1、 - 1 - 2015 级高三上学期第 1 次月考数学（理）试卷 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题） 请点击修改第 I 卷的文字说明 一、选择题 1已知集合 ? ? ? ? ?2 0 , lg 2 1A x x x B x y x? ? ? ? ? ?，则 AB? ( ) A. 10,2?B.? ?0,1 C. 1,12? ?D. 1,2?2下列函数中，既是偶函数又在区间 ? ?0,1 上为增函数的是 ( ) A.12 xy ? B. 2yx? C. ? ?cosyx? D. lnyx? 3若 1sin33? ?，则 co
2、s 23 ?( ) A.79 B.23 C. 23? D. 79? 4已知 lga ， lgb 是方程 22 4 1 0xx? ? ? 的两个根，则 2(lg )ab 的值是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 5设 2 2 2ln s i n ln c o s ln s i n c o sln , ln , lnln ln lnx y zb b b? ? ? ? ? ?，若 ,42? ?， ? ?0,1b? ，则 ,xyz 的大小关系为 ( ) A.x y z? B.y x z? C.z x y? D.x z y? 6若函数 ? ? 3 2 132xaf x x x? ? ? ?在区间 1
3、,32?上单调递减，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. 1,3?B. 5,3?C. 10,3?D. 16,3?- 2 - 7将函数 sin 23yx?的图象向右平移 ? ?0mm? 个单位长度，所得函数图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值为 ( ) A.12? B.3? C.512? D.712? 8已知函数 ? ? ? ?3sin 2f x a x x a R? ? ?，且在 0,2?上的最大值为 32? ，则实数 a 的值为( ) A.12 B.1 C.32 D.2 9已知 ABC? 中， sin 2 sin cos 0A B C?， 则 tanA 的最大值是 ( ) A. 33 B
4、.233 C. 3 D.433 10已知函数 ? ? ? ? 2ln 1, 2 3f x x g x x x? ? ? ? ? ?，用 ? ?min ,mn 表示 ,mn中最小值，设? ? ? ? ? ? ?m in ,h x f x g x? ，则函数 ?hx的零点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11在 ABC? 中，内角 , ,CAB 的对边分别是 ,abc，若 32sin2 4 2B ?，且 2ac? ，则 ABC? 周长的取值范围是 ( ) A.? ?2,3 B.? ?3,4 C.? ?4,5 D.? ?5,6 12设函数 ?fx在 R 上存在导函数 ?fx? ，对任意
5、的实数 x 都有 ? ? ? ?24f x x f x? ? ?，当? ?,0x? 时， ? ? 1 42f x x? ?.若 ? ? ? ? 313 2f m f m m? ? ? ? ?，则实数 m 的取值范围是( ) A. 1,2? ?B. 3,2? ?C.? ?1,? ? D.? ?2,? ? 第 II 卷（非选择题） - 3 - 请点击修改第 II 卷的文字说明 二、填空题 13计算 321 12x dxx?. 14若函数 ( 3)( )() x x mfx x? 为奇函数，则 m? 15若 ,xy满足约束条件 0, 3 0,3 0,yxykx y? ? ? ? ?，且 2z x y
6、?的最大值为 4，则实数 k 的值为 . 16已 知函数 ? ? ? ?21xf x e x ax a? ? ? ?，其中 a? ，若存在唯一的整数 0x ，使得 ? ?0fx? ，则 a 的取值范围是 .(e 为自然对数的底数 ) 三、解答题 17已知函数 ( ) s in ( ) ( 0 , 0 , | | )2f x A x A ? ? ? ? ? ? ? ?在一个周期内的图像下图所示 。 （ 1）求函数的解析式； （ 2）设 ?x0 ，且方程 mxf ?)(有两个不同的实数根，求实数 m 的取值范围和这两个根的和。 18 已知函数 ? ? 232f x x x? ? ?的定义域为 A
7、，集合 ? ?22| 2 9 0B x x m x m? ? ? ? ? （ 1）若 ? ?2,3AB? ，求实数 m 的值； （ 2）若 ? ?12, Rx A x C B? ? ? ? ，使 21xx? ，求实数 m 的取值范围 19已知函数 ? ? 2 13 s in c o s c o s 2f x x x x? ? ?. ( )求函数 ?fx的对称中心； ( )求 ?fx在 ? ?0,? 上的单调区间 . 1211?- 4 - 20已知 ABC? 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 sin sin 1sin sin sin sinBCA C A B?.
