1、 - 1 - 福建省永春县四校 2018 届高三数学上学期第一次联考试题 文 （满分： 150 分； 考试时间： 120 分钟） 第卷 （选择题 共 60 分） 一、本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题只有一个选项符合题目要求 . 1、 设集合 ? ?1, 0,1M ? ， ? ?2 6,N x x x x Z? ? ? ?，则下列结论正确的是 A MN? B MN? C MN? D ? ?23M N x x? ? ? ? 2、 已知 y 与 x 线性相关，且回归方程为 0.95y x a?，若 2x? ， 4.5y? ，则 a? A 3.25 B 2.2 C 2.6 D 0 3、 已
2、知复数 34zi? ? （ i 是虚数单位）， z 为 z 的共轭复数， 则复数 1zi? 的虚部 为 A 12i B 12i? C 12 D 12? 4、 已知如右图的程序框图，则输出的 S? A 65 B 64 C 63 D 33 5、 已知函数 c o s , 0 ,() 2( 1 ) 1 , 0 ,x xfxf x x? ? ? ? ?则 (2)f ? A. 12 B. 12? C. 3? D. 3 6、 如 右图 ，小方格是边长为 1的正方向，图中粗线画出的是某 几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. 8 3? B. 8? C. 28 3? D. 48 3? 7、 已知 3 c o
3、 s 2 c o s( )4?， ( , )2? ， 则 sin2? 的值为 A 1718? B 118? C 1718 D 118 8、 已知抛物线 2 2 ( 0)y px p?的焦点为 (2,0)F ，双曲线 2222: 1 ( 0 , 0 )xyE a bab? ? ? ?的（第 4题） （第 6 题） - 2 - 渐近线方程为 24pyx? ，则 E 的离心率等于 A 62 B 2 C 2 D 3 9、 已知函数 ()fx在 R 上满 足 (1 ) (1 )f x f x? ? ?，且 ()fx在 1, )? 上单调递增， (0)af? ，(1)bf? ， ()c f e? ，则 ,
4、abc的大小关系为 A bac? B abc? C c b a? D b c a? 10、 若函数 ( ) c o s ( 2 ) ( )2f x x ? ? ?的图象关于点 4( ,0)3? 成中心对称，则函数()3fx? A 为奇函数且在 (0, )4? 上单调递增 B 为奇函数且在 (0, )4? 上单调递减 C 为偶函数且在 (0, )2? 上单调递增 D 为偶函数且在 (0, )2? 上单调递减 11、 已知 ,nnST分别为数列 2 1( 1)nnnn?与 212nn?的前 n 项和，若 10 1013nST? ，则 n 的最 小值为 A 1026 B 1025 C 1024 D
5、1023 12、 已知点 11( , )Px y 是函数 ( ) 2f x x? 图象上一点，点 22( , )Qx y 是函数 ( ) 2lng x x? 图象上一点，若存在 12,xx，使得 255PQ? 成立，则 1x 的值为 A 15 B 25 C 12 D 1 第卷 （非选择题 共 90 分） 二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 13、 若平面向量 (4,2)a? ， ( 2, )bm? ，且 ()a a b?，则实数 m 的值为 . 14、 已知实数 ,xy满足约束条件 0, 3 0,2 0.xxyxy? ? ?则 2z x y? 的取值范围为 . 15、 在棱长
6、为 1的 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 内等可能地任取一点，则该点到顶点 A 的距离小于 1的概率为 . 16、 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数 . 如三角形数 1,3,6,10, ,第 n个- 3 - 三角形数为? ? 21 112 2 2nn nn? ?. 记第 n个 k边形数为? ?,Nnk? ?3k?， 以下列出了部分k边形数中第 n个数的表达式 : 三角形数 ：? ? 2,3 22n n n； 正方形数 ：? ?2,4N n n?； 五边形数 ：? ? 231,5N n n n?； 六边形数 ：? ? 2, 6 2N n n n； 可以推测? ?,
7、Nnk的表达式 ， 由此计算? ?10,24N ?. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （一）必考题： 60 分 17、（本小题满分 12 分 ） 如图，在四边形 ABCD 中， 1AD? ， 2CD? ， 7AC? （）求 cos CAD? 的值 ； （）若 7cos 14BAD? ? ?， 21sin 6CBA?，求 BC 的长 18、（本小题满分 12 分 ） 如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，画出 的样本频率分布直方图，已知第一组的频数为 4000，请 根据该图提供的信息解答下列问题 （）求样本中月收入在 2500,3500
8、)的人数； （ ） 为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系， 必须从样本中按月收入用分层抽样方法抽出 100 人作进 一步分析，则月收入在 1500,2000)的这组中应抽多少人？ （）试估计样本数据的中位数 19、（本小题满分 12 分） 如图几何体中，三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的侧面 11ABBA 是圆柱的 轴截面， C 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合一个点 （）求证：无论点 C 如何运动，平面 1ABC ? 平面 1AAC ； （ ）当点 C 是圆弧 AB 的中点时，求四棱锥 1 1 1A BCCB? 与 圆柱的体积比 AB CD- 4 - 20、（本小题满分 12
