1、 1 2014级高三上学期第 1 次月考数学 （理）试卷 一、 选择题（本大题共有 12个小题，每小题 5分，共计 60分） 1、 已知集合 A=0， 1， B=y|y2=1 x2， x A，则 A B的子集个数为（ ） A 4 B 7 C 8 D 16 2、 若命题“存在一个实数 x0 R， x02+(a 1)x0+1 0”是真命题，则实数 a的取值范围是（ ） A 1， 3 B （ 1， 3） C （， 1 3， +） D (， 1) (3， + ) 3、 函数 f (x)= lg(x+1)x 3 的定义域是（ ） A ( 1， + ) B 1， +） C ( 1， 3) (3， + )
2、D 1， 3)（ 3， + ) 4、 设 f (x)是定义在 R上的奇函数，当 x 0时， f (x)=2x+1，则 f (0 )+f (1)= ( ) A 32 B 1 C 12 D 5 5、 函数 f(x)= 4x+12x 的图象（ ） A 关于原点对称 B 关于直线 y=x对称 C 关于 x轴对称 D 关于 y轴对称 6、 当 x（， 1时，不等式（ m2 m） 4x 2x 0恒成立，则实数 m的取值范围是 （ ） A （ 2， 1） B （ 1， 2） C （ 4， 3） D （ 3， 4） 7、 已知函数 f (x)= ?x2+4x x 04x x2 x 0 ，若 f(2 a2) f
3、(a)，则 实数 a的取值范围是（ ） A ( 2， 1) B ( 1， 2) C (， 2) (1， + ) D (， 1) (2， + ) 8、 函数 y=ax 1a (a 0,且 a 1)的图象可能是（ ） A B C D 9、 以下四个命题中，真命题的个数是（ ） 命题“若 x2 3x+2=0，则 x =1”的逆否命 题为“若 x 1，则 x2 3x+2 0”； 若 p q为假命题，则 p， q均为假命题； y O x 1- 1 y x O 1- 1 1 - - y O x 1 1 - y O x 1 2 命题 p：存在 x R，使得 x2+x+1 0，则 p：对任意 x R，都有 x
4、2+x+1 0； 在 ABC中， A B是 sinA sinB的充要条件。 A 1 B 2 C 3 D 4 10、 直线 y = 4x与 曲线 y = x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A 2 B 4 C 2 2 D 4 2 11、 某家用电器的标价为 132 元，若以九折的优惠价出售（即优惠 10%），仍可获利 10%（相对进货价），则该电器的进价是（ ） A 118元 B 105 元 C 106元 D 108元 12、 已知函数 f (x)=|lgx|。若 a b且 f (a) = f (b)，则 a+b的取值范围是（ ） A (1， + ) B 1， +） C (2， + )
5、 D 2， +） 二、 填 空题（本大题共有 4个小题，每小题 5分，共计 20分） 13、 函数 y=loga(x 1)+2(a 0且 a 1)的图象恒过一定点是 _ 14、 若函数 f (x) = ?(a 2)x x 2( 12 )x 1 x 2 是 R上的 单调递减函数，则 a的取值范围是 _ 15、 设函数 f(x)= ?x x 0 x x 0 ，则不等式 x2+xf(x) 2 0的解集 是 _. 16、 设函数 y= f(x)是定义域为 R的奇函数，且满足 f (x 2)= f(x)对一切 x R恒成立，当 1 x 1时， f (x)=x3。则下列四个命题： f(x)是以 4为周期的
