1、 - 1 - 高三第一学期第 2 次考试数学试题 一、选择题 1 设函数 ? ? 3 xf x xe? ，若存在唯一的整数 0x ，使得 ? ?00f x kx k?，则 k 的取值范围是（ ） A. 23,0e? ?B. 30,2e?C. 236,ee?D. 223,2ee?2 如图是函数 ? ? ? ?sinf x A x? 0 , 0 ,2A ? ? ?图象的一部分，对不同? ?12,x x a b? ，若 ? ? ? ?12f x f x? ，有 ? ?12 3f x x?，则 ? 的值为（ ） A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 3 已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 1,
2、1xe?，总存在唯一的 ? ?1,1y? ，使得2ln 1 yx x a y e? ? ? ?成立，则实数 a 的取值范围是 A. 2,e?B. 21,eee?C. 1,ee?D. 2,ee? ?4 若 函 数 y=f(x)(x R) 满足 f(x+2)=f(x), 且 x (-1,1 时 f(x)=1-x2, 函数? ? ,0 1, 0lgx xgx x ? ?,则函数 ? ? ? ? ? ?h x f x g x?在区间 -5， 10内零点的个数为 A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 5 若函数 ? ? ? ? 1 4 2 1 1xaxfxa x x ? ? ? ?是 R上的增
3、函数，则实数 a的取值范围为 ( ) A. (1， ) B. (1,8) C. (4,8) D. 4,8) 6 设集合 ，集合 .若 中恰含有一个整数，则实数 的取值范围是 - 2 - A. B. C. D. 7 定义“函数 ? ?y f x? 是 D 上的 a 级类周期函数” 如下 : 函数 ? ?,Dy f x x?，对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数 T ，使得定义域 D 内的任意实数 x 都有 ? ? ? ?af x f x T?恒成立，此时 T 为 ?fx的周期 . 若 ? ?y f x? 是 ? ?1,? 上的 a 级类周期函数，且 1T? ，当? ?1,2x? 时， ? ?
4、 21f x x?,且 ? ?y f x? 是 ? ?1,? 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为（ ） A. 5,6?B. ? ?2,? C. 5,3?D. ? ?10,? 8 已知关于 x 的方程 12 axx ? 有三个不同的实数解，则实数 a 的取值范围是 （ ） A. ? ?,0? B. ? ?0,1 C. ? ?1,? D. ? ?0,? 9 已知实数 ? ? ? ?,0 ,0xexfxlg x x? ?若关于 x 的方程 ? ? ? ?2 0f x f x t? ? ?有三个不同的实根，则 t 的取值范围为（ ） A. ? ?,2? B. ? ?1,? C. ? ?2,1?
5、 D. ? ? ? ?, 2 1,? ? ? ? 10 已知方程 213ln 022x mx? ? ?有 4 个 不同的实数根，则实数 m 的取值范围是 ( ) A. 20,2e?B. 20,2e? ?C. ? 20,e? D. ? ?20,e 11 已知 ,xy满足221 1 0xyxyy? ?，则 z x y? 的取值范围是 （ ） A. - 2,1? B. ? ?-1,1 C. - 2, 2? D. -1, 2? 12 定义在 R 上的函数 ?fx满足 ? ? ? ?2f x f x? ，当 ? ?3,5x? 时， ? ? 24f x x? ? ?，则下列不等式一定成立的是（ ） A.
