1、数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 第2课时 等差数列的性质 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 自主学习 新知突破 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1进一步了解等差数列的项与序号之间的规律 2理解等差数列的性质 3掌握等差数列的性质及其应用 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 等差数列中项与序号的
2、关系 两项关系 通项公式的推广 anamnmdm，nN* 多项关系 项的运算性质若mnpqm，n，p，qN* 则amanapaq 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)若an是公差为d的等差数列，则下列数列： can(c为任一常数)是公差为_的等差数列； can(c为任一常数)是公差为_的等差数列； anank(k为常数，kN*)是公差为_的等差数列 (2)若an，bn分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列 panqbn(p，q是常数)是公差为_的等差数列 等差数列的性质 d cd 2d pd1qd2 数数 学学
3、必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 对等差数列的性质的理解 (1)第一条性质是指等号两边都是和，等号两边都是两 项特别地，当mn2r时(m，n，rN*)aman2ar. (2)从等差数列an中，等距离抽取一项，所得的数列仍为 等差数列，当然公差也随之发生变化 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (3)将等差数列各项都乘以同一个常数k，所得数列仍为等 差数列，公差为kd. (4)形如a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，的抽取， 实际上是3a2,3a5,3a
4、8当然成等差数列对于每2项，4项，5 项抽取，道理是相同的 (5)a1ana2an1a3an2 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1已知an为等差数列，a2a812，则a5等于( ) A4 B5 C6 D7 解析： a2a82a512，a56. 答案： C 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2在等差数列an中，已知a12，a2a313，则a4a5 a6等于( ) A40 B42 C43 D45 解析： a2a32a13d，d3，a4a5a6a1
5、 a2a333d42. 答案： B 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3已知an为等差数列，a3a822，a67，则a5 _. 解析： a3a8a5a622，a522a6227 15. 答案： 15 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 4在等差数列an中， (1)已知a2a3a23a2448，求a13； (2)已知a2a3a4a534，a2a552，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1d) (a12d)(a122d
6、)(a123d)48，即4(a112d)48， 4a1348，a1312. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)直接化成a1和d的方程如下： a1da12da13da14d34， a1d a14d52， 解得 a11， d3， 或 a116， d3. d3或3. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：(1)根据已知条件a2a3a23a2448，得4a13 48，a1312. (2)由a2a3a4a534， 得2(a2a5)34.即a2a
7、517， 解 a2 a552， a2a517， 得 a24， a513， 或 a213， a54. da 5a2 52 134 3 3或da 5a2 52 413 3 3. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 合作探究 课堂互动 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 等差数列性质的应用 在等差数列an中，已知a2a3a10a1136， 则a5a8_. 思路点拨 由题目可获取以下主要信息：数列an为 等差数列；a2a3a10a1136；求a5a8.解答
8、本题可利 用性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p， qN*)，则amanapaq，也可引入公差d和首项a1对已知和 所求进行化简求解 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 方法一：根据等差数列的性质可得： a5a8a3a10a2a1136218. 方法二：根据题意，有 (a1d)(a12d)(a19d)(a110d)36，4a122d 36，则2a111d18.而a5a8(a14d)(a17d)2a1 11d，因此，a5a818. 答案： 18 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习
9、新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 法一运用了等差数列的性质，若pqm n(p，q，m，nN*)，则apaqaman；法二设出了a1，d但并 没有求出a1，d.事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法 在数学中是一种常用方法，它体现了整体求解的思想. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1在等差数列an中，a7a916，a41，则a12的值是 ( ) A15 B30 C31 D64 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 方法一：
10、设等差数列的首项为a1，公差为d，则 由a7a916得2a114d16，由a41，得a13d1.两式 相减得a111d15，即a1215. 方法二：79412，a7a9a4a12，a12a7 a9a415. 答案： A 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 等差数列的运算 (1)三个数成等差数列，和为6，积为24，求这 三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项 的积为8，求这四个数 思路点拨 (1)根据三个数成等差数列，可设这三个数为 ad，a，ad(d为公差)； (2)四个数成递增等差数列，且中间
