1、 1 2018届高三年级收心考试 理科数学试卷 一、选择题（本大题包括 12 个小题，每小题 5分，共 60分，每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的，请将正确 选项填涂在答题卡上） （ 1）已知集合1 1 1 0 1AB? ? ? ?， ， ， ，则集合| C a b a A b B? ? ? ?，中元素的个数为 （ A） 2 （ B）3（ C） 4 （ D）5（ 2）已知复数3 ()bizbi?R的实部和虚部相等，则|z?（ ） （ A） （ B） （ C）22（ D）32（ 3）已知()fx是 R上的奇函数，则 “0xx?” 是 “12( ) ( ) 0f x f x?”
2、的 （ ） （ A）充分不必要条 件 （ B）必要不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 4）在等比数列na中，已知3 3 5 76 78a a a a? ? ? ?，则5a?（ ） （ A） 12 （ B）18（ C） 24 （ D）36（ 5）若? 223,则直线cos sinxy? 必不经过 （ ） （ A）第一象限 （ B）第二象限 （ C）第三象限 （ D）第四象限 （ 6） 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算 口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用 如图所示的程序框图
3、的算法思路源于该著作中的 “ 李白沽酒 ” 问题，执行该程序框图，若输出的m的值为0，则输入的a的值为 （ ） 2 （ A）218（ B）4516（ C）9332（ D）18964（ 7） 一个空间几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为（ ） (A)2 (B)38(C)3 (D)310（ 8） 在区间 0，p上随机地取一个数 x，则事件 “sinx12” 发生的概率为 ( ) (A)34(B)23(C)12(D)3（ 9）设，ab是平面上的两个单位向 量，35?ab.若m?R，则|m?的最小值是 （ ） （ A）4（ B）43（ C）45（ D）54（ 10）已知实数xy，满足不等式组102
4、 1 02 1 0xyxyxy? ， ， ，若直线( 1)y k x?把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1:2，则k?（ ） （ A）14（ B）13（ C）1（ D）34（ 11）已知双曲线22 1( 0 0)ab? ? ? ?，的左、右焦点分别为12FF，且焦点与椭圆136 2?的3 焦点相同，离心率为345e?，若双曲线的左支上有一点 M到右焦点2F的距离为18N，为2MF的中点，O为坐标原点，则|NO等于 （ ） （ A）23（ B） 1 （ C） 2 （ D） 4 （ 12） 已知函数axexxf ?)(，xaexxg ? 4)2ln()(，其中e为自然对数的底数，若
5、存在实数0x，使3)() 00 ? xgx成立，则实数a的值为（ ） (A) 12ln ? (B) 2ln1? (C) ln (D) 2 二、填空题（本大题包括 4 个小题，每小题 5分，共 20分，把正确答案填在答题卡中的横线上） 13在61 )x-的展开式中，4x的系数为 _.(用数字作答 )。 14如图，在 ABC 中，3sin 23ABC? ?， AB=2，点 D在线段 AC上，且 AD=2DC， BD=433，则cosC=_. 15已知四面体ABD的每个顶点都在球O的表面上，5AB AC=，8BC， AD?底面 ABC，G为 ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为 ，则
6、球O的表面积为 _ 16如图，在直角梯形 ABCD 中， AB AD?，1DC， 3AB=，动点 P在以点C为圆心，且与直线 BD相切的圆内运动，设AP AD AB?( , )R?，则ab+的取值范围是 _ 三、解答题（本大题包括 6 个小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （ 17）（本小题满分 12分）已知ABC的内角ABC,的对边分别为abc，2220a ab b? ? ? （ ）若6B?，求C； （ ）若23，14c?，求ABCS （ 18）（本小题满分 12 分） 如图多面体 ABCD 中 ,面 ABCD 为正 方形 ,棱长 AB=2,AE=3,5?DE,二面角
7、 E AD C的余弦值为55，且 EF/BD。 （ ）证明：面 ABCD?面 EDC； A B C D E F 4 （ ）若直线 AF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为32， 求二面角 AF E DC的余弦值。 （ 19）（本小题满分 12分） 习大大构建的 “ 一带一路 ” 经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与。 博爱县顺潮流、乘东风，闻 讯 而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场。为了了解游客的情况，以便制定相应的策略。在某月中随机抽取甲、乙两个景点各 10天的游客数，画出茎叶图如下： 甲 乙 9 3 78 6 8 2 x 6 5 10 11 12 13 14 9
8、 y 4 3 1 5 5 5 8 6 （ ）若景点甲中的数据的中位数是 125，景点乙中的数据的平均数是 124，求 x,y 的值； （ ）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据。今从这段时期中任取 4天，记其中游客数超过 120人的天数为 , 求概率 P（ 2 ）； （ ）现从上图的共 20天的数据中任取 2天的数据（甲、乙两景点中各取 1天），记其中游客数不低于 115且不高于 125人的天数为 ，求 的分布列和期望。 （ 20）（本 小题满分 12分） 已知椭圆的离心率22?e，左、右焦点分别为21 FF、，定点)3( ，P，点2F在线段1PF的中垂线上 （）求椭圆 C