6、c o s s in66ff? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B. ? ? ? ?sin1 cos1ff? - 3 - C. 22c o s s in33ff? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D. ? ? ? ?sin 2 cos2ff? 二、填空题 13 已知点 P 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的对角线 N 上， AC ，则 DP 与 PC 所成角的大小为 _. 14 已知椭圆 1C ： 22112211 1( 0 )xy abab? ? ? ?，双曲线 2C ： 22222211 1 ( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?， 以1C 的短轴为正六边形
7、最长对角线，若正六边形与 x 轴正半轴交于点 M ， ? ?1,0Fc 为椭圆右焦点， A 为椭圆右顶点， B 为直线 211ax c? 与 x 轴的交点，且满足 OM 是 OA 与 OF 的等差数列，现将坐标平面沿 y 轴折起，当所成二面角为 60 时，点 ,AB在另一半平面内的射影恰为 2C 的左顶点与左焦点，则 2C 的离心率为 _ 15 已知椭圆 1C ： 22112211 1( 0 )xy abab? ? ? ?，双曲线 2C ： 22222211 1 ( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?，以1C 的短轴为一条最长对角线的正六边形与 x 轴正半轴交于点 M ， F 为椭圆右
8、焦点， A 为椭圆右顶点， B 为直线 211ax c? 与 x 轴的交点，且满足 OM 是 OA 与 OF 的等差中项，现将坐标平面沿 y 轴折起，当所成二面角为 60 时，点 ,AB在另一半平面内的射影恰为 2C 的左顶点与左焦点，则 2C 的离心率为 _ 16 设 130 , 0 , 3 5 ,1x y x y xy? ? ? ? ?则的最小值为 _ 三、解答题 17 已知 12,FF是椭圆 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的左、右焦点，点 ? ?1,Pe? 在椭圆上， e 为椭- 4 - 圆的离心率，且点 M 为椭圆短半轴的上顶点， 12MFF? 为等腰直角三角形 . （
9、 1）求椭圆的标准方程； （ 2）过点 2F 作不与坐标轴垂直的直线 l ，设 l 与圆 2 2 2 2x y a b? ? ? 相交于 ,AB两点，与椭圆相交于 ,CD两点，当 11FAFB ? 且 2,13? ?时，求 1FCD? 的面积 S 的取值范围 . 18 设 函数 ? ? 1xx e ax? ? ? ?， （ I）当 1a? 时，求函数 ?x? 的最小值； （）若函数 ?x? 在 ? ?0+?， 上有零点，求实数 a 的范围； （ III）证明不等式 ? ?311+ 6xe x x x R? ? ?. 19 设函数 ? ? ? ?232f x x a b x a b? ? ? ?
10、，函数 ? ? ? ? ?g x x a x b? ? ? ,ab R? （ 1）当 1b? 时，解关于 x 的不等式： ? ? ? ? ? ?23 3 4 2f x a x a x a? ? ? ? ? ?； （ 2）若 0ba?且 23ab? ，已知函数 有两个零点 s 和 t ，若点 ? ? ?,A s s g s? ， ? ? ?,B t t g t? ，其中 O 是坐标原点，证明： OA与 OB 不可能垂直。 20 设函数 ? ? ln mf x x x?， mR? . (1)当 me? (e 为自然对数的底数 )时，求曲线 ? ?y f x? 在点 ? ?1, 1f 处的切线方程；
11、 (2)讨论函数 ? ? ? ? 3xg x f x?的零点的个数； (3)若对任意 0ba?， ? ? ? ? 1f b f aba? ? 恒成立，求实数 m 的取值范围 . - 5 - 参考答案 DDDBD BCCAD 11 D 12 C 13 45 14 2 15 2 16 32 17 （ 1） 2 2 12x y?（ 2） 4 3 4 657?，（）由 12MFF 是等腰直角三 角形，得 222b c a b?， ， 从而得到 22e? ，故而椭圆经过 212?， 代入椭圆方程得2211122bb?，解得 2212ba?， ， 所求的椭圆方程为 2 2 12x y? （）由（）知 ?
12、? ? ?121 0 1 0FF? ， ， ，由题意， 设直线 l 的方程为 1x ty?， ? ? ? ?1 1 2 2A x y B x y， ， ， 由221 3x tyxy?， ，得 ? ?221 2 2 0t y ty? ? ? ?， 则1 2 1 22211ty y y ytt? ? ? ? ?， ，? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1? 1 1 1F A F B x y x y x x y y? ? ? ? ? ? ?， ， ? ? ? ? ? ? ? ? 2221 2 1 2 1 2 1 2 224 2 22 2 1 2 4 2 411ttt
13、 y t y y y t y y t y y tt ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 2 13F A F B ?， 222 2 2 131tt?，解得 2 1132t ?， - 6 - 由 221 12x tyx y?，消 x 得 ? ?222 2 1 0t y ty? ? ? ? 设 ? ? ? ?3 3 4 4C x y D x y， ， ， 34 2 2 2tyy t?， 34 2 1 2yy t? ?， 则 ? ?121 2 3 4 3 4 3 41 42F C DS F F y y y y y y? ? ? ? ? ? ? ?22222 2812422 2
14、tttt t? ? ? ? ? 设 2 1tm? ，则? ? 28811 2mS m m m? ?，其中 4332m ?， S 关于 m 在 4332?，上为减函数， 4 3 4 657S ?，即 1FCD 的面积的取值范围为 4 3 4 657?， 18 （ I） ? ?min 0x? ? ；（ II） ? ?1,? ；（ III）见解析 . （ I） ? ? ? ?1 , 1xxx e x x e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 . 0 0 ,x x x x x x? ? ? ?时 ， 递 减 ； 时 ， 递 增 ? ? ? ?m in 00x? （ II） ? ?
