1、 1 江苏省南京市 2018届高三数学上学期第一次月考试题 一、填空题：（本大题共 14小题，每小题 5分，共 70 分请将答案填入答题纸填空题的相应答题 线 上） 1已知集 合 ? ?1,6,9A? ， ? ?1,2B? ，则 AB? 2复数 (1i? 2) a bi? （ ,ab是实数， i 是虚数单位），则 ab? 的值为 3函数 2log ( 3)yx?的定义域为 4 为了解某地区的中小学生视力情况 ， 从该地区的中小学生中 用分层抽样的方法 抽取 300 位 学生进行调查 ， 该地区小学 ， 初中 ， 高中三个学段学生 人数分别为 1200， 1000， 800 ，则从初中抽取的学生
2、人数为 5 已知一个 算法 的 流程图 如右 图， 则 输出的结果 S 的值 是 6将一颗骰子先后抛掷 两 次，观察向上的点数则点数 相 同的概率是 7如图，在正三棱柱 111 CBAABC ? 中， D 为棱 1AA 的中点 若 1 4AA? ， 2AB? ，则 四 棱 锥 1B ACCD? 的 体积为 8. 设 Sn为等差数列 an的前 n项和，已知 S5 = 5， S9 = 27，则 S7 = 9. 设 ? 为锐角，若 3cos65?，则 sin12? . 10. 已知两个单位向量 a ， b 的夹角为 60 ， c = ta （ t） b 若 b c = 0，则实数 t的值为 11.
3、已知 22( 0),() ( 0)x x xfx x x x? ? ? ? ?，则不等式 2( 1) 12f x x? ? ? 的解集是 12. 在直角坐标系 xOy 中，已知 A（ ， 0）， B（ 0， 1），则满足 224PA PB?且在圆 224xy?上的 点 P的个数为 13. 已知正实数 x， y 满足 24xy x y? ? ? ，则 x y 的最小值为 第 5 题 开始 是 输出 S 否 n 1， S 0 n 3 S 2S+1 n n+1 结束 2 14. 若 2 1 01mxmx? ?（ m ）对一切 x4 恒成立，则实数 m的取值范围是 二、解答题：本大题共六小题，共计 9
4、0分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分 14分） 在 ABC中，设角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 1cos2a C c b? （ 1）求角 A的大小； （ 2）若 15a? ， 4b? ，求边 c的大小 16.（本小题满分 14分） 如图，在四棱锥 P ABCD中，四边形 ABCD是矩形，平面 PCD 平面 ABCD， M为 PC 中点求证： （ 1） PA 平面 MDB； （ 2） PD BC 17.（本题满分 14分） 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 椭 圆22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的右准线
5、方程为 4x? ，右顶点为 A ，上顶点为 B ，右焦点为 F ，斜率为 2 的直线 l 经过 点 A ，且点 F 到直线 l 的距离为3 OA BCDM N255 . （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）将直线 l 绕点 A 旋转，它与椭圆 C 相交于另一点 P ，当 ,BFP 三点共线时，试确定直线 l 的斜率 . 18.（本题满分 16分） 如图，有一块扇形草地 OMN，已知半径为 R，2MON ?，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点 A、 B在弧 MN上，且线段 AB平行于线段 MN. （ 1）若点 A为弧 MN的一个三等分点，求矩形 ABCD的面积 S；
6、 （ 2） 设 AOB ?， 求 A在 MN 上何处时， 矩形 ABCD的面积 S最大？最大值为多少？ 19（本小题满分 16分） 设 t 0，已知函数 f (x) x2(x t)的图象与 x轴交于 A、 B两点 （ 1）求函数 f (x)的单调区间； （ 2）设函数 y f(x)在点 P(x0， y0)处的切线的斜率为 k，当 x0 (0， 1时 ， k 12恒成立，求 t的最大值； （ 3）有一条平行于 x轴的直线 l恰好 与函数 y f(x)的图象有两个不同的交点 C， D，若四边形 ABCD为菱形，求 t的 值 4 20（本小题满分 16分） 已知数列 an的首项 a1 a， Sn是数
7、列 an的前 n项和，且满足： 2 2 2 *13 , 0 , 2 .n n nnS n a S a n n N? ? ? ? ?， （ 1）若数列 an是等差数列，求 a的值； （ 2）确定 a的取值集合 M，使 a M时，数列 an是递增数列 5 程桥高级中学 2018届高三数学试卷参考答案 1.12.23. ?（ 3,+） 4.1005.76.16 7.23 8.149. 210 10.211.（ -1， 2） 12.213.26-3 14. 1- 2?（ ， - ） 17.解：（ 1）由题意知，直线 l 的方程为 2( )y x a?，即 2 2 0x y a? ? ? ， 6 ?右焦
8、点 F 到直线 l 的距离为 22 2555ca? ? ， 1ac? ? ? ， 2分 又椭圆 C 的右准线为 4x? ，即 2 4ac? ，所以 24ac? ，将此代入上式解得 2, 1ac?，2 3b?， ?椭圆 C 的方程为 22143xy?； 6分 （ 2）由（ 1）知 (0, 3)B ， (1,0)F ， 8分 ?直线 BF 的方程为 3( 1)yx? ? ， 10分 联立方程组 223( 1)143yxxy? ? ? ?，解得85335xy? ? ?或 03xy?（ 舍 ）， 即8 3 3( , )55P ? ， 12分 ?直线 l 的斜率330 ( )3358 225k?. 14
9、分 方法二 : 由（ 1）知 (0, 3)B ， (1,0)F ， ?直线 BF 的方程为 3( 1)yx? ? ，由题 (2,0)A ，显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ( 2)y k x?，联立方程组 3( 1)( 2)yxy k x? ? ?，解得23333kxkkyk? ? ? ? ? ?，代入椭圆解得： 332k? 或 32k? ，又由 题意知， 3 03ky k?得0k? 或 3k? ，所以 332k? . 方法三：由题 (2,0)A ，显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ( 2)y k x?，联立方程组 22( 2)143y k xxy? ?，得 ? ?