9、的方程； （） 设直线mkxyl ?:与椭圆 C交于NM、两点，直线NFMF 22 、的倾斜角分别为?、且 ?，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标 （ 21）（本小题满分 12分） 已知函数xaaxxxf ln)3(21)( 2 ?，Ra?. ( )若曲线)(xfy?在点)1(,1( f处的切线与直线012 ? yx垂直，求a的值； ( )设)xf有两个极值点21、，且21?，求证：5)() 21 ? xfx. 5 请考生在第 22、 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 （ 22） （本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 以坐标原点 O 为极 点 ， x 轴的
10、正半轴为极轴建立极坐标系 ,已知曲线 C 的极坐标方程为? ?1 3sin 4? （ ）求曲线 C的参数方程； （ ）若曲线与 x轴的正半轴及 y轴的正半轴分别交于点 A,B,在曲线 C上任取一点 P， 且点 P在第一象限 ,求四边形 OAPB面积的最大值 （ 23）（本小题满分 10分）选修 4-5： 不等式选讲 已知函数2( ) 2f x x a? （ ）若3(0) (1) aff a?,求实数 a的取值范围； （ ）对任意1x,? ? 1fx恒成立 ,求实数a的值 6 博爱一中 2018 届高三年级收心考试 理科数学 参考答案 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，每小题给出四个
11、选项中，只有一项符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D A B B C B D D A D A 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 13 240 14.【解析】由条件得 cosABC= ， sinABC= . 在 ABC 中，设 BC=a， AC=3b，则 9b2=a2+4- a. 因为 ADB 与 CDB 互补，所以 cosADB= -cosCDB ，所以 =- ， 所以 3b2-a2=-6， 联合 解得 a=3， b=1，所以 AC=3， BC=3. 在 ABC 中， cosC= = = . 15【解析】试题分析：在等腰 中， ， ，
12、取 的中点 ，连接 ，重心为 的三等分点， ， ，由于 底面 ，直线 与底面 所成角的正切值为 ，所以 ， ，在等腰 中， ，所以 的外接圆直径 ，设 的外接圆圆 心为 ，四面体 的球心为 ，在 中，球的表面积为 ，故答案为. 16解析：以 A为坐标原点，以 AB， AD所在直线为 x轴， y轴建立直角坐标系，设 P(x， y)，则AP7 (x， y) (0,1) (3,0) (3 ， )，故有 3 x， y ，因此 z x3 y，又由题意圆 C 的 圆心坐标为 (1,1)，且直线 BD 的方程为 x 3y 3 0，则圆心到直线的距离即为半径 R1010 ，因此圆的方程为 (x 1)2 (y
13、1)2 110，当直线 zx3 y与圆相切时，可得 z 1或 z53，又因点 P在圆的内部，故 z x3 y的取值范围是 ? ?1， 53 . 三、解答题：解答 应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 17） 解析：（ ）由正弦定理得22 sin sin 1 0AA? ? ?，于是sin 1A?或1sin 2A?（舍去） . 因为0 A ?， 所以23AC?，. ? 6分 （ ）由题意及余弦定理可知22 196a b ab? ? ?， 由20a ab b? ? ?得( )( 2 ) 0a b a b? ? ?，即2ab? ， ? 8分 联立 解得7 4 7ba，.所以1 sin 14 32AB
14、CS ab C?. ? 12分 （ 18） 证明 解：（ 1） AB=2,AE=3,5?DE222 AEDEAD ?DE? 又 ABCD为正方形，DCAD?， 从而 AD 平面 EDC， 于是面 ABCD?面 EDC。 ?4 分 （ 2）由（ 1）知 ADDE ， ADD C， EDC 是二面角 E AD C的平面角。 作 EODC 交 DC于 O，则1co s ? EDODEAO， 且 EO 面 ABCD。取 AB中点 M，则 OMDC 。 ?6 分 以 O为坐标原点，OEOC,方向为zyx ,轴正方向建立直角坐标系 Oxyz。 于是， E（ 0， 0， 2）， D（ 0， 1， 0）， B
15、（ 2， 1， 0）， A（ 2， 1， 0）； 得)0,2,2(?DB，)2,1,2(?AE，)0,2,2( ? ? DBEF； )2,12,22( ? ?EFAEAF，又面 ABCD的一个法向量为)1,0,0(k?，设直线 AF 与平面ABCD所成角为?，则 324)12()22( 2|,| 22 ? ? kAFCosSin ?8 得0?（舍去）或21?， ?9 分 )0,1,1(),2,2,1( ? EFAF， 设面 AEF的法向量为),( zyxn?，则 ? ? ?yzyxyxzyxEFnAFn230 02200?取)3,2,2(,2 ? ny ?；又面 EDC的一个法向量为)0,0,1(?i?17172| ? in ininCos ?11 分 又二面角 AF E DC为锐角 ,所以其余弦值为17172?12 分 （ 19） 解析：（ 1） X=3, y=4 ; （ 2）由 题意知：因为景点甲的每一天的游客 数超过 120人的概率为53106， 任取 4天，即是进行了 4次独立 重复试验，其中有 次发生， 故 随 机 变 量 服 从 二 项 分 布 ， 则 P （ 2 ）=625328525352535315322243144004 ? ? CCC（ 3）从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有 1天，景点乙的数据中符合条件的有