11、两数的和已知，可设为 a3d，ad，ad，a3d(公差为2d) 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 边听边记 (1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公 差为d， 则这三个数分别为ad，a，ad. 依题意，3a6且a(ad)(ad)24， 所以a2，代入a(ad)(ad)24， 化简得d216，于是d4， 故三个数为2,2,6或6,2，2. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a d，a2d， 依题意
12、，3a3d6且a(ad)(a2d)24， 所以a2d，代入a(ad)(a2d)24， 得2(2d)(2d)24,4d212， 即d216，于是d4，三个数为2,2,6或6,2，2. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)方法一：设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公 差为2d)， 依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8， 即a1，a29d28， d21，d1或d1. 又四个数成递增等差数列，所以d0， d1，故所求的四个数为2,0,2,4. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破
13、合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：若设这四个数为a，ad，a2d，a3d(公差为 d)， 依题意，2a3d2，且a(a3d)8， 把a13 2d代入a(a3d)8， 得 13 2d 13 2d 8，即1 9 4d 28， 化简得d24，所以d2或2. 又四个数成递增等差数列，所以d0，所以d2， 故所求的四个数为2,0,2,4. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算一般地有如下规律：当等差数列an的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：a
14、2d，a d，a，ad，a2d，；当项数为偶数项时，可设中间两 项为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设项：a3d，a d，ad，a3d，这样可减少计算量 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个 数与第三个数之积为40，求这个等差数列 解析： 设这四个数依次为a3d，ad，ad，a3d. 由题设知 a3dadada3d26， adad40， 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解得 a13 2 ，
15、d3 2， 或 a13 2 ， d3 2. 这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 综合运用题 已知数列an，满足a12，an1 2an an2， (1)数列 1 an 是否为等差数列？说明理由； (2)求an. 思路点拨 已知递推式 变形 化简 1 an1 1 an 1 2 判断 1 an 为等差数列 由等差数列 通项公式 求 1 an 求an 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 规范解答 (1)数列
16、1 an 是等差数列，理由如下： a12，an1 2an an2， 1 an1 an2 2an 1 2 1 an， 4分 1 an1 1 an 1 2， 6分 即 1 an 是首项为 1 a1 1 2，公差为d 1 2的等差数列. 8分 (2)由上述可知 1 an 1 a1(n1)d n 2，an 2 n. 12分 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)判断一个数列是等差数列的基本方法是紧 扣定义：an1and(d为常数)，也可以用an1ananan 1(n2)进行判断本题属于“生成数列问题”，关键是利用整 体代换的
17、思想方法 (2)若要判断一个数列不是等差数列，只需举出一个反例即 可 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有 10级，已知各级的宽度成等差数列，试计算中间各级的宽度 解析： 用an表示题中的等差数列由已知条件得a1 33，a12110，n12.设公差为d，则a12a1(121)d， 即1103311d，解得d7. 因此，a233740，a3332747，a1133 107103. 中间各级的宽度分别为40 cm,47 cm,54 cm，61 cm，68 cm，7
18、5 cm，82 cm,89 cm,96 cm,103 cm. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 已知两个等差数列an和bn，且an为2,5,8，bn 为1,5,9，它们的项数均为40项，则它们有多少个彼此具有 相同数值的项？ 【错解】 由已知两等差数列的前三项，容易求得它们的 通项公式分别为： an3n1，bn4n3(1n40，且nN*)， 令anbn，得3n14n3，即n2. 所以两数列只有1个数值相同的项，即第2项 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评
19、知能提升 【错因】 本题所说的是数值相同的项，但它们的项数并 不一定相同，也就是说，只看这个数在两个数列中有没有出现 过，而并不是这两个数列的第几项 【正解】 由已知两等差数列的前3项，容易求得它们的 通项公式分别为： an3n1，bm4m3(m，nN*，且1n40， 1m40) 令anbm，得3n14m3， 即n4m2 3 22m1 3 ， 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 令2m13t， (2m1)N*且为奇数， tN*且为奇数，m3t1 2 ，n2t. 又1n40,1m40， 13t1 2 40， 12t40， 1 3t 79 3 ， 1 2t20， 故1 2t20，又tN *且为奇数 数列共有10个数值相同的项 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 点击进入点击进入WORD链接链接 高效测评 知能提升 谢谢观看！谢谢观看！
