1、 - 1 - 2017 2018年度高二年级期末考试试题（卷） 数学（理科） 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 . 1.设复数 z 满足 11 z iz? ? ，则 z 等于（ ） A 1 B 2 C 3 D 2 2.当函数 2xyx? 取极小值时， x 的值为（ ） A 1ln2 B 1ln2? C ln2 D ln2? 3.同学聚会上，某同 学从爱你一万年、十年、父亲、单身情歌四首歌中选出两首歌进行表演，则爱你一万年未被选取的概率为（ ） A 13 B 12 C 23 D 56 4.曲线 ( ) sinxf x e x? 在点 (0, (0)f 处的切线斜率为（
2、 ） A 0 B 1? C 1 D 22 5.函数 ln() xfx x? 的单调递减区间是（ ） A (0,1) B (0,)e C (1, )? D (, )e? 6. 5( )(2 )x y x y?的展开式中 33xy的系数为（ ） A 80? B 40? C 40 D 80 7.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 5 次，正面向上的次数为 X ，则（ ） A (5,1)XB B (0.5,5)XB C (2,0.5)XB D (5,0.5)XB 8.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖 .有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；
3、丁说：“丙说的不对” .若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 9.小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A? “ 4 个人去的景- 2 - 点彼此互不相同”，事件 B? “小赵独自去一个景点”，则 ( | )PA B ? （ ） A 59 B 49 C 13 D 29 10.设 aR? ，若函数 3axy e x?， xR? 有大于零的极值点，则（ ） A 3a? B 3a? C 13a? D 13a? 11.定义域为 R 的可导函数 ()y f x? 的导函数 ()fx，满足 ( ) ( )f x f x? ，且 (0)
4、 2f ? ，则不等式 ( ) 2 xf x e? 的解集为（ ） A ( ,0)? B ( ,2)? C (0, )? D (2, )? 12.设函数 ()fx是定义在 ( ,0)? 上的可导函数，其导函数为 ()fx，且有22 ( ) ( )f x xf x x?，则不等式 2( 2 0 1 8 ) ( 2 0 1 8 ) 4 ( 2 ) 0x f x f? ? ? ? ?的解集为（ ） A ( , 2016)? B ( 2018,0)? C ( , 2020)? D ( 2020,0)? 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4分，共 20分 . 13.某一批花生种子，如果每粒发芽的概率
5、为 45 ，那么播下 3 粒这样的种子恰有 2 粒发芽的概率是 14.已知随机变量 ? 服从正态分布 2(0, )N ? ，且 ( 2 2) 0.4P ? ? ? ?，则( 2)P? 15.观察等式： sin 3 0 sin 9 0 3co s 3 0 co s 9 0? ? ? ?， sin 15 sin 75 1cos15 cos 75? ? ? ?， sin 2 0 sin 4 0 3co s 2 0 co s 4 0 3? ? ? ? ? ?.照此规 律，对于一般的角 ? ， ? ，有等式 16.若函数 1( ) ln ( 1 ) ( 0 , 0 )1 xf x a x x ax? ?
6、 ? ? ?的单调递增区间是 1, )? ，则 a 的值是 三、解答题：本题共 6 小题，共 70分 . 17.证明：当 0,1x? 时， 2 sin2 x x x?. - 3 - 18.为了调查患胃病是否与生活规律有关，在某地对 540 名 40 岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共 60 人，患胃病者生活规律的共 20 人，未患胃病者生活不规律的共 260 人，未患胃病者生活规律的共 200 人 . （ 1）根据以上数据列出 22? 列联表； （ 2）能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“ 40 岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系？” 附： ? ? ? ? ?
