1、 - 1 - 定远育才学校 2018-2019 学年第一学期入学考试 高三实验班（理科）数学 （满分 150 分，考试用时 120 分钟） 一、选择题 （本题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。） 1. 已知命题 :2px? 是 2log 5x? 的必要不充分条件；命题 :q 若 3sin 3x? ，则2cos2 sinxx? ，则下列命题为真命题的上（ ） A. pq? B. ? ?pq? C. ? ?pq? D. ? ? ? ?pq? ? ? 2.已知 a ， b 均为正实数，则 “ 3log 0ab? ” 是 “ 1b a? ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分
2、条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.曲线 ? ?y f x? 在点 ? ?00,xy 处切线为 21yx?，则 ? ? ? ?0002limxf x f x xx? ? ? 等于 ( ) A. B. C. 4 D. 2 4.已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.若 集合 | 1 4M x x? ? ? ， 2 | 7 0N x x? ，则 MN? 等于（ ） A. | 1 7xx? B. | 1 7xx? C. | 0 4xx? D. | 0 4xx? 6.已知函数 ? ? 2 xf x x a? ? ?（ 0a? ）的最小值为 2，则
3、实数 a? （ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7.函数 f（ x）是周期为 的偶函数，且当 时， ，则 的值是（ ） A. 4 B. 2 C.0 D.2 8.设函数 ? ? 1, 0 2 , 0xxxfx x? ?，则满足 ? ? 1 12f x f x? ? ?的 x 的取值范围是 - 2 - A. 1,2? ?B. ? ?,0? C. 1,4? ?D. 1,4?9.如 图，点 O 为坐标原点，点 ? ?1,1A ，若函数 xya? （ 0a? ，且 1a? ）及 log byx? （ 0b? ，且 1b? ）的图象与线段 OA 分别交于点 M ， N ，且 M ， N 恰好
4、是线段 OA 的两个三等分点，则 a ， b 满足（ ） A. 1ab? B. 1ba? C. 1ba? D. 1ab? 10.定义在 R 上的函数 ?fx满足 ? ? ? ? ? ? ? ?,4f x f x f x f x x? ? ? ? ? ?， 且 当 ? ?1,0? 时， ? ? 12 5xfx?， 则 ? ?2log 20f ? ( ) A. 1 B. 45 C. 1? D. 45? 11.函数 siny x x? 在 ? ?,? 的图像大致为（ ） A. B. C. D. - 3 - 12.若 ? ? ? ?21 ln 22f x x a x? ? ? ?在 ? ?1,? ?
5、上是减函数， 则 a 的取值范围是 ( ) A. ? ?1,? ? B. ? ?1,? ? C. ? ?,1? D. ? ?1,1? 第 II 卷（非选择题 90 分 ） 二、填空题 （本题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。） 13.已知直线 2 2 0xy? ? ? 与曲线 lny x a?相切，则实数 a 的值为 _ 14已知命题 p： ? x R，使得 x2+（ a-1） x+1 0，则命题 p 的否定是 _ 15.若函数 ? ? 222 2 , 0 ,0x x xfx xx? ? ? ?, ? ? ? 2f f a ? ，则 a? _. 16.已知函数 ? ? ? ?2 ,
6、0 2 1, ( 0 )xexfxax x? ?（ a 是常数且 0a? ），对于下列命题： 函数 ?fx的最小值是 1? ； 函数 ?fx在 R 上是单调函数； 若 ? ? 0fx? 在 1,2?上恒成立，则 a 的取值范围是 1a? ； 对任意的 120, 0xx?且 12xx? ，恒有 ? ? ? ?121222f x f xxxff ? ?其中正确命题 的序号是 _ 三、解答题 （本题有 6 小题，共 70 分。） 17. （ 12 分） 已知集合 ? ?|1 3A x x? ? ?，集合 ? ?| 2 1B x m x m? ? ? ? （ 1）当 1m? 时，求 AB； （ 2）若
7、 AB? ，求实数 m 的取值范围； （ 3）若 AB? ，求实数 m 的取值范围 18. （ 12 分） 函数 ? ? 2 af x x x?的定义域为 ? ?0,1 （ aR? ） . - 4 - （ 1）当 1a? 时，求函数 ? ?y f x? 的值域； （ 2）若函数 ? ?y f x? 在定义域上是减函数，求 a 的取值范围； （ 3）求函数 ? ?y f x? 在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时 x 的值 . 19. （ 12 分） 已知函数 ?fx的定义域为 R ，值域为 ? ?0,? ，且对任意 ,mn R? ，都有? ? ? ? ? ?f m n f m f n
8、? ， ? ? ? ? ? 11fxx fx? ? ?. （ 1）求 ?0f 的值，并证明 ?x? 为奇函数； （ 2）若 0x? 时， ? ? 1fx? ，且 ? ?34f ? ，判断 ?fx的单调性（不要求证明），并利用判断结果解不等式 ? ? 1517x? ? . 20. （ 12 分） 已知函数 ? ? xf x e? （ ）过原点作曲线 ? ?y f x? 的切线，求切线方程； （ ）当 0x? 时，讨论曲线 ? ?y f x? 与曲线 2 ( 0)y mx m?公共点的个数 21. （ 12 分） 若函数 ?fx满足 ? ?2 1lo g 1a af x xax? ?（其中 0a?
