1、数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 知识整合提升 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 1深化对正、余弦定理的理解 正弦定理与余弦定理是三角形边角关系的重要定理，要理 解两个定理及其变形 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 (1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦 的比相等，即：在ABC中， a sin
2、A b sin B c sin C. 正弦定理有以下三种变形形式： a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C； sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R； 其中R是ABC外接圆的半径 abcsin Asin Bsin C. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 (2)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的 平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即： a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b2 2abcos C. 余弦定理的推论：cos A b2c2a2
3、2bc ，cos B a2c2b2 2ac ，cos Ca 2b2c2 2ab . 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 2剖析斜三角形的类型与解法 正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个 元素(三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形 的元素)，如果其中三个元素是已知的(至少要有一个元素是 边)，那么这个三角形一定可解关于斜三角形的解法，根据 已知条件及适用的定理，可以归纳为以下四种类型(设三角形 为ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c)： 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合
4、提升 热点考点例析 章末质量评估 基本类型 一般解法 (1)已知两角 及其中一角 的对边，如 A，B，a 由ABC180 ，求出C； 根据正弦定理，得 a sin A b sin B及 a sin A c sin C，求b，c. 如果已知的是两角和它们的夹边，如A，B，c，先求第 三个角C，然后按来求解，求解中尽可能应用已知元 素，以减小误差 (2)已知两边 和它们的夹 角，如a， b，C 根据余弦定理c2a2b22abcos C，求出边c； 根据cos Ab 2c2a2 2bc ，求出A； 根据B180 (AC)，求出B. 求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使 计算简便，应用正弦
5、定理求角时，为了避开讨论(因为正 弦函数在区间(0，)上是不单调的)，应先求较小边所对 的角，它必是锐角 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 基本类型 一般解法 (3)已知 三边 可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小 两边所对的角，再由ABC180 ，求出第三个 角； 由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求 出第二个角，但仍然是先求较小边所对的角 (4)已知两 边及其中 一边所对 的角，如 a，b，A 根据正弦定理，经讨论求B； 求出B后，由ABC180 ，求C； 再根据正弦定理 a sin A c sin C，求出边
6、c. 也可以根据余弦定理，列出以边c为元的一元二次方 程c2(2bcos A)c(b2a2)0，根据一元二次方程 的解法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求 出其他元素 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 3.解读判断三角形形状的两种方法 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考， 此类题目一般采用以下两种方法求解： (1)利用正弦定理化边为角，通过三角运算判断三角形的形 状； (2)利用余弦定理化角为边，通过代数运算判断三角形的形 状 注意：根据余弦定理判断三角形形状时，当a2b2a2，c2a2b2中有一个关系式成 立
7、时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 4细解正、余弦定理解实际应用题的步骤 实际应用题的本质就是解三角形，无论是什么类型的题 目，都要先画出三角形的模型，再通过正弦定理或余弦定理进 行求解解三角形应用题的一般步骤是： (1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理 清量与量之间的关系； (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模 型； (3)选择正弦定理或余弦定理求解； (4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中单位、 近似计算要求 数数 学学 必修必修5 第一章第一章
8、 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 5常用三角形面积公式总结 (1)SABC 1 2a ha 1 2b hb 1 2c hc(ha，hb，hc分别为a，b，c边 上的高)； (2)SABC1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B； (3)SABC ppapbpc p1 2abc . 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 热点考点例析 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 【点拨】 一般来说，利用正弦定理或余弦定理来判断三 角形
9、的形状的问题，按所用知识分类有利用正弦定理、利用余 弦定理、同时利用正弦定理和余弦定理三种；按解题方法分类 有通过边来判断与通过角来判断两种 利用正、余弦定理判断三角形的形状 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 在ABC中，若B60，2bac，试判断 ABC的形状 思维点击 结合正弦定理将边角关系转化为角的关系或 结合余弦定理将边角关系转化为边的关系加以判断 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 规范解答 方法一：由正弦定理，得2sin Bsin Asin C， B60 ，
10、AC120 . 2sin 60 sin(120 C)sin C. 展开，整理得 3 2 sin C1 2cos C1. sin(C30 )1，C30 90 . C60 ，故A60 . ABC为正三角形 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 方法二：由余弦定理，得b2a2c22accos B， B60 ，bac 2 . ac 2 2a2c22accos 60 ， 整理得(ac)20. ac，从而abc. ABC为正三角形 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 1在ABC中，a，
11、b，c分别为内角A，B，C的对边，且 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 解析： (1)由已知，根据正弦定理得 2a2(2bc)b(2cb)c， 即a2b2c2bc. 由余弦定理得a2b2c22bccos A， 故cos A1 2，A120 . 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 (2)由(1)得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin
12、C. 又sin Bsin C1，得sin Bsin C1 2. 因为0 B90 ，0 C90 ，故BC. 所以ABC是等腰的钝角三角形 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 【点拨】 正弦定理、余弦定理是平面几何中的重要定 理，应用极为广泛，它将三角形的边和角有机地联系了起 来正弦定理、余弦定理不但为求与三角形有关的量，如面 积、内切圆半径、外接圆半径等提供了理论基础，而且是判断 三角形的形状、证明三角形中有关等式的重要依据 正、余弦定理的综合应用 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章
