1、 1 湖南省长沙市 2018届高三数学上学期 7月摸底考试试题 文（含解析） 本试卷分第 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )两部分 ， 共 8 页。时量 120 分钟。满分 150分。 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的 (1)设全集 U 1， 2， 3， 4， 5 ， M 2， 3， 4 ， N 4， 5 ， 则 ( )?UM N (D) A. 1 B. 1， 5 C. 4， 5 D. 1， 4， 5 (2)复数 z 与复数 i(2 i)互为共轭复数 (其中 i 为虚数单位 )， 则 z (
2、A) A 1 2i B 1 2i C 1 2i D 1 2i (3)齐王与田忌赛马 ， 田忌的上等马优于齐王的中等马 ， 劣于齐王的上等马 ， 田忌的中等马优于齐王的下等马 ， 劣于齐王的中等马 ， 田忌的下等马劣于齐王的下等马 ， 现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛 ， 则田 忌马获胜的概率为 (A) A.13 B.14 C.15 D.16 (4)在 ABC 中 ， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， 已知 a 3， b 6， A 3 ， 则角 B 等于 (A) A. 4 B. 34 C. 4 或 34 D. 以上都不对 (5)为得到函数 y sin 2x 的图象 ，
3、只需将函数 y sin? ?2x 4 的图象 (D) A 向右平移 4 个单位 B向左平移 4 个 单位 C 向右平移 8 个单位 D向左平移 8 个单位 (6)设 a 7 12， b ? ?17 13， c log712， 则下列关系中正确的是 (B) A c7 12 a0， 所以 c0， 所以函数单调递增 ， 故选 D. (8)运行下图所示的程序框图 ， 若输出结果为 137 ， 则判断框中应该填的条件是 (B) 2 A k5 B k6 C k7 D k8 【解析】第一次执行完循环体得到： S 1 12 32， k 2；第二次执行完循环体得到： S 32 123 53， k 3；第三次执行
4、完循环体得到 ： S 53 134 74， k 4；第四次执 行完循环体得到： S 74 145 95， k 5；第五次执行完循环体得到： S 95 156 116 ， k 6；第六次执行完循环体得到： S 116 167 137 ， k 7；输出结果为 137 ， 因此判断框中应该填 的条件是k6. (9)如图 ， 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的各条棱长都相等 ， 则异面直线 AB1和 A1C 所成的角的余弦值大小为 (A) A.14 B 14 C.12 D 12 【解析】延长 BA 到 D， 使得 AD AC， 则 ADA1B1为平行四边形 ， AB1 A1D， DA1C 就是异面直
5、线 AB1和 A1C 所成的角 ， 又 ABC 为等边三角形 ， 设 AB AA1 1， CAD 120 ， 则 CD AC2 AD2 2ACAD cos CAD 1 1 211 ? ? 12 3， A1C A1D 2， 在 A 1CD 中 ， cos DA1C 22 22 322 2 2 14.故选 A.(其它的平移方法均可 ) (10)如图所 示 ， 网格纸上每个小格都是边长为 1 的正方形 ， 粗线画出的是一个几何体的三视图 ， 则该几何体的表面积为 (A) 3 A 2 2 3 6 B 4 2 3 6 C 4 4 3 6 D 2 3 6 【解析】由三视图可知 ， 该几何体是三棱锥 P A
6、BC， 其中侧面 PAB 底面 ABC， 在平面PAB 内 ， 过点 P 作 PD AB， 垂足为 D， 连接 CD， CD AD， 该几何体的表面积是 S 12122 34 (2 2)2 122 2 3 2 2 3 6. (11)已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)与抛物线 y2 2px(p0)有相同的焦点 F， 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点 M( 3， t)， |MF| 1532 ， 则双曲线的离心率为 (C) A. 22 B. 33 C. 52 D. 5 【解析】依题意有 p2 3， p 6， 又 |MF| 1532 ， ? ?15322 t2 62， t 32，
7、 ba( 3) 32， ba 12， 且 a2 b2 c2， e 52 .故选 C. (12)设 D 是函数 y f(x)定义域内的一个子区间 ， 若存在 x0 D， 使 f(x0) x0， 则称x0是 f(x)的一个 “ 次不动点 ” ， 也称 f(x)在区间 D 上存在次不动点 ， 若函数 f(x) ax2 2x 2a 32在区间 ? ? 3， 32 上存在次不动点 ， 则实数 a 的取值范围是 (B) A ( ， 0) B.? ? 14， 0 C.? ? 314， 0 D.? ? 314， 14 【解析】由题意 ， 存 在 x ? ? 3， 32 ， 使 g(x) f(x) x ax2
8、x 2a 32 0， 解得 ax 32x2 2， 设 h(x)x 32x2 2， 则由 h(x) x2 3x 2（ x2 2） 2 0， 得 x 1(舍去 )或 x 2， 且h(x)在 ( 3， 2)上递减 ， 在 ? ? 2， 32 上递增 ， 又 h( 3) 314， h( 2) 14， h? ? 32 0， 所以 h(x)在 x ? ? 3， 32 的值域为 ? ? 14， 0 ， 即 a 的取值范围是 ? ? 14， 0 .第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分第 (13) (21)题为必考题 ， 每个试题考生都必须作答第 (22) (23)题为选考题 ， 考生根据要求作答 二、填空题：
