1、 1 湖南省岳阳市 2018 届高三数学上学期第一次月考试题 文 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.复数 3ii? （ i 为虚数单位）的虚部是 （ ） A 110 B 110i C 310i D 310 2.已知 ? ? ? ? ?2| 1 3 , | lnM x x N x y x x? ? ? ? ? ? ?，则 MN?（ ） A ? B ? ?|0 1xx? C ? ?| 1 1xx? ? ? D ? ?| 1 3xx? ? ? 3.若函数 ?fx为奇函数，当 0x? 时， ? ? 2l
2、ogf x x? ，则 14ff?（ ） A -2 B 0 C -1 D 1 4.已知实数 ,xy满足约束条件 202 2 01xyxyx? ? ? ? ?，则 32z x y?的最小值是 （ ） A -6 B -3 C. 3 D 6 5.下列双曲线中，渐近线方程不是 34yx? 的是 （ ） A 221144 81xy? B 22118 32yx? C. 2219 16yx? D 22143xy? 6.利用如图所示 的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（ ） A 0 B 1 C. 2 D 3 2 7.三个数 0 .3 0 .6 0 .36 , 3 , lo
3、 g 0 .6a b c? ? ?的大小顺序是 （ ） A bac? B b c a? C. c b a? D c a b? 8.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 14 B 323 C.16 D 8 9.将函数 ? ? ? ?s in 22f x x ? ? ?的图象向左平移 6? 个单位后的图形关于原点对称，则函数 ?fx在 0,2?上的最小值为 （ ） A 32 B 12 C. 12? D 32? 10.已知 0ab? ，则 412a a b a b?的最小值为（ ） A 6 B 4 C. 23 D 32 11.已知函数 ? ?210,2,x x afx x x x
4、a? ? ? ，若对任意的实数 b ，总存在实数 0x ，使得 ? ?0f x b? ，则实数 a 的取值范围是（ ） 3 A ? ?11,5? B ? ?11,5? C. ? ?11,4? D ? ?11,4? 12.三个数 ,abc成等比数列，若有 1abc? ? ? 成立，则 b 的取值范围是（ ） A 10,3?B 11,3?C. ? ? 11,0 0,3? ?D 10,3?二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知两个单位向量 ,ab的夹角为 60， ? ?1c ta t b? ? ? ，若 2bc? ，则 t ? 14. ABC?
5、 中，角 ,ABC 的对边分别是 ,abc，已知 2 c o s c o s c o sa A a B b C?.则A? 15.已知 mR? ，命题 :p 对任意实数 0x? ，不等式 233xe x m m? ? ? ?恒成立，若 p? 为真命题，则 m 的取值范围是 16.设四面体的六条棱的长分别为 1， 1， 1， 1， 2 和 a ，且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面，则 a 的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知各项均为正数的等比数列 ?na 中， 1 2 3 14a a a? ? ? ， 34=6
6、4aa . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设 ? ?21nnb n a?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 18. 在某大学自主招生考试中，所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为 , , , ,A B C D E 五个等级，某考场考 生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人 . （ 1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数； （ 2）若等级 , , , ,A B C D E 分别对应 5 分， 4 分， 3 分， 2 分， 1 分，求该考场考生“数学
7、与4 逻辑”科目的平均分； （ 3）已知参加本考查测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为 A ，在至少一科成绩为 A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为 A 的概率 . 19. 已知四棱锥 P ABCD? 中， PD? 底面 ABCD ，底面 ABCD 为菱形，02, 60AD DAB? ? ?， E 为 AB 的中点 . （ 1）证明：平面 PAB? 平面 PED ； （ 2）若 3PD AD? ，求 E 到平面 PBC 的距离 . 20. 过抛物线 ? ?2: 2 0C x py p?的焦点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 ,AB两点，当点 A 的纵坐标为 1 时，
8、2AF? . （ 1）求抛物线 C 的方程； （ 2）若直线 l 的斜率为 2，问抛物线 C 上是否存在一点 M ，使得 MA MB? ，并说明理由 . 21.已知函数 ? ? ? ?1,xf x ax e a R? ? ?. （ 1）讨论 ?fx的单调区间； （ 2）当 0mn? 时，证明： nmme n ne m? ? ?. 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为122322xtyt? ? ? ?（ t 为参数），又以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立 极
9、坐标系，曲线 C 极坐标方程为： 2 4 sin 4? ? ?，直线 l 与曲线 C 交于 ,AB两点 . （ 1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的平面直角坐标方程； 5 （ 2）求线段 AB 的长 . 23.已知函数 ? ?f x x a?. （ 1）若不等式 ? ? 3fx? 的解集为 ? ?| 1 5xx? ? ? ，求实数 a 的值； （ 2）在（ 1）的条件下，若 ? ? ? ?5f x f x m? ? ?对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围 . 试卷答案 一、选择题 1-5:DBCAD 6-10: BDCDA 11、 12： BC 二、填空题 13. -2 14.