7、 ? ? ? ?22 n a d b cKa b c d a c b d? ? ? ? ?，其中 n a c d? ? ? ? . 2 0()P K k? 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 19.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12月 1日至 12月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100颗种子中的发芽数，得到如下资料： 日期 12月 1日 12月 2 日 12月 3 日 12月 4 日 12月 5 日 温差 ()xC? 10 11 13 12 8 发芽数 y（颗） 23 25 30
8、 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验 . （ 1）求选取的 2 组数据恰好是不相邻两天数据的概率； （ 2）若选取的是 12月 1日与 12月 5 日的数据，请根据 12月 2 日至 12月 4 日的数据求出 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a?； （ 3）若由线性回 归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗 .则认为得到的线性回归方程是可靠的 .试问（ 2）中所得到的线性回归方程是可靠的吗？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 121( )(
9、)()niiiniix x y ybxx?， a y bx? . - 4 - 20.从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如频率分布直方图： （ 1） 求这 500件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （ 2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 2( , )N? ，其中 ? 近似为样本平均数 x ， 2? 近似为样本方差 2s . 利用该正态分布，求 (187.8 212.2)PZ?； 某用户从该企业购买了 100件这种产品，记 X 表示这 100件产品中质量指标值位
10、于区间(187.8,212.2) 的产品件数 .利用 的结果，求 ()EX . 附： 150 12.2? .若 2( , )ZN? ，则 ( ) 0 .6 8 2 6PZ? ? ? ? ? ? ? ?，( 2 2 ) 0 .9 5 4 4PZ? ? ? ? ? ? ? ?. 21.某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为 34 ；若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为 45 .每台仪器各项费用如表： 项目 生产成本 检验费 /次 调试费 出厂价 金额（元） 1000 100 200 3000 （ 1）求每台仪器能出厂的概率； （ 2）求生
11、产一台仪器所获得的利润为 1600元的概率（注：利润 =出厂价 -生产成本 -检验费 -调试费）； （ 3）假 设每台仪器是否合格相互独立，记 X 为生产两台仪器所获得的利润，求 X 的分布列- 5 - 和数学期望 . 22.已知函数 () xf x e ax?有两个不同的零点 1x ， 2x . （ 1）求 a 的取值范围； （ 2）求证： 122xx?. 2017 2018 年度高二年级期末考试 理科数学参考答案 一、选择题 1-5: ABBCD 6-10: CDADB 11、 12： AC 二、填空题 13. 48125 14. 0.3 15. s in s in ta nc o s c
12、 o s 2? ? ? ?16. 1 三、解答题 17.证明：记 F(x) sinx 22 x， 则 F(x) cosx 22 当 x 0,4?时 ， F (x) 0， F(x)单调递增； 当 x ,14? ?时 ， F (x) 0， F(x)单调递减 又 F(0) 0， F(1) 0， 所以当 x0 ， 1时 ， F(x)0 ， 即 sinx 22 x. 记 H(x) sinx x， 则 H(x) cosx 1. 当 x0 ， 1时 ， H (x)0 ， H(x)单调递减 所以 H(x)H(0) 0， 即 sinx x. 综上 ， 22 x sinx x， x 0， 1 18.解： () 由
13、已知可列 22 列联表： 患胃病 未患胃病 总计 生活规律 20 200 220 生活不规律 60 260 320 总计 80 460 540 - 6 - ( )根据列联表中的数据，得 K2的观测值 k 540 （ 20260 20060 ）2220 320 80 460 9.638， 因为 9.6386.635， 因此在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “40 岁以上的人患胃病与否和生活规律有关 ” 19.解析 (1)设 “ 选取的 2组数据恰好是不相邻两天的数据 ” 为事件 A. 从 5组数据中选取 2组数据共有 10种情况： (1， 2)， (1， 3)， (1， 4)， (1
14、， 5)， (2， 3)， (2，4)， (2， 5)， (3， 4)， (3， 5)， (4， 5)， 其中数据为 12月份的日期数 每种情况都是等可能出现的 ， 事件 A包括的基 本事件有 6种 P(A) 610 35. 选取的 2组数据恰好是不相邻两天数据的概率是 35. (2)由数据可得 x 11 13 123 12， y 25 30 263 27. b （ 11 12） （ 25 27）（ 13 12） （ 30 27）（ 12 12） （ 26 27）（ 11 12） 2（ 13 12） 2（ 12 12） 2 52， a y b x 27 52 12 3. y关于 x的线性回归方
15、程为 y 52x 3. (3)当 x 10 时 ， y 52 10 3 22， |22 23|6.635， 因此在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为 “40 岁以上的人患胃病与否和生活规律有关 ” .10 分 19.解析 (1)设 “ 选取的 2组数据恰好是不相邻两天的数据 ” 为事件 A. 从 5组数据中选取 2组数据共有 10种情况： (1， 2)， (1， 3)， (1， 4)， (1， 5)， (2， 3)， (2，4)， (2， 5)， (3， 4)， (3， 5)， (4， 5)， 其中数据为 12月份的日期数 - 10 - 每种情况都是等可能出现的 ， 事件 A 包括的基 本事件有 6种 P(A) 610 35. 选取的 2 组数据恰好是不相邻两天数据的概率是 35.4 分 (2)由数据可得 x 11 13 123 12， y 25 30 263 27. b （ 11 12） （ 25 27）（ 13 12） （ 30 27）（ 12 12） （ 26 27）（ 11 12） 2（ 13 12） 2（ 12 12） 2 52， a y b x 27 52 12 3. y关于 x的线性回归方程为 y 52x 3.8 分 (3)当 x 10时 ， y 52 10 3 22， |22 23|2； 同
