1、2023-8-131第一章 行列式2023-8-1321 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1.1.二阶行列式二阶行列式二元线性方程组二元线性方程组 )2()1(22221211212111bxaxabxaxa2023-8-133211222112112112211222112122211,aaaaabbaxaaaabaabx当当021122211aaaa时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解用消元法用消元法得得2222121212221121122211)(bxaxabaabxaaaa1222)2()1(aa2023-8-134记记2112221122211211aaaaaaaa则有则有2211
2、11222212111,1babaDxababDx22211211aaaaD 其中其中.,221111211211222121212221babaabbaababbaab于是于是2023-8-135为为称称21122211aaaa二阶行列式二阶行列式，记作，记作也称为方程组的系数行列式。也称为方程组的系数行列式。22211211aaaa行标列标(1,2)元素2023-8-136对角线法则对角线法则:22211211aaaa主对角线主对角线副对角线副对角线2112aa2211aa2023-8-137例例.解方程组解方程组 1212232121xxxx解：解：07)4(31223D14112121
3、D21121232D,271411DDx372122DDx2023-8-1382.三阶行列式三阶行列式类似地，讨论三元线性方程组类似地，讨论三元线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa2023-8-139333231232221131211aaaaaaaaa322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa为为三阶行列式三阶行列式,记作记作称称2023-8-1310对角线法则：对角线法则：333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa312
4、312aaa322113aaa312213aaa332112aaa322311aaa2023-8-1311例：例：38114110241648248)1(2310)1()4(1811)1()1(03)4(22023-8-13122 全排列与逆序数排列与逆序数定义定义1：把：把 n 个不同的元素排成的一列个不同的元素排成的一列,称为这称为这 n 个元素的个元素的一个全排列一个全排列,简称排列。简称排列。例如：例如：1,2,3 的全排列的全排列123，231，312，132，213，3212023-8-1313共有共有321=6种，即种，即 Pn=n(n-1)321=n!P3=321=6一般地，把
5、一般地，把 n 个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列,共有共有 Pn个排列。个排列。2023-8-1314标准次序：标准次序：标号由小到大的排列。标号由小到大的排列。定义定义2：在在n个个 元素的一个排列中，若某两个元素元素的一个排列中，若某两个元素排列的次序与标准次序不同，就称这两个排列的次序与标准次序不同，就称这两个数构成一个数构成一个逆序逆序，一个排列中所有逆序的，一个排列中所有逆序的总和称为这个总和称为这个排列的逆序数排列的逆序数。2023-8-1315一个排列的逆序数的计算方法：一个排列的逆序数的计算方法：设设 p1 p2 pn 是是 1，2，n 的一个排列，的一个排列，用用 t
6、i 表示元素表示元素 pi 的逆序数，即排在的逆序数，即排在 pi 前面并比前面并比 t=t1+t2+tn pi 大的大的元素有元素有 ti 个，则个，则排列的逆序数为排列的逆序数为2023-8-1316例例4：求排列：求排列 32514 的逆序数。的逆序数。解：解：51301054321tttttt排列的逆序数排列的逆序数,2023-8-1317逆序数为逆序数为奇数奇数的排列称为的排列称为奇排列奇排列。逆序数为逆序数为偶数偶数的排列的排列称为称为偶排列偶排列。例如：例如：123 t=0 为偶排列，为偶排列，312 t=2 为偶排列。为偶排列。321 t=3 为奇排列，为奇排列，2023-8-
7、13183 n 阶行列式的定义阶行列式的定义观察二、三阶行列式，得出下面结论：观察二、三阶行列式，得出下面结论：每项都是处于不同行不同列的每项都是处于不同行不同列的n n个元素的乘积。个元素的乘积。2.n n 阶行列式是阶行列式是 n n！项的代数和。！项的代数和。3.每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性 所确定。所确定。2023-8-1319定义定义1：n!项项nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnppptaaa2121)1(的和的和nnppptaaa2121)1(称为称为 n 阶行列式阶行列式(n1)，记作，记作2023-8-
8、1320例例1：写出四阶行列式中含有因子：写出四阶行列式中含有因子2311aa的项。的项。42342311aaaa44322311aaaa 2023-8-1321例例2：计算四阶行列式计算四阶行列式hgfedcbaD00000000 D=acfh+bdeg adeh bcfg2023-8-1322重要结论：重要结论：(1)上三角形行列式上三角形行列式nnnnaaaaaaD00022211211 nnaaa2211 2023-8-1323(2)下三角形行列式下三角形行列式nnaaa2211 nnnnaaaaaaD21222111000 2023-8-1324(3)对角行列式对角行列式nnaaaD