8、 （）求角 A ； （）若 43a? ，求 bc? 的取值范围 . 21 已知函数 ( ) lnf x x x ax b? ? ?在点 (1, (1)f 处的切线为 3 2 0xy? ? ? . （ 1）求函数 ()fx的解析式； （ 2）若 kZ? ，且存在 0x? ，使得 ( 1)fxk x? 成立，求 k 的最小值 . 22已知函数 ? ? ? ?lnxef x a x xx? ? ?， e 为自然对数的底数 . ( )当 0a? 时，试求 ?fx的单调区间； ( )若函数 ?fx在 1,22x ?上有三个不同的极值点，求实数 a 的取值范围 . - 5 - 理数参考答案 1 C2 D3
9、 D4 C5 A6 C7 C8 B9 A10 C11 B 12 A 13 223 14 3m? 15 32? 16 3,12e?17（ 1）显然 A 2， 又图象过（ 0， 1）点， 1)0( ?f ， 21sin ? ? ， 6,2| ? ? ； 由图象结合“五点法”可知， )0,1211( ? 对应函数 xy sin? 图象的点 ( 0,2? ), ? 261211 ? ,得 2? . 所以所求的函数的解析式为： )62sin(2)( ? xxf . （ 2）如图所示，在同一坐标系中画出 )62sin(2 ? xy 和 my? ( Rm? )的图象， 由图可知，当 2112 ? mm 或
10、时，直线 my? 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根。 ?m 的取值范围为： 2112 ? mm 或 ； 当 12 ? m 时，两根和为 43? ；当 21 ?m 时，两根和为 13? 18（ 1） ? ? ? ?| 1 3 , , | m 3 x m 3 , x R , m RA x x x R B x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因为 ? ?2,3AB? ，所以 5m? ； 6 分 （ 2）由已知得： RA CB? ，所以 4m? 或 6m? 12 分 考点：定义域，一元二次不等式，全称命题与特称命题 . 19解： (1) ? ? 3 1 c o s 2
11、 1s i n 2 s i n 2 12 2 2 6xf x x x ? ? ? ? ? ? ?令 2 6xk? ? ，得 2 12kx ?， 6? 125? 32? ?- 6 - 故所求对称中心为 , 1 ,2 12k kZ? ? ?(2)令 22 6 222k x k? ? ? ? ?，解得 ,63kkx k Z? ? ? ? 又由于 ? ?0,x ? ，所以 50,3 ,6x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故所求单调区间为 50,3 ,6? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 20（）根据正弦定理可得 1bca c a b?，即 ? ? ? ? ? ? ?b a b c a
12、 c a b a c? ? ? ? ? ?， 即 2 2 2b c a bc? ? ? ， 根据余弦定理得 2 2 2 1cos 22b c aA bc?，所以 3A ? . （ ）根据正弦定理 8sin sin sinb c aB C A? ? ?，所以 8sinbB? ， 8sincC? , 又 23BC? ,所以 2 3 18 s i n 8 s i n 8 s i n s i n s i n3 2 2b c B B B B B? ? ? ? ? ? ? ? ?3 3 3 18 s i n c o s 8 3 s i n c o s 8 3 s i n2 2 2 2 6B B B B B
13、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因为 20 3B ? ，所以 5+6 6 6B? ? ?，所以 1 s in 126B ? ? ?， 所 以4 3 8 3 s in 8 36B ? ? ?， 即 bc? 的取值范围是 ?4 3,8 3? . 21 解： （ 1） ()fx的定义域为 (0 )?， ， ( ) ln 1f x x a? ? ? ?， (1) 1 3(1) 1faf a b? ? ? ? ? ? ? ， ， 21ab? ? ， ， ( ) ln 2 1f x x x x? ? ? - 7 - （ 2） ( 1)fxkx?可化为
14、 ( 1) ln( 1) 2 1x x xkx? ? ? ?， 令 ( 1) ln ( 1) 2 1() x x xgxx? ? ? ?， (0, )x? ? ? ，使得 ( 1)fxkx?， 则 min()k gx? ， 21 ln ( 1)( ) (0 )xxg x xx? ? ? ? ? ? ?， ， 令 ( ) 1 ln( 1)h x x x? ? ? ?，则 1( ) 1 011xhx xx? ? ? ? ?， ()hx 在 (0 )?， 上为增函数 又 (2 ) 1 ln 3 0 (3 ) 2 ln 4 0hh? ? ? ? ? ?， 故存在唯一的 0 (2 3)x ? ， 使得
15、0( ) 0hx? ，即 001 ln( 1)xx? ? ? 当 0(0 )xx? ， 时， () 0hx? ， ( ) 0gx? ? ， ()gx 在 0(0 )x， 上为减函数； 当 0()xx? ?， 时， ( ) 0hx? ， ( ) 0gx? ? ， ()gx 在 0()x ?， 上为增函数 0 0 0 0 0 0m i n 0 000( 1 ) l n ( 1 ) 2 1 ( 1 ) ( 1 ) 2 1( ) ( ) 2x x x x x xg x g x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 0 2kx? 00(2 3) 2 (4 5 )xx? ? ? ， ，
16、 ， ，kZ? k 的最小值为 5 22解： (1)函数的定义域为 ? ?0,x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 11 1 111 xxx e a x xe x e x a x xf x ax x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 0a? 时，对于 ? ?0, , 0xx e ax? ? ? ? ?恒成立 所以 ，若 ? ?1, 0x f x?，若 ? ?0 1, 0x f x? ? ? 所以 ?fx的单调增区间为 ? ?1,? ，单调减区间为 ? ?0,1 (2)由条件可知 ? ?fx? ? ，在 1,22x ?上有三个不同的根 - 8 - 即 0xe ax?在 1,22x ?上有两个不同的根，且 ae? 令 ? ? xeg x a x? ? ，则 ? ? ? ?2 1xexgxx ? ? 当 1,12x ?时单调递增， ? ?1,2x? 时单调递减 ?gx的最大值为 ? ? ? ? 2111 , 2 , 222g e g e g e? ? ? ? ? ?而 22112 2 022e e e e? ? ? ? ? ? 2 e a e? ? ?
