1、 1 湖北省荆州市沙市区 2018 届高三数学上学期第四次双周考试题 理 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1设集合 ? ?14A x x? ? ? ，集合 ? ?2 2 3 0B x x x? ? ? ?,则 ? ?RAB? （ ） A (1， 4) B (3， 4) C (1， 3) D ? ? (1,2 3,4) 2设 ab, 为实数，若复数 121iab ii? ?,则（ ） A 1, 3ab? B 3, 1ab? C 13,22ab? D 31,22ab? 3等比数列 na 的前项和为 n
2、S ，若 33306, 4a S xdx?，则公比的值为（ ） A 1 B 12? C 1 或 12? D 1? 或 12? 4已知 xy, 满足不等式组 2 3 03 2 01xyxyy? ? ? ? ?，则 z x y? 的最大值是（ ） A 6 B 4 C.0 D 2? 5在明朝大位算法统宗中有这样的一首歌谣： “ 远看巍巍七层 ,红光点点倍加增 ,共灯三百八十一，请问尖点几盏？ ” 这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有 7 层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共悬挂有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？ （ ） A 5 B 6 C. 4 D 3 6已知双曲线 ? ?22:
3、1 0 , 0xyC a bab? ? ? ?的左顶点为 A ，右焦点为 F ，点 )(0,Bb，且 0BABF?，则双曲线 C 的离心率为 （ ） A 51? B 512? C. 2 D 3 7如图，是某几何体的三视图，图中每个正方形边长都为 4，则该几何体的体积为（ ） A 32643?B 96 3643 ?C. 64 2643 ?D 64 16? 2 8函数 ? ? ()f x Asin x? ?(其中 0, 0, 2A ? ? ?)的图象如图所示，为了得到 22y cos x? 的图象，则只要将 ?fx的图象（ ） A向左平移6?个单位长度 B向右平移6?个单位长度 C.向左平移 12
4、? 个单位长度 D向右平移 12? 个单位长度 9已知定义在 R 上的偶函数 ( ) 2 1( )xmf x m R? ? ?，记 0 .5 2(lo g 3 ), (lo g 5 ), ( 2 )a f b f c f m? ? ?，则 ,abc的大小关系为（ ） A abc? B a c b? C.c a b? D c b a? 10已知抛物线 2:8C y x? 的焦点为 F ，点 ( 2,2)M? ，过点 F 且斜率 为的直线与 C 交于 ,AB两点，若90AMB? ? ? ，则 k? （ ） A 2 B 22 C. D 2 11如图，已知点 D 为 ABC? 的边 BC 上一点， 3
5、 , ( )nBD DC E n N ?为边 AC 上的一列点，满足11 ( 3 2 )4n n n n nE A a E B a E D? ? ?，其中实数列 na 中 10, 1naa?，则 na 的通项公式为（ ） A 132 2n? B 123 1n? C.32n? D 21n? 12已知定义在 R 上的函数 ()fx和 ()gx分别满足 2 2 2(1)( ) 2 (0 )2 xff x e x f x? ? ? ? ?， ( ) 2 ( ) 0g x g x? ?，则下列等式成立的是（ ） A (2 ) (2 0 1 5) (2 0 1 7 )f g g? B (2 ) (2 0
6、1 5) (2 0 1 7 )f g g? C. (2 0 1 5) (2 ) (2 0 1 7 )g f g? D (2 0 1 5) (2 ) (2 0 1 7 )g f g? 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13动圆圆心在抛物线 2 8xy? 上，且动圆恒与直线 20y? 相切，则动圆必过定点 第 7 题图 第 8 题图 3 14已知 1, 0xy? ? 且满足 21xy?，则 121xy?的最小值为 15设 ? 为锐角， (c o s , sin ), (1, 1)ab? ? ?，且 223ab?，则 5sin( )12? 16在底面是边长为 6 的正方
7、形的四棱锥 P ABCD? 中，点 P 在底面的射影 H 为正方形 ABCD 的中心，异面直线 PB 与 AD 所成角的正切值为，则四棱锥 P ABCD? 的内切球与外 接球的半径之比为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知在 ABC? 中， ,abc分别为角 ,ABC 的对边，且 22,bc是关于的方程 22( ) 0x a bc x m? ? ? ?的两根 . （ 1）求角 A ； （ 2）若 3a? ，设角 B? ， ABC? 周长为，求 ()yf? 的最大值 . 18. 已知正项数列 na 的前项和 nS 满足 2
8、8 4 3n n nS a a? ? ?，且 2a 是 1a 和 7a 的等比中项 . （ 1）求 na ； （ 2）符号 x 表示不超过实数的最大整数，记2 3log ( )4nn ab ?，求 1 2 32nb b b b? ? ? ?. 19. 如图，正四棱锥 S ABCD? 的底面边长为 2， ,EF分别为 ,SASD 的中点 . （ 1）当 5SA? 时，证明：平面 BEF? 平面 SAD ； （ 2）若平面 BEF 与底面 ABCD 所成的角为3?，求 S ABCD? 的体积 . 20. 已知 O 为坐标原点， ( 3,0), ( 3,0)CD? ，动点 A 满足 2 ( 0)AC
9、 AD a a? ? ? （ 1） 求动点 A 所在的曲线方程； （ 2） 若 2a? ，动点 B 满足 4BC BD?， 4 且 AO OB? ，求 AOB? 的面积的取值范围 . 21.已知函数 2( ) 2 ln ( )f x x x m x m R? ? ? ? （ 1） 若已知函数 ()fx在其定义内单调递增，求实数 m 的取值范围； （ 2） 若 175 2m? ，且 ()fx有两个极值点 1 2 1 2, ( )x x x x? ，求 12( ) ( )f x f x? 的取值范围。 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-