9、 且 1a? ） . （ 1）求函数 ?fx的解 析式，并判断其奇偶性和单调性； （ 2）解关于 x 的不等式 ? ? ? ?2 6 5 0f x f x? ? ?. 22. （ 10 分） 已知命题 :p 函数 ? ?1 xya? 在 R 上单调递增；命题 :q 不等式 31x x a? ? ? 的解集为 R ，若 pq? 为真， pq? 为假，求实数 a 的取值范围 .:_ - 5 - 定远育才学校 2018-2019 学年第一学期入学考试 高三实验班（理科）数学 参 考 答案 1.A 2.C 3.C 4.C 5.A 6.B 7.D 8.C 9.A 10.C 11.C 12.C 13.2
10、ln2? 14. ? x R，使得 x2+（ a-1） x+1 0 15. 2 16. 17.解：（ 1）当 1m? 时， ? ?22B x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 3 2 2 2 3A B x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2） AB? 则 212113mmmm?得13122mmm? ? ?所以 2m? （ 3）因为 AB? 当 B? 时 21mm? ，即 13m? 当 B? 时，则 21mm? 即在 13m? 时 23m? 或 11m?， 所以 32m? 或 0 m? 所以 10 3m? 综上所述 m 的范围是 0 m? 18.解
11、 ： （ 1）函数 ? ? 1= 2 2 2y f x x x? ? ?， 所以函数 ? ?y f x? 的值域为 ?2 2,? ? （ 2）若函数 ? ?y f x? 在定义域上是减函数，则任取 12,xx? ? ?0.1 且 12xx? 都有- 6 - ? ? ? ?12f x f x? 成立，即 ? ? 121212+2 0a x xxx xx?， 只要 122a xx? 即可，由 12,xx? ? ?0.1 ，故 ? ?122 2,0xx? ? ? ， 所以 2a? ，故 a 的取值范围是 ? ?,2? ； （ 3）当 0a? 时，函数 ? ?y f x? 在 ? ?0.1 上单调增，
12、无最小值， 当 1x? 时取得最大值 2a? ；由（ 2）得当 2a? 时， ? ?y f x? 在 ? ?0.1 上单调减，无最大值， 当 1x? 时取得最小值2a? ； 当 20a? ? ? 时，函数 ? ?y f x? 在 20. 2 a? ?上单调减，在 2 ,12a?上单调增，无最大值，当 22ax ? 时取得最小值 22a? . 19.解 ： （ 1）解：令 0mn? ，得 ? ? ? ? ? ?0 0 0f f f? ， ?fx值域为 ? ?0,? ， ? ?01f ? ， ?fx的定义域 为 R ， ?x? 的定义域为 R ， 又 ? ? ? ? ? ?0f f x f x?
13、， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1111 1f x f x f xxxf x f xfx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ?x? 为奇函数 . （ 2）判断： ?fx为 R 上的增函数， ? ? ? ? ? ? ?11 5 1 5 161 7 1 1 7fxx f xfx? ? ? ? ? ?， ? ?34f ? ， ? ? ? ? ? ?1 6 3 3 6f f f?， 又 ?fx为 R 上的 增函数， ? ? 16 6f x x? ? ?， 故 ? ? 1517x? ? 的解集为 ? ?6xx . 20. 解 ： （ ）由题意，设切点为 ? ?00,M x y
14、 ，由题意可得 ? ? 00 0 0 0yfx x ? ? ，即 00 0xx ee x? ，解得 0 1x? ，即切点 ? ?1,Me - 7 - 所以 010eke? ，所以切线方程为 y ex? （ ）当 0x? ， 0m? 时，曲线 ? ?y f x? 与曲线 2 ( 0)y mx m?的公共点个数 即方程 ? ? 2f x mx? 根的个数 由 ? ? 2f x mx? 得2xem x? 令 ? ?2xegxx? ，则 ? ? ? ?4 2xxe xgxx ? ，令 ? ?0gx? ，解得 2x? 随 x 变化时， ?gx， ?gx的变化情况如下表： x ? ?0,2 2 ? ?2,
15、? ?gx 0 + ?gx 极小值 ?2g 其中 ? ? 22 4eg ? 所以 ?2g 为 ? ?2xegxx? 在 ? ?0,? 的最小值 所以对曲线 ? ?y f x? 与曲线 2 ( 0)y mx m?公共点的个数，讨论如下： 当 20,4em ?时，有 0 个公共点；当 24em? 时，有 1 个公共点；当 2 ,4em ? ?时，有 2个公共点 21. 解 ： (1)令 logax t(t R)，则 x at， f(t) (at a t) f(x) (ax a x)(x R) f( x) (a x ax) (ax a x) f(x)， f(x)为奇函数 当 a 1 时， y a x
16、为增函数， y a x为增函数，且 0， f(x)为增函数 当 0 a 1时， y ax为减函数， y a x为减函数，且 0， - 8 - f(x)为增函数 f(x)在 R 上为增函数 (2) f(x)是 R 上的增函数且为 奇函数， 由 ? ? ? ?2 6 5 0f x f x? ? ?得 ? ? ? ? ? ?2 6 5 5f x f x f x? ? ? ? ? 2 6 5 1 6x x x x? ? ? ? ? ? ?或 不等式 ? ? ? ?2 6 5 0f x f x? ? ?的 解集为 ? ?| 1 6 x x x? ? ?或 . 22.解 ： 若 p 真，则 1 1 2aa? ? ? ?， q 真 31x x a? ? ? ?恒成立，设 ? ? 3h x x x a? ? ?，则 ? ?min 1hx ? ? ? 2 3 , 3 , 3x a x ahx a x a? ?，易知 ? ?m in 3 , 3 1h x a a? ? ?，即 13a ， pq? 为真， pq? 为假 ,pq? 一真一假， （ 1）若 p 真 q 假，则 2a? 且 13a? ，矛盾， （ 2）若 p 假 q 真，则 2a? 且 11 233aa? ? ? ?， 综上可知， a 的取值范围是 1,23? ?.