9、2211 nnaaa2211 2023-8-1325(4)副对角行列式副对角行列式11,21nnnaaaD 11,212)1()1(nnnnnaaa 2023-8-1326行列式的等价定义行列式的等价定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnjjjtaaa21211)(niiitnaaa21211)(2023-8-13275 行列式的性质行列式的性质nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD212221212111T称称 DT 为为 D 的转置行列式。的转置行列式。设设则则D 经过经过“行列互换行列互换”变为变为 DT 2023
10、-8-1328性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。：行列式与它的转置行列式相等。1131020111101013212023-8-1329证明：设证明：设nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnbbbbbbbbbD212222111211T则则jiijab ),2,1,(nji 由行列式定义由行列式定义nnjjjtbbbD2121T1)(Daaanjjjtn2121)1(2023-8-1330性质性质2：互换行列式的两行：互换行列式的两行(列列)，行列式变号。，行列式变号。32110111011010132131rr互换互换 s、t 两行：两行：tsrr 互换互
11、换 s、t 两列：两列：tscc“运算性质运算性质”2023-8-1331推论：若行列式有两行（列）相同，推论：若行列式有两行（列）相同，则行列式为则行列式为 0。032110132132110132131rr2023-8-1332性质性质3：用非零数：用非零数 k 乘行列式的某一行（列）中乘行列式的某一行（列）中 所有元素，等于用数所有元素，等于用数 k 乘此行列式。乘此行列式。1101016422121101013211r“运算性质运算性质”用用 k 乘第乘第 i 行：行：用用 k 乘第乘第 i 列：列：krikci2023-8-1333推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到推论：行列
12、式中某一行（列）的公因子可以提到 行列式符号外面。行列式符号外面。11010132121101016422023-8-1334性质性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比：若行列式有两行（列）的对应元素成比 例，则行列式等于例，则行列式等于0。0321101321)2()(321101642211r2023-8-1335性质性质5：若某一行是两组数的和，则此行列式就等：若某一行是两组数的和，则此行列式就等 于如下两个行列式的和。于如下两个行列式的和。nnnininnnnininnnnininiinaaccaaaabbaaaacbcbaa1111111111111111110101210110
13、1011111101012111012023-8-1336性质性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同 一数一数 k 后再加到另一行（列）对应的元素后再加到另一行（列）对应的元素 上去，行列式的值不变。上去，行列式的值不变。用数用数 k 乘第乘第 t 行加到第行加到第 s 行上：行上：用数用数 k 乘第乘第 t 列加到第列加到第 s 列上：列上：tskrr tskcc 11042032111010132112rr“运算性质运算性质”2023-8-1337利用行列式性质计算：利用行列式性质计算：（化为三角形行列式）（化为三角形行列式）例例1：计算：计算2
14、2211642141121111)(33511102431521132)(2023-8-13382221164214112111D03103420350021112141312rrrrrr350034200310211142 rr35003100005102111223 rr2023-8-13394590003500051021112310003500051021113443rrrr2023-8-13401353210153143112335111024315211341ccD1 10 00 00 02 25 510105 55 51818242419193 31010161611113 35
15、 53 34 41 14 42 24 43 3 c cc cc cc cc cc c10002500518121310412023-8-13414010002500518103101810002500518112310142023-8-1342例例2：计算：计算3111131111311113D“行等和行等和”行列式行列式2023-8-13433111131111311111631161316113611163111131111311113各列加到第一列各列加到第一列4820000200002011116各行减去第一行各行减去第一行2023-8-1344例例10：设：设kkkkkkkkbbbb
16、DaaaaD1111211111证明：证明：21DDD nnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaD11111111111102023-8-1345证明：利用行的运算性质证明：利用行的运算性质 r 把把1D化成下三角形，化成下三角形，kkkkkppppprD111111再利用列的运算性质再利用列的运算性质 c c 把把2D化成下三角形，化成下三角形，nnnnnqqqqqcD1111122023-8-1346对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 r，后，后 n 列作运算列作运算 c,则有则有nnnnknkkkkqqccqccpppcrD1111111111211111DDqqppnnk
