1、 - 1 - 2017年秋季期高三开学基础知识竞赛 理科数学试题 第 I 卷 (选择题，共 60分） 一、 选择题（本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设i为虚数单位，则复数321ii?的虚部是（ ） A52i?B?C12i?D?2.关于复数iZ ? 1- 2的四个命题： 1p：2?z；2：i22?；3p：Z的共轭复数为i?1；4p：Z的虚部为 -1。其中的真命题个数为（ ）。 A、2、3B、1p、2C、2、4D、3、43、如图所示的程序框图，其功能是输入x的值，输出相应的y值。若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样
2、的 值有（ ）。 A、 2个 B、 3个 C、 4个 D、 5个 4.已知数列na为等差数列，满足3 2015OA a OB a OC?uur uur uuur，其中,ABC在一条直线上，O为直线 AB外 一点，记数列n的前 项和为S，则2017的值为（） A.20172B. 2017C. 2016 D. 201525.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度18( ) 7 2 1v t t t? ? ? ?(t的单位： s，v的单位： m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离 (单位： m)是（） A4 8ln2?B45 718ln42?C10 18ln6?D4 ln6
3、6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的 表 面积为 （） - 2 - 2 2 2 2 2 正视图 俯视图 侧视图 A24?B12C8D6?7.已知函数2 ln | |( ) ,xf x x x?则函数()y f x?的大致图象为 8.已知实数x，y满足不等式组21,0,1 0,xx y mxy? ? ? ? ? ?若目标函数2z x y? ?的最大值不超过 4，则实数m的取值范围是 A0, 3B ,0?C. ? ?3, 3?D , 9如图所示，正方体 ABCD ABCD 的棱长为 1， E， F分别是棱 AA ， CC 的中点，过直线 E， F的平面分别与棱 BB 、 DD 交于
4、M， N，设 BM=x， x0 ，1，给出以下四个命题： 平面 MENF 平面 BDDB ； 当且仅当 x= 时，四边形 MENF的面积最小； 四边形 MENF周长 L=f（ x）， x0 ， 1是单调函数； 四棱锥 C MENF的体积 V=h（ x）为常函数； 以上命题中假命题的序号为 A. B C D （ 10） 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ A）83（ B）4（ C）823（ D）42- 3 - （ 11） 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到 3次为止设学生一次发球成功的概率为( 0)pp?，发球次数为X，
5、若 的数学期望( ) 1.75EX?，则p的取值范围是 （ A）7(0, )12（ B）7( ,112（ C）1(0,2（ D）1(2（ 12） 已知函数? ? ? ? ? ?3 2 3 21 1 16 9 , 13 2 3af x x x x g x x x ax a? ? ? ? ? ? ? ?，若对任意的? ?1 0,4x?，总存在? ?2 0,4x ?，使得? ? ? ?12f x g x?，则实数a的取值范围为 （ A）91,4? ?（ B）? ?9,?（ C）? ?91, 9,4 ?（ D）? ?39, 9,24? ?二、填空题（本大题共 4小题 ,每小题 5分 ,共 20分） 1
6、3.若0 5 25n x dx?，则? ?21nx?的二项展开式中2x的系数为 . 14.已知双曲线22 1( 0 , 0)xy abab? ? ? ?的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，则双曲线的离心率为 _ 15. 已知锐角三角形ABC中，角,ABC所对的边分别为, , ,abc若2 cosc a a B?，则2sinsin( )ABA?的取值范围是 _ 16.已知函数1()fx x? ?，点O为坐标原点 , 点( , ( )( )nA n f n n ? N，向量(0,1)?i， n?是向量nOA与i的夹角，则使得3121 2 3c os c osc os c ossi si n
7、si n si n nn t? ? ? ? ? ? ? ?恒成立的实 数t的取值范围为 _. 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70分 .解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) （ 17）（本小题满分 12 分） 已知 ABC的内角 , ,C的对边分别为，b，若1?a，bcC 2cos2 ?. - 4 - （ ）求； （ ）若12b?, 求sinC. （ 18）（本小题满分 12 分） 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2,?,8，其中5X?为标准，3X?为标准 . 已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为6元 /件 ; 乙 厂执行标准生产该产品，产品的零售价为
8、元 /件，假定甲 , 乙两厂的产品都符合相 应的执行标准 . （ ）已知甲厂产品的等级系数1X的概率分布列如下所示： 且1X的数学期望1 6EX?, 求,ab的值 ; （ ）为分析乙厂产品的等级系数2X，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下 : 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X的数学期望； （ ）在（ ） ,（ ）的条件下，若以 “ 性价比 ” 为判断标准，则哪个工厂的产品更具可 购买性？说明理由 . 注 : 产品的 “ 性价比 ” ； “ 性价比 ” 大的产品更具可购买性 . (19) （本小题满分 12 分） 156780.