10、2 2 2 24 3 1 6 1 6 1 2 0k x k x k? ? ? ? ?， 221643AP kxx k? ?， 所以 221 6 8 624 3 4 3P kkx ? ? ?,21243P ky k? ?，当 ,BFP 三点共线时有， BP BFkk? ， 即 22212 334386 143kkkk? ? ?，解得 332k? 或 32k? ，又由题意知， 3 03ky k?得 0k?或 3k? ，所以 332k? . 7 18.解：（ 1）如图，作 OH AB? 于点 H，交线段 CD 于点 E，连接 OA、 OB， 6AOB ? ? ， 2分 2 s in , c o s1
11、 2 1 2A B R O H R? ? ?， 1 sin2 1 2O E D E A B R ? ? ? c o s s in1 2 1 2E H O H O E R ? ? ? ? ? 4分 222 s i n c o s s i n 2 s i n c o s 2 s i n1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2S A B E H R R R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2231s in c o s 16 6 2RR? ? ? ? ? 6分 （ 2）设 0 2AO B ? ? ? ? 7分 则 2 s in , c o s22
12、A B R O H R? ? ?， 1 sin22OE AB R ? c o s s in22E H O H O E R ? ? ? ? ? 9分 222 s i n c o s s i n 2 s i n c o s 2 s i n2 2 2 2 2 2S A B E H R R R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22s in c o s 1 2 s in 14RR ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 0, 2? ?， 3,4 4 4? ? ? ? ? ?42? ? ? 即 4? 时， ? ? 2max 21SR?，此时 A在弧
13、 MN 的四等分点处 15 分 答：当 A在弧 MN 的四等分点处时， ? ? 2max 21SR? 16分 19（本小题满分 16分） 解：（ 1） f ( x) 3x2 2tx x(3x 2t) 0，因为 t 0，所以当 x 2t3或 x 0时， f ( x) 0， 所以 (， 0)和 (2t3， )为函数 f (x)的单调增区间； 当 0 x 2t3时， f ( x) 0，所以 (0， 2t3)为函数 f (x)的单调减区间 4分 （ 2）因为 k 3x02 2tx0 12恒成立，所以 2t 3x0 12x0恒成立， 6分 因为 x0（ 0， 1，所以 3x0 12x0 2 3x0 12
14、x0 6， 即 3x0 12x0 6，当且仅当 x0 66 时取等号 所以 2t 6，即 t的最大值为 62 8分 8 （ 3）由（ 1）可得，函数 f (x)在 x 0处取得极大值 0，在 x 2t3处取得极小值 4t327 因为平行于 x轴的直线 l恰好 与函数 y f (x)的图象有两个不同的交点， 所以直线 l的方程为 y 4t327 10分 令 f (x) 4t327，所以 x2(x t) 4t327，解得 x2t3或 xt3 所以 C（ 2t3， 4t327）， D（t3，4t327） 12分 因为 A（ 0， 0）， B（ t， 0）易知四边形 ABCD为平行四边形 AD ( t
15、3)2 ( 4t327)2，且 AD AB t， 所以 ( t3)2 ( 4t327)2 t，解得： t 32 16 分 20（本小题满分 16分） 解：（ 1）在 S2n 3n2an S 2n 1中分别令 n 2， n 3，及 a1 a得 (a a2)2 12a2 a2， (a a2 a3)2 27a3 (a a2)2， 因为 an 0，所以 a2 12 2a， a3 3 2a 2分 因为 数列 an是等差数列，所以 a1 a3 2a2，即 2(12 2a) a 3 2a， 解得 a 3 4分 经检验 a 3时， an 3n， Sn 3n(n 1)2 ， Sn 1 3n(n 1)2 满足 S
16、2n 3n2an S 2n 1 （ 2）由 S2n 3n2an S 2n 1，得 S2n S 2n 1 3n2an，即 (Sn Sn 1)(Sn Sn 1) 3n2an， 即 (Sn Sn 1)an 3n2an，因为 an 0，所以 Sn Sn 1 3n2， (n 2)， 6分 所以 Sn 1 Sn 3(n 1)2， ，得 an 1 an 6n 3， (n 2) 8分 所以 an 2 an 1 6n 9， ， 得 an 2 an 6， (n 2) 即数列 a2， a4， a6，及数列 a3， a5， a7，都是公差为 6的等差数列， 10分 因为 a2 12 2a， a3 3 2a 所以 an?a， n 1，3n 2a 6， n为奇数且 n 3，3n 2a 6， n为偶数， 12分 要使数列 an是递增数列，须有 a1 a2，且当 n为大于或等于 3的奇数时， an an 1，且当 n为偶数时， an an 1， 即 a 12 2a， 3n 2a 6 3(n 1) 2a 6(n为大于或等于 3的奇数 )，
