1、 1 2017-2018 学年第一学期 2015级高三第二次月考 数学试题（理科） 时间 ;120分钟 满分： 150分 第 I卷（选择题） 一、选择题（每题 5分，共 60分） 1 设集合 ? ?1,0,1,2A? ， 2 | 2 3 0B x x x? ? ? ?，则 AB?（ ） A. ?1? B. ? ?1,0? C. ? ?1,0,1? D. ? ?2, 1,0? 2 已知 ,xy R? ， i 为虚数单位，若 ? ?1 2 3xi y i? ? ? ?，则 x yi?（ ） A. 2 B. 5 C. 3 D. 10 3 已知函数 ?fx是定义在 R 上的偶函数，且当 0x? 时，
2、? ? ? ?ln 1f x x?，则函数 ?fx的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4 若将函数 ? ? 1 cos22f x x? 的图像向左平移 6? 个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A. ,012?B. ,06?C. ,03?D. ,02?5 在区间? ?0,上随机地取 两个 数x、 y ,则事件 “sinyx?” 发生的概率为 （ ） （ A）1（ B）2（ C）1（ D）226 在一圆柱中挖去一圆锥所得的工艺部件的三视图如图所示，则工艺部件的表面积为（ ） 2 A. ? ?75? B. ? ?7 2 5 ? C. ? ?85? D. ? ?8 2 5 ?
3、 7 设点 ? ?,Pxy 在不等式组 02030xxyxy? ? ?表示的平面区域上，则 22 21z x y x? ? ? ?的最小值为（ ） A. 1 B. 55 C. 2 D. 255 8 若 ?x 表示不超过 x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 9 若3cos( )45? ?，则sin2?（ ） （ A）725（ B）725?（ C）15?（ D） 10 已知 是边长为 2的等边三角形， P为平面 ABC内一点，则 ()PCPA PB ? 的最小值是（ ） 3 A. B. 32? C. 43? D. 11 如图，过
4、抛物线 2 2 ( 0)y px p?的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 AB、 ，交其准线于点 C，若3BC BF? ，且 4AF? ，则 p 为 （ ） A. 43 B. 2 C. 83 D. 163 12 若存在两个正实数 ,xy，使得等式 ? ? ?3 2 4 ln ln 0x a y ex y x? ? ? ?成立，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取 值范围是 ( ) A. ? ?,0? B. 30,2e? ?C. 3 ,2e?D. ? ? 3, 0 ,2e? ? ? ?第 II卷（非选择题） 二、填空题（每题 5分，共 20分） 13 在 812x x?的展开式中， 2
5、x 项的系数为 _ 14 函数 ? ?y f x? 是 R上的偶函数，且在 ? ?,0? 上是增函数，若 ? ? ? ?2f a f? ，则实数 a 的取值范围是 _ 15 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?， ,AB是 C 的长轴的两个端点，点 M 是 C 上的一点，满足 3 0 , 4 5M A B M B A? ? ? ?，设椭圆 C 的离心率为 e ，则 2e? _. 16 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的 “ 三斜公式 ” ，设 ABC? 三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，面积为 S ，则 “ 三斜
6、求积 ” 公式为22 2 222142a c bS a c? ?.若 2sin 4sina C A? ， ? ?2 212a c b? ? ?，则用 “ 三斜求积 ” 公4 式求得 ABC? 的面积为 _ 三、解答题（共 70分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17 （ 12 分） 已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， * 3 1 0, 5 , 1 0 0n N a S? ? ? （ 1）求数列 ?na 的通项公式；（ 2）设 ? ?25n nb na? ?， 求数列 ?nb 的前 n 项和 nT 18 （ 12 分） 私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因
7、此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对 “ 车辆限行 ” 的 态度，随机抽查了 50人，将调查情况进行 整 理 后 制 成 下 表 ：（ ）完成被调查人员的频率分布直方图； （ ）若从年龄在 15， 25）， 25， 35）的被调查者中各随机选取 2人进行追踪调查，求恰有 2人不赞成的概率； （ ）在（ ）的条件下，再记选中的 4 人中不赞成 “ 车辆限行 ” 的人数为，求随机变量的分布列和数学期望 19 （ 12分）如图，边长为 3的正方形 ABCD 所在平面与等腰直角三角形 ABE
8、 所在平面互相垂直， AE AB? ，且 2EM MD? ， 3AB AN? . （ ）求证： /MN 平面 BEC ； （ ）求二面角 N ME C?的 余弦值 . 5 20 （ 12 分） 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的离心率为 32 ，短 轴长为 2 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）若圆 22:1O x y?的切线 l 与曲线 E 相交于 A 、 B 两点，线段 AB 的中点为 M ，求 OM 的最大值 21 （ 12 分） 已知函数 ( ) 2 lnpf x px xx? ? ?. （ 1）若 2p? ，求曲线 ()y f x? 在点 (1, (
9、1)f 处的切线； （ 2）若函数 ()fx在其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围； （ 3）设函数 2() egx x? ，若在 1,e 上至少存在一点 0x ，使得 00( ) ( )f x g x? 成立，求实数 p 的取值范围 . 请考生在 (22)、 (23)两个题中任选一题作答 .注意：只能做所选定的题目 .如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方 框涂黑 . 6 22 （本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 13 24xtyt? ?（ t 为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建