9、4b0.1- 5 - MDECBA如图 , ?EA平面ABC， ?DB平面ABC, 是等边三角形，2AC AE?, M是 AB的中点 . （ ）求证：EMCM?; （ ）若直线 DM与平面 所成角的正切值为， 求二面角B CD E?的余弦值 . (20) （本小题满分 12 分） 已知动圆与圆221 : ( 2) 49F x y? ? ?相切，且与圆1)2(: 222 ? yxF相内切，记圆心的轨迹为曲线 . （ ）求曲线C的方程； （ ）设Q为曲线 上的一个不在轴上的动点，O为坐标原点，过点2作OQ的平行 线交曲线 于,MN两个不同的点 , 求 QMN面积的最大值 (21) （ 本小题满分
10、12 分） 设函数( ) ( ) lnf x mx n x?. 若曲线()y f x?在点e, (e)Pf（处的切线方程为 2eyx?（为自然对数的底数） . （ ）求函数()fx的单调区间； （ ）若,Rab ?，试比较( ) ( )2f a f b?与2abf ?的大小，并予以证明 . - 6 - 请考生在第 22 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O为极点 ,轴的正半轴为极轴 ,且两个坐标 系取相等的长度单位 .已知直线 l 的参数方程为sin , (1 cosxt tyt? ? ?
11、为参数0 )?, 曲线C的极坐标方程为2cos 4 sin? ? ?. () 求直线 l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程 ; （ II）设直线 与曲线 C相交于,AB两点 , 当变化时 , 求AB的最小值 . (23)（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知? ? 1f x ax?，不等式? 3fx?的解集是? 21| ? xx. （ ）求的值； （ II）若? ? ? ? |3f x f x k? ?存在实数解，求实数k的取值范围 . 理科数学试题参考答案及评分标准 1 B 2.C3.A4.A5.C6D7.A .D9.C10.A11.C12.C - 7 - 13.180 14
12、.215.(221，) 16. ),43 ?三 、解答题 （ 17）解： （ ）因为1?a，bcC 2cos2 ?， 由余弦定理得2 2 21222bc cbb? ? ?,即221b c bc? ? ?. ?2 分 所以2 2 211c os 2 2 2b c bcA bc bc? ? ?. ?4 分 由于0 A ?, 所以3A ?. ?6 分 （ ）法 1: 由12b及1b c bc? ? ?, 得2 2111cc? ? ?, ?7 分 即24 2 3 0cc? ? ?, ?8 分 解得1 134c?或1 4c ?(舍去 ). ?9 分 由正弦定理得sin sincaCA?, ?10 分 得
13、1 13 3 39si n si n 6048C ? ? ?. ?12 分 法 2: 由12b?及正弦定理得sin sinbaBA?, ?7 分 得13si n si n 6024B ?. ?8 分 由于ba?, 则0 60BA? ? ?, 则2 13c os 1 si n 4? ? ?. ?9 分 由于180A B C ? ? ?, 则120CB?. ?10 分 所以? ?si n si n 120 ?si n 120 c os c os 120 si nBB?11 分 - 8 - 3 13 1 32 4 2 4? ? ? ?39 38?. ?12 分 (18) 解 : （ ）1 5 0.4
14、 6 7 8 0.1 6EX a b? ? ? ? ? ? ?, 即6 7 3.2ab?1 分 又由1X的概率分布列得0.4 0.1 1 , 0.5a b a b? ? ? ? ? ?, ?2 分 由 得0.3, 0.2.?4 分 （ ）由已知得，样本的频率分布表如下： ?5 分 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视 为概率，可得等级系数2X的概率分布列如下： ?6 分 所以2 3 0.3 4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 0.1 8 0.1 4.8EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ?7 分 即乙厂产品的等级系数的数学期望为4.8. ?8 分 （ ）乙厂的
15、产品更具可购买性，理由如下： 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6, 价格为 元 /件，所以其性价比为6 16?， ? ?9 分 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8, 价格为元 /件，所以其性价比为4.8 1.24 ?， ?10 分 据此，乙厂的产品更具可购买性 . ?12 分 2X35678f0.30.20.20.10.10.12X356780.30.20.20.10.10.1- 9 - zyxMDECBA(19) 解 : （ ） 因为 ABC是等边三角形， M是 AB的中点 , 所以C AB?. ?1 分 因为 EA?平面 , CM?平面ABC, 所以EA. ?2 分 因为AM EA
16、 A?, 所以?平面 EAM. ?3 分 因为 EM?平面 , 所以CM EM?. ?4 分 （ ）法 1: 以点 M为坐标原点，MC所在直线为轴， MB所在直线为轴，过 且与直线 BD平行的直线为轴， 建立空间直角坐标系xyz?. 因为 ?DB平面ABC, 所以 DMB?为直线 DM与平面 所成角 . ?5 分 由题意得ta n 2BDD M B MB? ? ?, 即 2BD MB?,?6 分 从而BD AC?. 不妨设2AC?, 又2AE?, 则3CM, 1AE.?7 分 故? ?0,1,0B,? ?3,0,0C, ? ?0 , ? ?0, 11E ?. ?8 分于是? ?3, 1, 0BC ?, ? ?,0,2,? ?3, 1,1CE ? ? ?,? ?1, 2CD ?