6、周期函数； f(x)在 1， 3上的解析式为 f (x)= (2 x)3； f (x)在 (32 ， f(32)处的切线方程为 3x+4y 5=0；x= 1是函数 f(x)的图象的对称轴。其中正确的命题的序号是 _ 三、 解答题（本大题共有 6个小题， 其中第 22 小题 10分，其它小题每小题 12分，共计 70分） 17、 已知函数 f(x) =log a (x+1) log a (1 x)(a 0， a 1)。 （ 1） 求 f(x)的定义域； （ 2） 判断 f(x)的奇偶性，并予以证明； （ 3） 当 0 a 1时，求使 f(x) 0的 x的取值范围。 18、 已知函数 f (x)=
7、 x2+(lga+2)x+lgb 满足 f ( 1)= 2且对于任意 x R，恒有 f (x) 2x成立。 （ 1）求实数 a、 b的值； 3 （ 2） 求 不等式 f (x) x+5的解集。 19、 已知函数 f (x)=1 42ax+a (a 0,且 a 1)是定义在 R上的奇函数。 （ 1）求 a的值； （ 2）求函数 f (x)的值域； （ 3）当 x（ 0,1时， tf(x) 2x 2恒成立，求实数 t的取值范围。 20、 设 函数 f (x)=x3+ax2+bx+c。 （ 1） 求曲线 y=f (x)在 点 (0， f(0)处 的切线方程 ； （ 2） 设 a=b= 4，若 函数
8、f (x)有三个不同的零点，求 c的取值范围。 21、 若存在常数 k和 b (k 和 b均为实数 )，使得 函数 f (x)和 g(x)对其定义域 上的任意实数 x分别满足 f (x) k x+b 和 g (x) k x+b，则称直线 l： y=kx+b 是 f (x)和 g (x)的“隔离直线”。已知 f (x)= x2， g (x)=2elnx。 （ 1）求 F(x)= f (x) g (x)的极值； （ 2）函数 f (x)和 g (x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线；若不存在，请说明理由。 22、 （ 1）（参数方程与极坐标） 已知曲线 C1： ?x=2cosy=2sin
9、(为参数 )，曲线 C2： ?x=1+tcosy= 1+tsin (t为参数 )。 若 = 4 ，求曲线 C2的普通方程，并说明它表示什么曲线； 曲线 C1和曲线 C2的交点分别记为 M， N，求 |MN|的最小值。 (2) （不等式选讲） 已知函数 f (x)=|x a|，其中 a 1. 当 a=2时，求不等式 f (x) 4 |x 4|的解集； 已知关于 x的不等式 |f (2x+a) 2f (x)| 2的解集为 x|1 x 2，求 a的值。 高三年级第一次月考数学（理）试题 答案 4 一、选择题： CDCAD BADDB DC 二、填空题： 13、 (2， 2) 14、 （ ， 138
10、15、（， 1 16、 三、解答题： 17：解 ： (1) 由 f(x) =log a (x+1) log a (1 x)得 ?x+1 01 x 0 ，解得 1 x 1，故所求函数的定义域为 x| 1 x 1 (2)f(x)为奇函数。证明如下：由 (1)知 f (x)的 定义域为 x| 1 x 1，且 f ( x)=log a (x+1) log a (1+x)= log a (x+1) log a (1 x)= f (x)，故 f(x)为奇函数。 （ 3）因为当 0 a 1时， f(x)在定义域 x| 1 x 1上为减函数，由 f(x) 0，得 0 x+11 x 1解得， 1 x 0，所以使
11、 f(x) 0的 x的取值范围是 x| 1 x 0。 18、 解：（ 1）由 f ( 1)= 2，知 lgb lga+1=0， ab =10，又 f (x) 2x恒成立，即 x2+x lga+lg 0恒成立，故 =(lga)2 4lgb 0。即 (lgb+1)2 4lgb 0， (lgb 1)2 0， lgb=1， b=10，进而得 a=100。 （ 2）由 (1) 知 f (x)=x2+4x+1，不等式 f (x) x+5即为 x2+4x+1 x+5， x2+3x 4 0，解得 4 x 1，不等式的解集为 x| 4 x 1。 19、解：（ 1）函数 f(x)是 R上的奇函数， f(0)=0，