10、立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 co s4?. () 求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； () 设直线 l 与曲线 C 交于 ,AB两点，求 AB . 23 （本小题满分 10分）选修 4 5；不等式选讲 已知函数 ? ? 2 1 1f x x a x? ? ? ? （ ）当 1a? 时，解关于 x 的不等式 ? ? 4fx? ； （ ）若 ? ? 2f x x?的解集包含 1,22?，求实数 a 的取值范围 . 2015级高三上学期第一次月考数学试题（理科）参考答案 1-5 BDCAD 6-10 ADCBB 11 12 CD 11【解析】 设 ,AB在准线上的射
11、影分别为 , AB， 则由于 3BC BB? ，则直线 l 的斜率为 22 ， 4, 4AF AA? ? ?， 故 3 12AC AA?， 从而2 , 6 , 8 , 1 2B F C B C F C A? ? ? ?， 故 P CFAA CA? ， 即 83p? ， 故选 C. 12 【解析】 由 3x+a(2y?4ex)(lny?lnx)=0得 3x+2a(y?2ex)lnyx =0， 即 3 2 2 ln 0yyaexx? ? ?， 即设 yt x? ， 则 t0， 则条件等价为 3+2a(t?2e)lnt=0， 即 (t?2e)lnt=?32a 有解 ， 设 g(t)=(t?2e)ln
12、t， ? ? 2 ln 1 eg t t t? ? ?为增函数 ， ? ? 2 l n 1 1 1 2 0eg e e e? ? ? ? ? ? ?， 当 te时 ,g(t)0 ， 当 0te时 ,g(t)0 ， 即当 t=e时 ,函数 g(t)取得极小值为： g(e)=(e?2e)lne=?e， 即 g(t)?g(e)=?e， 若 ? ? 32 ln 2t e t a? ? ?有解，则 32 ea? ,即 32 ea? ， 则 a0或 32a e ， 实数 a 的取值范围是 ? ? 3, 0 ,2e? ? ? ?13 7? 14 ? ? ?, 2 2,? ? ? ? 15 31 3? 16
13、3 15【解析】 设 ? ?00,M x y , ? ?,0Aa? ? ?,0Ba ， 因为 3 0 , 4 5M A B M B A? ? ? ?， 所以可得 00 1,BMyk xa? ? ? 0033AM yk xa? ， 22001xyab? ， 三等式联立消去 00,xy 可得 2 222 331 , 1b eea ? ? ? ? ?故答案为 31 3? . 16【解析】 由正弦定理得，由 2sin 4sina C A? 得 4ac? ，则由 ? ?2 212a c b? ? ? 得2 2 2 4a c b? ? ? ，则 ? ?1 1 5 4 34ABCS ? ? ? ?. 17
14、解：（ 1）设等差数列 ?na 的公差为 d ，由题意知 1125 10 45 100ad? 解得 1 1, 2ad?.所以数列 ?na 的通项公式为 21nan? （ 2） ? ? ? ?2 1 1 1 12 1 5 2 2 2nb n n n n n n? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 4 3 5 1 1 2nT n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 112 2 1 2nn? ? ? ? ? ?3
15、 2 34 2 1 2nnn? ? 18解：（ ）各组的频率分别为 0.1,0.2,0.3， 0.2,0.1,0.1，所以图中各组的纵坐标分别 ,0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01 （ ）由表知，年龄在 内有 5 人，不赞成的有 1 人，年龄在 内有 10 人，不赞成的有 4人，恰有两人不赞成的概率为 （ ）由已知得，的所有取值为 0,1,2,3. 所以的分布列是： 所以的数学期望 19 解：（ ）过 M 作 /MF DC 交 CE 于 F ，连 接 ,.MFBF 因为 /MF DC ， 2EM MD? ，所以 2/ / .3MF DC 又 3AB AN? ，所以 2/
16、 / .3NB DC 故 /MF NB ， 所以四边形 NBFM 为平行四边形，故 /MN BF ， 而 BF? 平面 BEC ， MN? 平面 BEC ，所以 /MN 平面 BEC ； (4分 ) （ ）以 A 为坐标原点， ,.AE ABAD 所在方向为 ,xyz 轴正方向，建立平面 直角坐标系，则 ? ?3,0,0E ， ? ?0,1,0N ， ? ?1,0,2M ， ? ?0,3,3C 平面 MEC 的法向量为 ? ?1,0,1m? ，设平面 MNE 的法向量为 ? ?1 1 1,n x y z? ，则 0 0EN nEM n? ，即 111130 2 2 0xyxz? ? ? ? ?
17、 ，不妨设 1 1x? ，则 ? ?1,3,1n? 2 2 2c o s , 112 1 1mnmn mn? ? ? 所求二面角的 余弦值 为 2211 . 20 解 :（ I） 22b? ，所以 1b? ,又 22 32aba? ? ，解得 2a? 所以椭圆 C 的标准方程 2 2 14x y? （ II）设 ? ?11,Ax y ， ? ?22,B x y ， ? ?00,M x y ，易知直线 l 的斜率不为 0 ，则设:l x my t?因为 l 与圆 O 相切，则2 11tm? ? ，即 221tm?； 由 2244 xyx my t?消去 x ，得 ? ?2 2 24 2 4 0m y m ty t? ? ? ? ?， 则 ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2= 4 4 4 4 1 6 4 4 8 0m t t m m t? ? ? ? ? ? ? ? ?， 12 22 4mtyy m? ? ? ?， 0 2 4mty m? ?， 00 24 4tx my t m? ? ? ?，即224 ,44t m tM mm?， ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 22222222 221 6 1 1 6444 44t m m mt m tOMmm mm? ? ? ? ? ?
