1、2.10 有限闭区间上连续函数的性质200911241一、一致连续性定理一、一致连续性定理 （康托定理）（康托定理）定理：定理：.,上上一一致致连连续续在在则则bafbaCf 证明证明：上上不不一一致致连连续续，在在假假设设If.)()(0 nntfsf使得：使得：ntstsnnnn1,nknsbas必必有有收收敛敛子子列列由由于于 利用列紧性证明利用列紧性证明,0*0Nn .,limbassnkn 2.01 sskssststnnnnnknkkkk.limstnkn 连连续续：由由f但但由由题题设设：,0)()(sfsf)()(limnnnkktfsf ,)()(0 nnkktfsf.矛盾矛
2、盾3例例1.1.,)()(,存存在在和和且且 bfafbaCf证明：证明：.)(,)(limlimBxfAxfbxax 令令)(xfA,ax )(xf),(bax B.bx .),()(,)(内也一致连续内也一致连续在在内一致连续，从而内一致连续，从而在在baxfbaxf.),(内一致连续内一致连续在在即即baf.),(一致连续一致连续在在求证：求证：baf4例例2 2.)()(),(存存在在，内内一一致致连连续续，则则在在 bfafbaf证明证明：时时，且且当当|),(,0,02121xxbaxx),(,21 aaxx.|)()(|,0,02121 xfxfaxax有有;)(lim存存在在根
3、根据据柯柯西西收收敛敛准准则则，xfax aa（）1x2x.|)()(|21 xfxf有有.)(:lim存存在在同同理理xfbx 5二、有界性定理二、有界性定理证明：证明：.,)(上无上界上无上界在在若不然，设若不然，设baxf,)(,*nxfbaxNnnn 使使.,lim,baxxbaxnnknkn 有收敛子列有收敛子列.)()(lim,存在存在连续连续由由 fxffnkn .,)(lim,)(矛盾矛盾有有但由但由 nnknnkxfnkxf定理：定理：.,上上有有界界在在bafbaCf 6例例3.3.)(lim,存在存在，且，且设设xfaCfx.),)(有界有界在在求证：求证：axf证明：证
4、明：,)(limAxfx 设设.1|)(|,AxfNxaN时时使使.1|)(|)(|)(|AAAxfAAxfxf .,连续，必有界连续，必有界上上在在fNa.|)(|,MxfNax ),|1 axMAL，则对一切，则对一切令令.|)(|Lxf 总有总有7三、最值定理三、最值定理.,值值必必能能取取到到最最大大值值和和最最小小则则设设fbaCf ).(inf),(sup,xfmxfMbaxbax 记记.)(,)(,*mxfMxfbaxx 使使则必则必根据上确界定义：根据上确界定义：为有限数为有限数故故有界有界由于由于,Mmf使使,*baxNnn ,)(1MxfnMn 定理：定理：证明证明：8 有
5、有子子列列收收敛敛，,baxn.)(1MxfkMnkn 同同理理可可证证：.,lim*baxxnkn 设设.)(*Mxfn 可可知知令令.)(,*mxfbax 使使9四、零点定理四、零点定理 .0)(),(,0)()(,fbabfafbaCf使使，则则且且内内至至少少有有一一个个实实根根）在在（即即方方程程),(0)(baxf.0)(,0)()(bfaf不妨设不妨设用区间套用区间套二等分二等分,ba,20,)2(babaf ,2,0)2(11baababaf .,2,0)2(11bbababaf 定理：定理：证明证明：10n 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重损害的，全身性疾病
6、，而且不少患者同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如下：n 1、早期皮肌炎患者，还往往伴有全身不适症状，如-全身肌肉酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉两腿费力；举手梳理头发时，举高手臂很吃力；抬头转头缓慢而费力。皮肌炎图片皮肌炎的症状表现重复上述步骤，得闭区间套：重复上述步骤，得闭区间套：,2211 nnbabababa满足：满足：0)(,0)(nnbfaf由闭区间套定理：由闭区间套定理：.,limlim1nnnnnnnbaba ，使得，使得从而：从而：，且且，令，令由由0)(0)()(0)(ffnbfafnn.02)(limlim nnnnnabab.0)(f12例例4.4.)21,0(042内内至至
7、少少有有一一个个根根在在证证明明方方程程 xx证明：证明：,42)(xxfx 令令.022)21(,01)0(ff.,0)(),21,0(000是是方方程程的的根根使使xxfx .21,0)(Cxf 13例例5.5.)2,3(01423 在在证证明明方方程程xxx证明证明：,14)(23 xxxxf令令,05)3(f.内内恰恰有有三三个个根根.05)2(f.2,3)(Cxf则则,01)0(f,01)1(f.而而方方程程至至多多有有三三个个根根.恰有三个实根恰有三个实根.)2,1(),1,0(),0,3(内内至至少少各各有有一一个个实实根根在在 14例例6.6.实实根根证证明明任任意意奇奇次次方
8、方程程必必有有证明：证明：,)(2121212012nnnnnaxaxaxaxxp 设设)1()(12221221012 nnnnnxaxaxaxaxxp.)(,)(limlim xpxpxx.0)(,0)(,bpapba故故存存在在).,()(Cxp可可见见.0)(),(pba使使15例例7.7.,1,0,1,01,0:Cff,)()(xxfxF 令令1.0,0)1(0(0)*或或或或若若 xFF),1,0(,0)1(,0)0(*xFF若若证明：证明：.)(,1,0*xxfx 使使求求证证：.01)1()1(fF.*)(,0)(xxfxF 即即使使,0)0()0(,1,0)(fFCxF易易见
9、见16（介值定理）（介值定理）,)()(,之之间间的的任任意意实实数数与与是是介介于于，设设bfafbaCf 定理：定理：.)(),(fba使使求证求证),()(bfaf 不妨设不妨设,)()(xfxg令令.)(,0)(),(fgba即即使使证明证明：,0)()(afag,0)()(bfbg17推论推论1 1.,之之间间的的任任何何值值和和能能取取到到则则mMfbaCf 推论推论2.2.,的的值值域域构构成成区区间间则则fbaCf )(M,)(ffm ,)(MmIf 18例例8.8.),(21bxxxabaCfn .)(1)(),(1 nkkxfnfba 求求证证：,1nxxCf 易见易见Mxfnmnkk 1)(1.)(1)(),(11 nkknxfnfxx 使使证明证明：).(max),(min,11xfMxfmnnxxxxxx 令令19例例9 9：设函数在闭区间：设函数在闭区间a,ba,b上连续上连续 121212,.,0,0,.1nnnx xxa b 0 0，1122,nna bff xf xf x 广义介值定理广义介值定理20作业 (数学分析习题集)习题习题2.9 2.9 有限闭区间上连续函数的性质有限闭区间上连续函数的性质A 1A 1；2 2；4 4；5 5；6 6；7 7；9 9；1010;11;11.21
