1、 - 1 - 2017-2018 学年度宝昌一中高二期末理科数学试卷 考试时间： 120分钟 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I卷（选择题） 一、选择题 (12 5=60) 1 已知复数 3 4,z i i? 为虚数单位， z 是 z 的共轭复数，则 iz? （） A. 4355i? B. 4355i? C. 4325 25i? D. 4325 25i? 2 对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体（） A. 各正三角形内的点 B. 各正三角形某高线上的点 C. 各正三角形的中心 D. 各正三角
2、形各边的中点 3 用反证法证明命题 “ 若 220ab?，则 ,ab全为 ? ?0,ab R? ” ，其反设正确的是（ ） A. ,ab至少有一个不为 0 B. ,ab至少有一个为 0 C. ,ab全不为 0 D. ,ab中只有一个为 0 4 函数 ? ? ? ?2 1 exf x x?的递增区间为（） A. ? ?,? B. 1,2?C. 1, 2?D. 1,2? ?5.若函数 y=f(x)的导函数 的图像如下图所示，则 y=f(x)的图像可能为（） 6.函数 y=f(x)的图像在 x=5 处的切线方程是 y=-2x+8,则 f(5)-f(5) 等于（ ） A.1 B.0 C.2 D. 7.
3、先后投掷同一枚 骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为 x、 y,设事件 A为“ x+y为偶数”，事件 B为“ x y” ,则 P(B|A)=( ) A. B. C. D. 8.如图所示，阴影部分的面积（ ） - 2 - A. 12B. 23C. 1 D. 769.某班有 的学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出 5名学生，其中数学成绩优秀的学生人数 X B(5， ),则 E（ 2X+1） = ( ) A. B. C. 3 D. 10 已知 ? ?1nx?的展开式中第 5项与第 7项 的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（） A. 92B. 102C. 112D. 12211 古
4、有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山。现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成宝昌一中“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分 别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（） A. 14种 B.24种 C. 20种 D.16种 12 已知定义在实数集 R上的函数 ?fx满足 ?13f ?，且 ?fx的导数 ?fx?在 R上恒有? ? ? ?2f x x R? ?，则不等式 ? ? 21f x x?的解集为（） A. ? ?1,? B. ? ?,1? C. ? ?1,1 D.
5、 ? ? ? ?, 1 1,? ? ? ? 第 II卷（非选择题） 二、填空题 (4 5=20) 13 ? ?30 )sin2(? dxxx。 14 的展开式中，3的系数是 _.（用数字填写答案） 15 函数 有 3个不同的零点，则实数 的取值范围为是 _ 16.关于正态分布密度函数性质的叙述： .曲线关于直线 x= 对称，这个曲线在 x轴上方； .曲线关于直线 x= 对称，这个曲线只有当 x (-3 ,3 )时才在 x轴上方； .曲线关于 y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数； .曲线在 x= 时，处于最高点并由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低； .曲线的对称轴由 确定，曲线
6、的形状由确定； .越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦” 上述说法正确的是 _ - 3 - 三、解答题 17已知点 P和点 Q是曲线 y= -x-3上的两点，且点 P的横坐标是 1，点 Q的横坐标是 4，求： 割线 PQ的斜率； (5 分 ) 在点 P处的切线方程 .（ 5分） 18.设 a 为实数，函数 f（ x） =x3 x2 x+a ，若函数 f（ x）过点 A（ 1， 0） ，求函数在区间 2， 3上的最值（ 10分） 19某公司甲、乙、丙三位员工独立参加某项专业技能测试，根据平时经验，甲、乙、丙能 达标的概率分别为 ， ， ； 若甲、乙两位员工各自参加两次测试，各自测试达标与否互
7、不影响，求甲、乙两位员工恰好都只有一次达标的概率；（ 6分） 若三位员工各自参加一次测试，记达标的人数为 X,求 X的分布列和数学期望 .（ 6分） 20.数列 ?na满足 *15 36 18 ,nna a n n N? ? ? ?，且 1 4?. （ 1）写出 ?na的前 3项，并猜想其通项公式；（ 6分） （ 2）用数学归纳法证明你的猜想 .（ 6分） 21.期末考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学成绩进行统计，规定：大于或等于 120分的为 优秀 120分以下的为非优秀 .统计结束后，得到如下 2 2列联表 .已知在甲、乙两个文科班的110人中随机抽取 1人为优秀的概率为 . 优秀 非优