17、k2023-8-13474374121511003010002100111D例例301021111 43212 2023-8-13486 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开333231232221131211aaaaaaaaa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 问题：一个问题：一个 n 阶行列式是否可以转化为若干个阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式来计算？阶行列式来计算？对于三阶行列式，容易验证：对于三阶行列式，容易验证：2023-8-1349定义定义1：在：在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素ija所在的第所在的
18、第 i 行行和第和第 j 列划去后，余下的列划去后，余下的 n1 阶行列式叫阶行列式叫ija的余子式的余子式,记为记为ijM ijjiijMA 1称为称为(i,j)元素元素的代数余子式。的代数余子式。做做(i,j)元素元素ija,同时同时2023-8-1350例如：例如：44424134323114121123aaaaaaaaaM 232332231MMA44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 考虑考虑(2,3)元素元素(2,3)元素元素的余子式的余子式(2,3)元素的元素的代数余子式代数余子式2023-8-1351定理定理3：行列式
19、等于它的任一行（列）的各元素与行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即其对应的代数余子式乘积之和，即),(niAaAaAaDniniiiii212211 ),(njAaAaAaDnjnjjjjj212211 2023-8-135221021)1()1(1132)1(1)1(0121101013213212232221AAAD行展开行展开按第按第2023-8-1353证明：分三种情况讨论，只对行来证明此定理。证明：分三种情况讨论，只对行来证明此定理。(1)nnnnnaaaaaaaD21222211100利用上一节例利用上一节例10的结论有的结论有11111111111
20、1111AaMaMaD)(2023-8-1354(2)设设 D 的第的第 i 行除了行除了ijannnjnijnjaaaaaaaD1111100 把把 D 转化为转化为(1)的情形的情形外都是外都是 0 0。2023-8-1355先把先把 D 的第的第 i 行依次与第行依次与第 i 1行行,第第 i 2行行,第第 1 行交换行交换,经过经过 i 1次行交换后得次行交换后得nnnjninijiinijiinjijiaaaaaaaaaaaaaD,)(11111111111110012023-8-1356再把再把 第第 j 列依次与第列依次与第 j1列列,第第 j2列列,第第 1 列列交换交换,经过
21、经过 j1次列交换后得次列交换后得nnjnjnnjnnijijiijinijijiijinjjjjijiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD11111111111111111111111111111000011,)()(jijijijijiAaMa)(12023-8-1357(3)一般情形一般情形,考虑第考虑第 i 行行nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110000002023-8-1358nnnninaaaaaaa2111121100nnnninaaaaaaa2121121100nnnninnaaaaaaa211121100niAaAaAaininiiii,2122
22、112023-8-1359例例2322211012110101321AAA)(行展开行展开按第按第或者或者110101321101232221AAA)(那么那么?233222211AbAbAb110321321bbb2023-8-1360推论：行列式任一行推论：行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即即jiAaAaAanjnijiji ,02211jiAaAaAajninjiji ,022112023-8-1361综上，得公式综上，得公式 jijiDAaAaAanjnijiji，02211 ,jij
23、iDAaAaAajninjiji，02211 ,jinkkjkiDAa 1或或jinkjkikDAa 1或或2023-8-1362例例12:12:证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式1112112222121111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)()1(2023-8-1363证明：证明：用数学归纳法用数学归纳法1221211xxxxD,)(12 jijixx(1)当当 n=2 时时,2023-8-1364(2)设设 n1 阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立,则则112112222121111 nnnnnnnxxxxxxxxxD1nnnrxr21
