , 1,e ， 单调递增区间是 ? ?,e? （ 2）因在 ?fx上 ? ?2,? 为减函数， 故 ? ? ?2ln 10lnxf x ax? ? ?在 ? ?2,? 上恒成立 . - 7 - 所以当 ? ?2,x? ? 时， ? ?max0fx ? ， 又 ? ? ? ? 222l n 1 1 1 1 1 1 l n l n l n 2 4ln xf x a a ax x xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
15、 ? ? ?， 故当 11ln 2x? ，即 2xe? 时， ? ?max 1 4f x a?. 所以 1 04 a? ，于是 14a? ， 故 a 的最小值为 14 . 22.解：（ 1）由曲线 C 的极坐标方程为 2sin 4cos? ? ? ，即 22sin 4 cos? ? ? ? ， 可得直角坐标方程 2 4yx? . （ 2）把直线 l 的参数方程11232xtyt? ? ?（ t 为参数）代入曲线 C 的直角坐标方程可得 23 8 16 0tt? ? ? 1 2 1 28 16,33t t t t? ? ? ? ?. ? ?22 2221 2 1 2 1 2 6 4 3 2 1
16、6 02 9 3 9M A N A t t t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ?23.解：（ 1）因为 ? ? 2 1, 35, 3 22 1, 2xxf x xxx? ? ? ? ? ? ?， 所以当 3x? 时，由 ? ? 15fx? ，得 83x? ? ? ； 当 32x? ? ? 时，由 ? ? 15fx? ，得 32x? ? ? ； 当 2x? 时，由 ? ? 15fx? ，得 27x? . 综上， ? ? 15fx? 的解集为 ? ?8,7? . （ 2）设 ? ? 2g x x a? ? ，则 ? ? ? ?max 0g x g a?， 当 32x? ? ? 时， ?fx取得最小值 5 . 所以当 0x? 时， ? ?2x f x? 取得最小值 5 ， - 8 - 故 5a? ，即 a 的取值范围为 ? ?,5? .
