1、 - 1 - 黔东南州 2017-2018 学年高三第一次联考 数学（文科） 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】因为 ，故选 C. 2. 若 （为虚数单位），则复数 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由 可得 ： ，故选 B. 3. 如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前 3个小组的频率之比为1： 2： 3，则第三小组的频率为（ ） A. 0.125 B. 0.25 C. 0.375 D. 0.5 【答案】 C 【解析】试题分析：由直方图知前三组的频率之和为 ，所以第三小组的频率为 ，故选 C 考点：频率分布直方
2、图 4. 若向量 ，则 （ ） A. -36 B. 36 C. 12 D. -12 【答案】 D 【解析】根据数量积定义知： ，故选 D. - 2 - 5. 已知等差数列的前 3项依次为 ，前 项和为 ，且 ，则 的值为（ ） A. 9 B. 11 C. 10 D. 12 【答案】 C 【解析】由 成等差数列得： ，解得 ， 所以 ，所以 ，解得 ，故选 C. 6. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位： ），且该三棱锥的外接球的表面积为 ，则该三棱锥的体积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 30 【答案】 B 【解析】由三视图可知，该三棱锥的底面三角形两直角边长分
3、别为 3， 5，设该三棱锥的高为H，将该三棱锥补成长方体可知，该三棱锥的外接球的直径为，该三棱锥的外接球的表面积为 ，解得，所以该三棱锥的体积为 ，故选 B. 7. 已知直线 将圆 所分成 的两段圆弧的长度之比为 1： 2，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题意，劣弧所对的圆心角为 120 ，半径为 2，圆心为 ，所以圆心到直线的距离为 1，所以圆心到直线的距离 ，所以 ，故选 C. 8. 执行如图所示的程序框图，输出 的值为（ ） - 3 - A. 2 B. -1 C. 1 D. 0 【答案】 C 【解析】执行程序，当 ， ， ， ，按照此规律，当 执行完后， 不
4、满足条件，跳出循环，所以输出 ，故选 C. 9. 已知等比 数列 的前 项和为 ，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】因为 ，又 ，解得 ，故选 C. 10. 在 中， （如下图），若将 绕直线 旋转一周，则形成的旋转体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以 ,所以旋转体的体积： . - 4 - 故选： D 11. 函数 的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由 ， 所以函数 是奇函数，所以函数 的图象关于原点对称，故排除 ； 当 时， ，排除 B，故选 A.
5、12. 已知函数 ，若函数 在 上的最小值为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由题意， ，若 ，则 ，函数单调递增，所以 ，矛盾；若 ，函数在 上递减，在 上递增，所以 ，解得 ；若 ，函数是递增函数，所以 ，矛盾；若 ，函数单调递减，所以 ，解得 ，矛盾 .综上 ，故选 A. - 5 - 13. 已知函数 ，则 _ 【答案】 4 【解析】由题意 ， 故填 . 14. 已知实数 满足 ，则 的最小值是 _ 【答案】 0 【解析】作出可行域如图阴影部分， 由 得 ，平移直线 ，由平移可知当直线 ，当直线和 OA重合时，直线 的截距最大，此时 z取得最小值为 0，
6、即 的最小值是 0 15. 定长为 4的线段 两端点在抛物线 上移动，设点 为线段 的中点，则点 到 轴距离的最小值为 _ 【答案】 【解析】设 ，抛物线 的交点为 F，抛物线的准线 ，所求的距离 ，（两边之和大于第三边且 M,N,F三点共线时取等号），所以 . 答案为： . 16. 若函数 在 上存在单调递增区间，则实数 的取值范围为 _ 【答案】 【解析】由题意， 有解，即 有解，令 ，- 6 - ，当 时 ，当 时 ，所以，故只需 . 17. 在 中，角 的对边分别为 ，且 （ 1）求 的值； （ 2）若 的周长为 5，求 的面积 【答案】（ 1）故 ；（ 2） 【解析】试题分析：（ 1
7、）由已知及正余弦定理可求 ， 又 0 A ，则可求 的值 （ 2）由周长求边长 c,根据面积公式计算可得 . 试题解析： 1）由 及正弦定理， 得 ， 又由余弦定理，得 ， 故 （ 2）若 的周长为 5，又 ，所以 故 的面积为 18. 经研究，城市公交车的数量太多容易造成资源浪费，太少又难以满足乘客需求 .为此，某市公交公司从某站占的 40名候车乘客中随机抽取 15 人，将他们的候车时间（单位： ）作为样本分成 5组如下表： 组别 侯车时间 人数 一 2 二 6 三 2 四 2 五 3 （ 1）估计这 40名乘客中侯车时间不少于 20分钟的人数； - 7 - （ 2）若从上表侯车时间不少于