10、3? 15. ? ? ? ?,1 2,? ? 16. ? ?0, 2 三、解答题 17.解：（ 1）设等比数列的公比为 q ，且 0q? ， 2 4 364 8a a a? ? ?, 21 8aq? ，又 1 2 3 14a a a? ? ? ， ? ?23 4 4 0 0 2q q q q? ? ? ? ? ?， 2nna? ； （ 2）由（ 1）知 ? ?21nnb n a?，得 ? ?2 1 2nnbn? ， 故 ? ? ? ?1 2 112 1 2 3 2 2 3 2 2 1 2nnnnT b b b n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 3 12 1 2
11、 3 2 2 3 2 2 1 2nnnT n n ? ? ? ? ? ? ? -得： ? ? ? ?1 2 3 12 2 2 2 2 2 1 2nnnTn ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? 12 3 2 6nnTn ? ? ? 18.（ 1） 3 （ 2） 2.9 （ 3） 16 19.（ 1）证明： PD? 底面 ABCD ， PD AB? ， 6 连接 DB ，在菱形 ABCD 中， 060DAB?， DAB? 为等边三角形， 又 E 为 AB 的中点， AB DE? ， AB? 底面 PDE ； （ 2） 2AD? ， 23PD? ， 在 Rt PDC? 中， 4PC? ，同理
12、4PB? ， 利用平面几何知识可得 15PBCS? ? ，又 32EBCS? ?， 设 E 到平面 PBC 的距离为 h ， 由 P EBC E PBCVV? 得， 1133EBC PBCS P D S h?， 155h? 20.暑假作业原题 21.解：（ 1） ?fx的定义域为 R ，且 ? ? ? ?1 xf x ax a e? ? ? ?， 当 0a? 时， ? ? 0xf x e? ? ? ，此时 ?fx的单调递减区间为 ? ?,? . 当 0a? 时，由 ? ? 0fx? ? ，得 1ax a? ； 由 ? ? 0fx? ? ，得 1ax a? . 此时 ?fx的单调减区间为 1,
13、aa? ?，单调增区间为 1,aa? ?. 当 0a? 时，由 ? ? 0fx? ? ，得 1ax a? ； 由 ? ? 0fx? ? ，得 1ax a? . 此时 ?fx的单调减区间为 1,aa? ?，单调增区间为 1, aa? ?. （ 2）当 0mn? 时，要证： nmme n ne m? ? ?， 只要证： ? ? ? ?11nmm e n e? ? ?，即证： 11mnee? ，（ *） 7 设 ? ? 1 ,0xeg x xx?，则 ? ? ? ?211 ,0xxeg x xx? ?， 设 ? ? ? ?11xh x x e? ? ?， 由（ 1）知 ?hx在 ? ?0,? 上单调
14、递增， 所以当 0x? 时， ? ? ? ?00h x h?，于是 ? ? 0gx? ? ，所以 ?gx在 ? ?0,? 上单调递增， 所以当 0mn? 时，（ *）式成立， 故当 0mn? 时， nmme n ne n? ? ?. 22.解：（ 1）由122322xtyt? ? ? ?(t 为参数 )消去 t ，得：直 线 l 的普通方程为3 2 3 2 0xy? ? ? ?， 又将 2 2 2 , sinx y y? ? ? ? ?代入 2 4 sin 4? ? ?得 曲线 C 的平面直角坐标方程为 ? ?22 28xy? ? ?； （ 2）将122322xtyt? ? ? ?代入 ? ?
15、22 28xy? ? ?得： 2 2 4 0tt? ? ? ， 设 ,AB对应的参数分别为 12,tt，则 1 2 1 22, 4t t t t? ? ? ?， 所以 ? ? 21 2 1 2 1 24 2 5A B t t t t t t? ? ? ? ? ? 23.【解析】（ 1）由 ? ? 3fx? 得 3xa?，解得 33a x x? ? ? ? ，又已知不等式 ? ? 3fx?的 解集为 ? ?| 1 5xx? ? ? ，所以 3135aa? ? ?，解得 2a? . （ 2）当 2a? 时， ? ? 2f x x?，设 ? ? ? ? ? ?5g x f x f x? ? ?，于是8 ? ?2 1 , 32 3 5 , 3 22 1 , 2xxg x x x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以当 3x? 时， ? ? 5gx? ；当 32x? ? ? 时，? ? 5gx? ；当 2x? 时， ? ? 5gx? .综上可得， ?gx的最小值为 5，从而若? ? ? ?5f x f x m? ? ?，即 ? ?g x m? 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为 ? ?,5? .