9、 分） 已知过点 23( 1, )3M ? 的 椭圆 22: 1 ( 0 )xyE a bab? ? ? ?的一个焦点为 1( 1,0)F? （ ）求椭圆 E 的方程； （ ） 若 12,ll为 过圆 2 2 2 2:C x y a b? ? ?上任一点 P 作椭圆 E 的两条切线， 求证： 12ll? 21、 （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) 2 lnpf x px xx? ? ? （） 若函数 ()fx在其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围； （） 设函数 2() egx x? ，若在 1, e 上至少存在一点 0x ，使得 00( ) ( )f x g x? 成立，求实
10、数 p的取值范围 （二）选考题 ： 请在第 22 、 23 题中任选一题作答， 若 多做，则按所做的第一题计分 22、 选修 44 ：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 已知直线 l 的参数方程为21,2 ()2 .2xttyt? ? ?为 参 数，以原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标，曲线 C 的极坐标方程是 ?2cos1 cos?，直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点 （）写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程； （） 若点 (1,0)M ，求 MA MB? 的值 23、 选修 4 5：不等式选讲 （本小题满分 10 分） 已知 函数 ( ) 2
11、1 2 ,f x x x x R? ? ? ? ? （） 求不等式 ( ) 2fx? 的解集； （） 若 xR? ， 2 11() 2f x t t? 成立， 求实数 t 的取值范围 - 5 - 2018 届高三四校合作第一次考试（文科数学）参考答案 填空题： 13、 6? ； 14、 4, )? ； 15、 6? ； 16、 1000 16 题： 221( , ) ( 4 )22kN n k n n k? ? ?, 所以 22 4 2 1( 1 0 , 2 4 ) 1 0 1 0 ( 2 4 4 ) 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 022N ? ? ? ? ? ? ? ? 17、 （
12、 ） 在 ABC? 中 ， 由余弦定理得 2 2 2c o s 2A C A D C DC A D A C A D? ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C D C D A A D A B C A - 6 - 分 由题设知 1AD? ， 2CD? ， 7AC? 所以 7 1 4 2 7c o s 727C A D ? ? ? 4 分 （ ） 设 CAB ?，则 BAD CAD? ? ? ? 因为 2 7 7c o s , c o s7 1 4C A D B A D? ? ? ? ?， 0,CAD BAD ? ? ? ? 所以 2 1 3 2 1s i n , s i
13、n7 1 4C A D B A D? ? ? ? 6 分 故 s in s in ( )B A D C A D? ? ? ? ?s i n c o s c o s s i nB A D C A D B A D C A D? ? ? ? ? ? 3 2 1 2 7 7 2 11 4 7 1 4 7? ? ? ?32? 9 分 由正弦定理得 sin sinBC ACCBA? ? ? ， 从而 sin 3sinACBC CBA? 12分 18、 （）由题意知，月收入在 1000,1500)的频率为 0.000 8 500 0.4 又月 收入在 1000,1500)的有 4000 人，故样本容量 n
14、4 0000.4 10000 2 分 月收入在 1500,2000)、 2000,2500)、 3500,4000的频率分别为为 0.0004 500 0.2、0.0003 500 0.15、 0.0001 500 0.05 所 以 月 收 入 在 2500,3500) 的 频 率 为 1 0.4 0.2 0.15 0.05 0.2 5 分 故样本中月收入在 2 500,3 500的人数为 0.2 10 000 2 000 6 分 （ ） 由（）知，月收入在 1500,2000)的人数为 0.2 10000 2 000，再从 10000 人中用分层抽样的方法抽出 100 人，则月收入在 150
15、0,2000)的这组中应抽取 100 2 00010 000 20(人 ) 9 分 （）由 (1)知，月收入在 1 000,2 000)的频率为 0.4 0.2 0.6 0.5 - 7 - 故样本数据的中位数为 1500 0.5 0.40.000 4 1500 250 1750 12 分 19、解法一： （） AB 是圆柱底面圆周的直径， C 为圆周上不与 A 、 B 重合一个点 AC BC? 2 分 又圆柱母线 1AA ? 平面 ABC ， BC? 平面 ABC ， 1AA ? BC 3分 又 11,AA AC A AC? 平 面 且交于点 A ， BC ? 平面 1AAC 5 分 又 BC
16、? 平面 1ABC ，平面 1ABC ? 平面 1AAC 6 分 （）设圆柱的底面半径为 r ，母线长度为 h 当点 C 是 AB 的中点时，三角形 ABC 的面积为 2r 7分 1 1 1ABC ABCV ? ?2rh， 1A ABCV? ? 213rh1 1 1A BCCBV ? ? 1 1 1ABC ABCV ? ? 1A ABCV? ? 2 2 21233r h r h r h? 10 分 又圆柱的体积为 2rh? ， 四棱锥 1 1 1A BCCB? 与圆柱的体积比为 2:3? 12 分 解法二： （）与解法一同 （） 设圆柱的底面半径为 r ，母线长度为 h 当点 C 是 AB 的中点时， 1 1 1 1 2A C B C B C r? ? ?，三角形 ABC 的面积为 2r 7分 11AB 是圆柱底面圆周的直径， 1C 为圆周上不与 1A 、 1B 重