9、本大题共 4 小题 ， 每小题 5 分 (13)已知 向量 a ( 1， 1)， 向量 b (3， t)， 若 b( a b)， 则 t _ 3_ (14)若 sin? ? 6 13， 则 cos? ?23 2 _ 79_ 【解析】 sin? ? 6 13， cos? ?23 2 cos? ? 3 2 ? ?1 2sin2? ? 6 79. (15)点 P(a， 3)到直线 4x 3y 1 0 的距离等于 4， 且在 2x y 3b0)的离心率为63 ， 以原点 O 为圆心 ， 椭圆 C 的长半轴为半径的圆与直线 2x 2y 6 0 相切 () 求椭圆 C 标准方程； () 已知点 A， B
10、为动直线 y k(x 2)(k0) 与椭圆 C 的两个交点 ， 问：在 x 轴上是否存在点 E， 使 EA 2 EA AB 为定值？若存在 ， 试求出点 E 的坐标和定值 ， 若不存在 ， 说明理由 【解析】 () 由 e 63 ， 得 ca 63 ， 即 c 63 a， 6 又以原点 O 为圆心 ， 椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为 x2 y2 a2， 且与直线 2x 2y 6 0 相切 ， 所以 a 622（ 2） 2 6， 代入 得 c 2， 所以 b2 a2 c2 2.所以椭圆的方程为 x26y22 1.4 分 () 由?x26y22 1y k（ x 2）得 (1 3k2)x2 12k
11、2x 12k2 6 0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 所以 x1 x2 12k21 3k2， x1 x212k2 61 3k2 ， 8 分 根据题意 ， 假设 x 轴上存在定点 E(m， 0)， 使得 EA 2 EA AB EA ( EA AB ) EA EB 为定值 ， 则有 EA EB (x1 m， y1)( x2 m， y2) (x1 m)( x2 m) y1y2 (x1 m)(x2 m) k2(x1 2)(x2 2) (k2 1)x1x2 (2k2 m)(x1 x2) (4k2 m2) (k2 1) 12k2 61 3k2 (2k2 m) 12k21 3k2 (4k
12、2 m2) （ 3m2 12m 10） k2（ m2 6）3k2 1 10 分 要使上式为定值 ， 即与 k 无关 ， 则应 3m2 12m 10 3(m2 6)， 即 m 73， 此时 EA EB m2 6 59为定值 ， 定点为 ? ?73， 0 .12 分 (21)(本小题满分 12 分 ) 已知函数 f(x) 12ax2 (a2 b)x aln x(a， b R) () 当 b 1 时 ， 求函数 f(x)的单调区间； ( )当 a 1， b 0 时 ， 证明： f(x) ex 12x2 x 1(其中 e 为自然对数的底数 ) 【解析】 () 当 b 1 时 ， f(x) 12ax2
13、(1 a2)x aln x f (x) ax (1 a2) ax （ ax 1）（ x a）x 1 分 当 a0 时 ， x a0， 1x0， ax 10 时 ， 令 f( x) 0 x 1a或 a 当 1a a(a0)， 即 a 1 时 ， 此时 f( x) （ x 1）2x 0(x0) 此时函数 f(x)单调递增区间为 (0， ) ， 无单调递减区间 3 分 当 01 时 ， 此时在 ? ?0， 1a 和 (a， ) 上函数 f( x)0， 在 ? ?1a， a 上函数 f( x) 12x2 x 1， 只需证明： ex ln x 10， (法一 )设 g(x) ex ln x 1(x0)，
14、 问题转化为证明 x0， g(x)0， 由 g( x) ex 1x， g (x) ex 1x20， g (x) ex 1x为 (0， ) 上的增函数 ， 且 g ? ?12 e 20.8 分 存在唯一的 x0 ? ?12， 1 ， 使得 g( x0) 0， ex0 1x0， g(x)在 (0， x0)上递减 ， 在 (x0， ) 上递增 .10 分 g(x)min g(x0) ex0 ln x0 1 1x0 x0 12 1 1， g(x)min0， 不等式得证 .12 分 (法二 )先证： x 1 ln x(x0)， 令 h(x) x 1 ln x(x0)， h (x) 1 1x x 1x 0
15、 x 1， h(x)在 (0， 1)上单调递减 ， 在 (1， ) 上单调递增 h(x)min h(1) 0， h(x) h(1) x 1 ln x 8 分 1 ln x 1 x 1 x ln(1 x) x， eln(1 x) ex， 10 分 ex x 1x1 ln x， ex1 ln x， 故 ex ln x 10.12 分 8 请考生在 (22)、 (23)两题中任选一题 作答 ， 如果 多做 ， 则按所做的第一题记分 (22)(本小题满分 10 分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 ， 曲线 C1的参数方程为?x 2cos2y sin 2 ( 是参数 )， 以原点 O 为极点 ，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ， 曲线 C2的极坐标方程为 1sin cos . () 求曲线 C1的普通方 程和曲线 C2的直角坐标方程； () 求曲线 C1上的任意一点 P 到曲线 C2的最小距离 ， 并求出此时点 P 的坐标 . 【解析】 () 由题意知 ， C1的普通方程为 (x 1)2 y2 1， 1 分 C2的直角坐标方程为 y x