12、 即 1 42+a =0，解得 a=2。 （ 2）由 (1)知， f(x)=1 22x+1 ， 2x 0, 2x+1 1,0 22x+1 2， 2 22x+1 0， 1 1 22x+1 1，函数 f (x)的值域为（ 1， 1）。 （ 3）易知当 x（ 0,1时， f(x) 0, 不等式 tf(x) 2x 2 恒成立，可化为 t 2x 2f(x) ，即 t (2x 2)(2x+1)2x 1 恒成立，(2x 2)(2x+1)2x 1 =(2x 1) 22x 1 +1，令 2x 1=m， x（ 0,1， m（ 0,1，而 m 2m +1 是随 m的增大而增大， m 2m +1的最大值为 0，不等式
13、 tf(x) 2x 2恒成立时的实数 t 的取值范围是 t 0。 20、 解：（ 1）由 f (x)=x3+ax2+bx+c得 f (x)=3x2+2ax+b，因为 f(0)=c， f (0)=b，曲线 y=f (x)在点 (0， f(0)处的切线方程为 y=bx+c。 （ 2）当 a=b= 4时， f (x)=x3+4x2+4x+c， f (x)=3x2+8x+4，令 f (x)=0，得 3x2+8x+4=0，解得 x= 2或 x= 23 。当 x变化时， f (x) 与 f (x)的变化情况如下表所示： 5 x (，2) 2 ( 2，23 ) 23 ( 23 ， + ) f (x) + 0
14、 0 + f (x) 增函数 极大值 c 减函数 极小值 c 3227 增函数 所以，当 c 0且 c 3227 0时，存在 x1 ( 4， 2)， x2 ( 2， 23 )， x3 ( 23 ， 0)，使得 f(x1)=f(x2)=f(x3)=0。故当 c (0， 3227 )时，函数 f (x)有三个不同的零点。 21、解：（ 1） F(x)=f (x) g(x)=x2 2elnx， x 0。 F (x)=2x 2ex = 2(x e)(x+ e)x 所以 当 x= e 时， F (x)=0，当 0 x e 时， F (x) 0，此时函数 F(x)单调递减；当x e 时， F (x) 0，
15、此时函数 F(x)单调递增。所以当 x = e 时，函数 F(x)取得极小值，它的极小值为 F( e )=0，无极大值。 （ 2）由（ 1）可知，函数 f(x)与 g(x)的图象在 x = e 处有公共点，因此，若存在 f (x)和g (x)的隔离直线，则该直线过这个公共点。设隔离直线的斜率 为 k，则该直线的方程为 y e = k (x e )，即 y=kx+e k e 。由 f(x) kx+e k e 对 x R恒成立，有 x2 kxe+k e 0对 x R恒成立， = k2+4(e k e )= (k 2 e )2 0， k = 2 e 。下面证明 g(x) 2 ex e在 (0， +
16、)上恒成立，令 G（ x） =g(x) 2 ex+e = 2elnx 2 ex+e。 G(x)= 2ex 2 e = 2 e ( e x)x 。当 x = e 时 G (x)=0，当 0 x e 时， G (x)0，此时 G（ x）单调递增，当 x e 时， G (x) 0，此时 G（ x）单调递减，从而 G(x)G( e )=0 恒成立。 2elnx 2 ex+e 0，即 g(x) 2 ex e。所以函数 f(x)与 g(x)存在唯一的隔离直线 y=2 ex e 22、（ 1）参数方程与极坐标） 解： = 4 ，?x=1+ 22 ty= 1+ 22 t(t为参数 )， x 1= y+1，曲线 C2的普通方程是 y=x 2，它表示过点 (1， 1)，倾斜角为 4 的直线。 曲线 C1的普通方程为 x2+y2= 4，将 ?x=1+tcosy= 1+tsin (t为参数 )代入 x2+y2= 4 中得 (1+tcos )2+ ( 1+tsin )2 = 4，则 t2+2(cos sin )t 2=