13、末质量评估 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知cos A2cos C cos B 2ca b . (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B1 4，ABC的周长为5，求b的长 思维点击 (1)利用正弦定理将边化为角，然后进行三角 恒等变换求解 (2)利用余弦定理将角化为边，利用方程组求解 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 规范解答 (1)由正弦定理，可设 a sin A b sin B c sin C k， 则2ca b 2ksin Cksin A ksin B 2sin Csin A sin
14、B ， 所以cos A2cos C cos B 2sin Csin A sin B . 即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B， 化简可得sin(AB)2sin(BC) 又ABC，所以sin C2sin A， 因此sin C sin A2. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 (2)由sin C sin A2，得c2a. 由余弦定理及cos B1 4得b 2a2c22accos B a24a24a21 44a 2， b2a. 又abc5， 所以a1，b2. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解
15、三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 2如图，A，B，C，D 都在同一个与 水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两 座灯塔的塔顶， 测量船于水面 A 处测得 B， D 两点的仰角分别为 75 ，30 ，于水面 C 处测得 B，D 两点的仰角分别为 60 ，60 ， AC0.1 km，试探究图中哪两点间距离与 BD 相等，并求 BD.(计算结果精确到 0.01 km， 21.414， 6 2.449) 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 解析： 在ACD中，DAC30 ， ADC60 DAC30 ， CDAC，
16、又BCD180 60 60 60 ACB， ACBDCB， ABDB. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 在ABC中，ABC75 ACB15 . 由正弦定理得AB AC sin 15 sin 60 3 2 6 20 (km) BD3 2 6 20 0.33(km) 即A，B两点距离与BD相等，BD约为0.33 km. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 一、选择题 1ABC 的三内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c， 若 SABCb 2c2a2 4 ，则角 A
17、 的大小为( ) A 6 B 4 C3 4 D5 6 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 解析： SABC1 2bcsin A 1 4(b 2c2a2)， sin Ab 2c2a2 2bc cos A， A 4. 答案： B 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 2在ABC中，若tan A tan B a2 b2，则ABC的形状是( ) A直角三角形 B等腰或直角三角形 C不能确定 D等腰三角形 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点
18、例析 章末质量评估 解析： 由正弦定理，得a 2 b2 sin2A sin2B， 由tan A tan B a2 b2得 sin A cos A cos B sin B sin 2A sin2B， 整理得sin Bcos Bsin Acos A， 即sin 2Bsin 2A， 又A，B(0，)， 2B2A. 即AB. 答案： D 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 3在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是 ( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三
19、角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 解析： 由正弦定理知 a sin A b sin B c sin C2R， sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R. sin2Asin2Bsin2C， a2 4R2 b2 4R2 c2 4R2， a2b2c2， cos Ca 2b2c2 2ab 0， C为钝角，ABC为钝角三角形 答案： C 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 4我舰在敌岛A处南偏西50 的B处，且A，B距离为12海 里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10 的方向以每小时10海里的 速度航行
20、，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( ) A28海里/时 B14海里/时 C14 2海里/时 D20海里/时 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 解析： 如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v， 在ABC中，AC10220(海里)， AB12海里，BAC120， BC2AB2AC22ABACcos 120 784， BC28海里， v14海里/时 故选B. 答案： B 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 二、填空题 5在ABC中，若b2，B30，C135，则a _.
21、解析： A180 (30 135 )15 ， 由正弦定理得， a sin A b sin B， absin A sin B 2sin 15 sin 30 6 2. 答案： 6 2 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 6若ABC的面积为3 ，BC2，C60 ，则边AB的长 度等于_ 解析： 因为ABC的面积为 3， 所以1 2BCACsin C 3， 即AC 3 sin 60 2.又BC2，C60 ， 所以ABC是正三角形，所以ABBCAC2. 答案： 2 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点
22、例析 章末质量评估 三、解答题 7在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已 知 cos A2 3，sin B 5cos C， (1)求 tan C 的值； (2)若 a 2，求ABC 的面积 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 解析： (1)因为0A，cos A2 3， 所以sin A 1cos2A 5 3 ， 又 5cos Csin Bsin(AC) sin Acos Ccos Asin C 5 3 cos C2 3sin C， 所以2 5 3 cos C2 3sin C，tan C 5. 数数 学学 必修必修
23、5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 (2)由tan C 5得sin C 5 6，cos C 1 6， 于是sin B 5cos C 5 6. 由a 2及正弦定理 a sin A c sin C得c 3， 所以ABC的面积SABC1 2acsin B 1 2 2 3 5 6 5 2 . 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 8在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并 且a2b(bc) (1)求证：A2B； (2)若a 3b，判断ABC的形状 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三
24、角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 解析： (1)因为a2b(bc)， 即a2b2bc， 所以在ABC中，由余弦定理可得， cos Ba 2c2b2 2ac c 2bc 2ac bc 2a a2 2ab a 2b sin A 2sin B， 所以sin Asin 2B，故A2B. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 (2)因为a 3b，所以a b 3， 由a2b(bc)可得c2b， cos Ba 2c2b2 2ac 3b 24b2b2 4 3b2 3 2 ， 所以B30 ，A2B60 ，C90 . 所以ABC为直角三角形 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 知识整合提升 热点考点例析 章末质量评估 章末质量评估 点击进入点击进入WORD链接链接 谢谢观看！谢谢观看！