24、nnnrxr12rxrn0001111121222121112211121)()()()()()(nnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2023-8-1365)(njxxjn列的公因子列的公因子列展开，再提出第列展开，再提出第按第按第21222112112111111nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx)()()(=)()()(jjininnnnxxxxxxxx11121)(jjinixx 12023-8-13661jinjinxxD)()()(1221nnnnnnxxxxxxxx)()(212111nnnnxxxxxx)()(122313x
25、xxxxx有有21)(nn个因子个因子!2023-8-1367例：例：27881944132211111D4 1 5(1)(4)3 2402023-8-1368例：例：27881944132211111D设设求求14131211AAAA2023-8-1369解解:2788194413221111114131211AAAA4 1 5(1)(4)3 2402023-8-13707 克拉默法则克拉默法则克拉默法则：克拉默法则：如果线性方程组如果线性方程组)(1122112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，的系数行列式不等
26、于零，2023-8-1371nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 即即.,DDxDDxDDxnn2211则线性方程组则线性方程组(1(11)1)有唯一解，有唯一解，2023-8-1372其中其中nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD11111111111 ,),(njAbAbAbDjnnjjj2122112023-8-1373证明：证明：njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa)()()(221122222221211111212111得得个方程个方程的的依次乘方程组依次乘方程组列元素的代数余子式列元素的代数余子
27、式的第的第用用,)(,nAAAjDjnjj11212023-8-1374再把再把 n 个方程依次相加，得个方程依次相加，得nkjkknnkjknkjnkjkjknkjkkAbxAaxAaxAa1111112023-8-1375DDxDDxDDxnn,2211当当 D0 时时,方程组方程组(1)1)也即也即(11)11)有唯一的解有唯一的解于是于是)(,121njDDxjj2023-8-1376例例1：用克拉默法则解线性方程组。用克拉默法则解线性方程组。067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx2023-8-1377解：解：6741212060311512
28、D212rr 24rr 12770212060311357012772121357 212cc 232cc 277010353 2733 27 2023-8-137867402125603915181 D81 67012150609115822 D108 60412520693118123 D27 07415120903185124 D27,32781 11DDx所以所以,42 x,13 x.14 x2023-8-1379定理定理4：定理定理4：克拉默法则也可以叙述为克拉默法则也可以叙述为定理定理 4 的逆否命题是的逆否命题是2023-8-1380mm22m11m222221211121211
29、1bxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnn线性方程组线性方程组非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念:不全为零，则称此方程不全为零，则称此方程若常数项若常数项mbbb,21组为非齐次线性方程组；若组为非齐次线性方程组；若mbbb,21全为零，全为零，则称此方程组为齐次线性方程组。则称此方程组为齐次线性方程组。2023-8-1381 13000m22m11m22221211212111nnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa齐次线性方程组齐次线性方程组易知，易知，021nxxx是是(13)的解，称为零解。的解，称为零解。若有一组不全为零的数是若有一组不全为
30、零的数是(13)的解，称为非零解。的解，称为非零解。2023-8-1382定理定理5：定理定理5：如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式 D0则齐次线性方程组没有非零解。则齐次线性方程组没有非零解。对未知元个数与方程个数相同的齐次线性方程组有对未知元个数与方程个数相同的齐次线性方程组有如果齐次线性方程组有非零解，如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为则它的系数行列式必为0。2023-8-1383例：问例：问 l l 取何值时，齐次线性方程组取何值时，齐次线性方程组010320421321321321xxxxxxxxxl ll ll l有非零解？有非零解？2023-8-1384解：解：l ll ll l111132421D001211223312l ll ll ll ll ll l)()()(322311233l ll ll ll ll ll ll ll l因齐次方程组有非零解，则因齐次方程组有非零解，则 D=0故故 l l=0,2,3 时齐次方程组可能有非零解。时齐次方程组可能有非零解。