8、10 分钟的 7人中 选 2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人侯车时间都不少于 20 分钟的概率 【答案】（ 1） ；（ 2） 【解析】试题分析：（ 1）根据 15 名乘客中候车时间少于 20 分钟频数和为 5，可估计这 40 名乘客中候车时间少于 20分钟的人数；（ 2）将两组乘客编号，进而列举出所有基本事件和抽到的两人恰好来自不同组的基本事件个数，代入古典概型概率公式可得答案 试题解析：（ 1）侯车时间不少于 20分钟的概率为 ，所以估计侯车时间不少于 20分钟的人数为 （ 2）将侯车时间在范围 的 4名乘客编号为 ；侯车时间在范围 的3 名乘车编号为 从 7人中任选两人包含以下 21个基
9、本事件：， ，其中抽到的两人侯车时间都不少于 20分钟包含以下 3个基本事件： ， 故所求概率为 19. 如图，四棱锥 中，底面 是直角梯形， ，是正三角形， 是 的中点 （ 1）求证： ； （ 2）判定 是否平行于平面 ，请说明理由 【答案】（ 1）证明见解析；（ 2）证明见解析 . 【解析】试题分析：（ 1）取 AD中点 M,连接 CM、 PM,推导出 ，从而平面 ，由此能证明 - 8 - （ 2）取 PA的中点 F，连接 BF、 FE，推导出四边形 BCEF为平行四边形，从而 CEBF ，由此 能证明 CE 平面 PAB 试题解析：（ 1） 取 的中点为 ，连接 ， 由于 是正三角形，所
10、以 ， 又易知四边形 是平行四边形， 所以 ，所以 ， 平面 平面 ， 又 ，故 平面 ， 又 平面 ，故 . （ 2） 平行于平面 ， 理由如下：取 的中点为 ，连接 可知 ， 又 ， 所以四边形 为平行四边形，故 . 又 平面 平面 ， 所以 平面 . 20. 已知椭圆 过点 ，椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，点是椭圆 上位于 轴上方的动点，且 ，直线 与直线 分别交于两点 （ 1）求椭圆 的方程及线段 的长度的最小值； （ 2） 是椭圆 上一点，当线段 的长度取得最小值时，求 的面积的最大值 【答案】（ 1） ；（ 2） . 【解析】试题分析：（ I）由椭圆和抛物线 y2 4x有共同的焦
11、点，求出抛物线的焦点坐标，根- 9 - 据 a2=b2+c2，即可求得椭圆 C的方程； （ ）根据（ I）写出点 A， B，设点 P和直线 AP， BP 的方程，并且与直线 y=3 分联立，求出G， H两点，根据两点间的距离公式，根据求函数的最值方法可求 , 当平行于 的直线与椭圆下方相切时， 的面积取最大值 ,求此时三角形面积即可 . 试题解析： （ 1）由 ，得 ，所以 ， 又椭圆过点 ， 所以 ，解得 ， 故椭圆 的方程为 ， 设点 ，则由 ，得 ， 即 ，则 ， 由 ，得 ， 所以线段 的长度取得最小值 . （ 2）由（ 1）可知，当 的长度取得最小值时， ， 将点 代入 ，得 ，故此
12、时点 ， 则直线 的方程为 ，此时 ， 当平行于 的直线与椭圆下方相切时， 的面积取最大值， 设直线 ，则由 ，得 ， 则 ，所以 ，或 （舍去） 由平行线间的距离公式，得此时点 到直线 的距离 . 故 ， 即 的面积的最大值为 . 21. 设函数 （ 1）讨论函数 的单调性； （ 2）若 ，求函数 的最值 - 10 - 【答案】（ 1）详见解析；（ 2）详见解析 . 【解析】试题分析：（ 1）先求导，分类讨论即可求出函数的单调区间；（ 2）求导，根据导数和函数的最值得关系即可求出，注意分类讨论 试题解析：（ 1） ，令 ，得 ， 若 ，则 恒成立，所以函数 在 上单调递增； 若 ，则由 ，得
13、 ；由 ，得 ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减； 若 ，则由 ，得 ；由 ，得 ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减； 若 ，则 恒成立，所以函数 在 上单调递减 . （ 2）若 ， 当 时， ，由 （ 1）得，函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 时，函数 有最大值 ，无最小值； 当 时， ，由（ 1）得，函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 时，函数 有最小值 ，无最大值 . 22. 以平面直角坐标系 的原点为极点， 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系已知点 的参数方程为 （ 为参数），点 在曲线 上 （ 1）求在平面直角坐标系 中点 的轨迹方程和曲线 的普通方程； （ 2）求 的最大值 【答案】（ 1） ，曲线 的普通方程为 ；（ 2）. 【解析】试题分析： （ 1） 消参的普通方程， 利用转化公式极坐标化普通方程；（ 2） 数形结合，转化为线段上一点与圆上一点距离的最大值，注意利用垂线段最短及点与圆上点距离最大值的求法 . 试题解析：（ 1）由 消去参数，得 ，