15、 xx e a? ? 若 ? ? ? ?0 , 0 ,xa x e a x R? ? ? ? 在上递增，且 ? ?00? ? ，所以 ?x? 在 ? ?0+?， 上没有零点 若 ? ? ? ?0 , 0 , l n , 0 , l na x x a x x a? ? ? ? ? ? ?, l n , l n , ,x a a? ? ? ? ?在 所以 ? ? ? ?m i n ln 1 lnx a a a a? ? ? ? 当 01a?时，极值点 0 ln 0xa?，又 ? ?00? ? ， ?x? 在 ? ?0+?， 无零点 - 7 - 当 1a? 时，极值点 ? ?0 l n 0 , 1
16、l nx a g a a a a? ? ? ? ?设 ? ? ln 0g a a? ? ?， ?ga在 ? ?1+?， 上递减， ? ? ? ? ? ?m in 10x g a g? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 22 1 2 2 2 4 2 2 0a a aa e a a e a e a? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?2a? 在 ? ?1,? 上递增 所以 ? ? ? ? 22 2 5 0ae? ? ? ?，所以 ?x? 在 ? ?0+?， 上有零点 所以， a 的取值范围是 ? ?1,? . （ III）证明：设函数 ? ? ? ? 2311 , 162xx x
17、f x e x x f x e? ? ? ? ? ? ? (1)当 ? ?0 0x f x?时 ， ， ?fx在 ? ?,0? 上递减 (2) 当 0x? 时，设 ? ? ? ? ? ?21 1 , 2xxg x f x e x g x e x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0xxh x e x h x e x? ? ? ? ? ?设 ， ? ? ? ? ? ? ? ?0 , 0 1 0xh x e x h x h? ? ? ? ? ? ? ?在 上 递 增 ? ? ? ? ? ? ? ?21 0 , 0 02x xg x e g x g? ? ? ? ? ? ? ?在
18、 上 递 增 即当 0x? 时， ? ? 21 1 02xf x e x? ? ? ?， ?fx在 ? ?0+?， 上递增， 由（ 1）（ 2）知， ? ? ? ? ? ?m i n 0 0 0f x f f x? ? ? ? 即 ? ?311+ 6xe x x x R? ? ?. 19 （ 1）见解析；（ 2）见解析 . （ 1）当 1b? 时，由 ? ? ? ? ? ?23 3 4 2f x a x a x a? ? ? ? ? ?有 ? ?2 2 2 0ax a x? ? ? ?，即? ? ?2 1 0ax x? ? ?，当 0a? 时，有 2 2 0x? ? ? ，解得： 1x? 当
19、0a? 时， 2 01a?，解得： 1x? 或 2x a? ，当 0a? 时， 221 aaa? ，所以 当 2a? 时， 2 1a? ，解得： 2 1xa?当 2a? 时， 2 1a? ，此时无解 当 02a?时， 2 1a? ，解得： 21 x a? ，综上： 当 2a? 时，原不等式的解集为： 2,1a?，当 2a? 时，原不等式的解集为： ? ，当 02a?- 8 - 时，原不等式的 解集为： 21,a?，当 0a? 时，原不等式的解集为： ? ?1,? ，当 0a? 时，原不等式的解集为： ? ?2, 1,a? ? ?. （ 2） 0ba?时， 由 ,st为 ? ? 0fx? 的两根可得 ， ? ?23s t a b? ? ? ， 03abst? 假设 OA