8、秀 总计 甲班 10 乙班 30 总计 110 附表： P( ) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 (1) 请完成 2 2列联表 .(答题卡中作答 )（ 6分） - 4 - (2)是否有 99.9的把握认为“成绩优秀与班级有关”？（ 6分） 22 已知函数 ? ? 2xf x e x a? ? ?， xR?，曲线 ? ?y f x?的图象在点 ? ? ?0, 0f处的切线方程为 y bx?. （ 1）求函数 ? ?y f x?的解析式；（ 4分） （ 2）当 xR?时，求证： ? ? 2f x x x? ?；（ 5分） （ 3）若 ? ?f x kx?对
9、任意的 ? ?0,x? ?恒成立，求实数 k的取值范围 .（ 5分） - 5 - 2018数学理科试卷答案： 1. C 2.C 3.A 4.D 5.C 6.B 7.D 8.B 9.D 10.A 11.B 12.A 13. 92? +21 14. 360 15. (-2， 2) 16. 17. (1) P(1， -3) Q(4， 9) k=4 (2) y =2x-1 切线斜率 k=1 切点 P(1， -3) 在点 P处的切线方程为： x - y - 4=0 18.函数 f（ x）的最大值为 16，最小值为 -9 【解析】 试题分析：由题意可得 f（ 1） =1 1 1+a=0，从而化简 f（ x
10、） =x3 x2 x+1， f （ x） =3x2 2x 1=（ 3x+1）（ x 1），从而判断函数的单调性再求最值即可 解： 函数 f（ x）过点 A（ 1， 0）， f （ 1） =1 1 1+a=0， a=1 ， f （ x） =x3 x2 x+1， f （ x） =3x2 2x 1=（ 3x+1）（ x 1）， f （ x）在 2， 上是增函数，在 ， 1上是减函数， 在 1， 3上是增函数； 而 f（ 2） =-9， f（ ） = + +1=1+ = ， f（ 1） =0， f（ 3） =27 9 3+1=16， 故函数 f（ x）的最大值为 16，最小值为 -9 19.(1)甲员
11、工连续两次测试恰好只有一次达标的概率为 c12 41 （ 1 - 43 ） =83 乙员工连续两次测试恰好只有一次达标的概率为 )321(3112 ?c =94 所以甲、乙两次员工恰好都只有一次达标的概率为 619483 ? （ 2） 易知 X=0,1,2,3 P(X=0)=(1-43 ) (1-32 ) (1-53 )=602 6013533141523241523143)1( ?XP 2096027533241533143523243)2( ?XP 1036018533243)3( ?XP X 0 2 3 4 - 6 - 601216018360272601316020)( ?XE 20.
12、 （ 1） 62nan?（ 2）见解析 【解析】 试题分析 :（ 1） 由 1 2 34, 10, 16a a a? ? ?，猜想 62nan?; 试题解析 :解：（ 1） 1 2 34, 10, 16a a a? ? ?，猜想 62nan?；（ 2） 验证 1n? 时成立 ; 假设 ,n k k N?时，猜想成立，即有 62kak?， 由 15 36 18kka a k? ? ?，及 62kak?，证得 1nk?时成立 ,故命题成立 . （ 2） 当 1n? 时， 1 4 6 1 2a ? ? ? ?成立； 假设 ,n k k N?时，猜想成立，即有 62kak?， 由 15 36 18kk
13、a a k? ? ?，及 62kak?， 得 ? ?1 6 4 6 1 2ka k k? ? ? ? ? ?，即当 1nk?时猜想成立， 由 可知， 62nan?对一切正整数 n 均成立 . 21.(1) 优 秀 非优秀 总 计 甲 班 10 50 60 乙 班 20 30 50 总 计 30 80 110 （ 2） 828.10486.750608030110 )20503010( 22 ? ?kK 所以没有 99.9%的把握认为“成绩优秀与班级有关” 22. （ 1） ? ? 2 1xf x e x? ? ?；（ 2）见解析；（ 3） ? ?,2e? ? . 【解析】 试题分析： (1)利
14、用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为 ? ? 2 1xf x e x? ? ?. (2) 构造新函数 ? ? ? ? 2 1xg x f x x x e x? ? ? ? ? ?. 结合函数的最值和单调性可 得P 602 6013 6027 6018 - 7 - ? ? 2f x x x? ? . (3)分离系数，构造新函数 ? ? ? ?fxx x? ? ， 0x? ，结合新函数的性质可得实数 k 的取值范围为 ? ?,2e? ? . 试题解析： （ 1）根据题意，得 ? ?2xf x e x?，则 ? ? 0 1fb? . 由切线方程可得切点坐标为 ? ?0,0 ，将其代入 ? ?
15、y f x? ，得 1a? ， 故 ? ? 2 1xf x e x? ? ?. （ 2）令 ? ? ? ? 2 1xg x f x x x e x? ? ? ? ? ?. 由 ? ? 1 0xg x e? ? ?，得 0x? ， 当 ? ?,0x? ， ? ?0gx? ， ? ?y g x? 单调递减； 当 ? ?0,x? ? ， ? ?0gx? ， ? ?y g x? 单调递增 . 所以 ? ? ? ?min 00g x g?，所以 ? ? 2f x x x? ? . （ 3） ? ?f x kx? 对任意的 ? ?0,x? ? 恒成立等价于 ? ?fxkx ? 对任意的 ? ?0,x? ? 恒成立 . 令 ? ? ? ?fxx x? ? ， 0x? ，得? ?2x f x f xx x? ? ? ?2221xxx e x e xx? ? ? ? ? ?11xx e xx? ? ?. 由（ 2）可知，当 ? ?0,x? ? 时， 10xex? ? ? 恒成立， 令 ? ?0x? ? ，得 1x? ；令 ? ?0x? ? ，得 01x?. 所以 ? ?yx? 的单调增区间为 ? ?1,? ，单调减区间为 ? ?0,1 ，故 ? ? ? ?min 12xe? ? ?，所以 ? ?min 2k x e? ? ?. 所以实数 k 的取值范围为 ? ?,2e? ? .