10、4：坐标系与参数方程 以坐标原点 O 为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线 1C 的参数方程为 cossinxy ? ?（ ? 为参数，且 ,2 ? ? ? ）曲线 2C 的极坐标方程为 2sin .? （ 1）求 1C 的极坐标方程和 2C 的直角坐标方程； （ 2）若 P 是 1C 上任意一点，过点 P 的直线交 2C 于 ,MN两点，求 PM PN? 的取值范围 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 2 2 3 , ( ) 1 2f x x a x g x x? ? ? ? ? ? ? （ 1）解不等式 ( ) 5gx? ； （
11、2）若对任意 1xR? ，都有 2xR? ，使得 12( ) ( )f x g x? 成 立，求实数的取值范围 . 5 高三年级 第四次双周练理数 答案 一、选择题 1-5: BDCAD 6-10: BACCA 11、 12： BD 二、填空题 13.(0, 2)? 14. 15. 2 156?16.617三、解答题 17. 解：（ 1）在 ABC? 中，依题意有： 2 2 2b c a bc? ? ? 2 2 2 1c o s22b c aA bc? ? ?，又 (0, )A ? ， 3A?（ 2）由 3a? ，3A?及正弦定理得： 2sin sin sinbcaB C A? ? ? 222
12、 s i n 2 s i n , 2 s i n 2 s i n ( ) 2 s i n ( )33b B c C B? ? ? ? ? ? ?， 故 23 2 s i n 2 s i n ( )3y a b c ? ? ? ? ? ? ?，即 2 sin( ) 36y ? ? ?由 203?得： 56 6 6? ? ? ? ?， 当62?，即3?时， max 33y ? . 18. 解：（ 1） 28 4 3n n nS a a? ? ? 当 1n? 时， 21 1 18 4 3a a a? ? ? ，得： 1 3a? 或 1 1a? 当 2n? 时， 21 1 18 4 3n n nS a
13、 a? ? ? ? ?， 22 1 1 1 18 4 4 , ( 4 ) ( ) 0n n n n n n n n na a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 数列 na 的各项均正， 1 4nnaa? 数列 na 的公差为 4 的等差数列， 43nan?或 41nan? 又 2a 是 1a 和 7a 的等比中项， 43nan? （ 2）2 3log ( )4nn ab ?令 1 2 3 2 2 2 22 l o g 1 l o g 2 l o g 3 l o g 2 n nS b b b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 1 1 2 2 3 3
14、4 n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 11 2 2 2 3 2 ( 1 ) 2 2nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 42 1 2 2 2 3 2 ( 1 ) 2 2nS n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 得： 2 3 12 2 2 2 ( 1 ) 2nnS n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 (1 2 ) ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 212 n nnn n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 ( 2) 2 2nS n n? ? ? ? ? 19. 解：（ 1）连接 AC 交 BD 于点
15、 O ，分别以 ,OAOBOS 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 6 因为 5SA? ，所以 3OS? ，则 (0,0, 3)S 2 3 2 3( 2 , 0 , 0 ) , (0 , 2 , 0 ) , ( , 0 , ) , (0 , , )2 2 2 2A D E F? 设 G 是 AD 的中点， 22( , ,0)G ? ， 22( , , 3 )SG ? ? ?， 22( , , 0)EF ? ? ? ， 23( , 2 , )22EB ? ? ? 因为 EF? 平面 ,BEFEB? 平面 BEF ，所以 SG? 平面 BEF ， 又 SG? 平面 SAD ，所以平面 BEF? 平面
16、SAD （ 2）设 OS h? ，则 22(0 , 0 , ) , ( , 0 , ) , (0 , , )2 2 2 2hhS h E F ? 则 22( , , 0)EF ? ? ? ， 2( , 2 , )22hEB ? ? ?，设平面 BEF 的法向量 1 ( , , )n x y z? 则 1100n EFn EB? ? ?，即22 0222 2022xhzxy? ? ? ? ? ?，令 1x? ，则 321,yzh? ?. 所以1 32(1, 1, )n h? ? ?，取平面 ABCD 的法向量为 2 (0,0,1)n ? 根据题意可得 1212cos 60 nnnn? ? ， 即
17、23212 182hh?，解得 33h? 所以 1 3 3 4 4 33S ABC DV ? ? ? ? ?20.解：（ 1）若 2 2 3AC AD a? ? ?，即 3a? ，动点 A 所在的曲线不存在； 若 2 2 3AC AD a? ? ?，即 3a? ，动点 A 所在的曲线方程为 0( 3 3)yx? ? ? ? 若2 2 3AC AD a? ? ?，即 3a? ，动点 A 所在的曲线方程为 221.3xyaa? （ 2）当 2a? 时，其曲线方程为椭圆 2 2 14x y? 由条件知 ,AB两点均在椭圆 2 2 14x y?上，且 AO OB? 设 1 1 2 2( , ), (
18、, ),A x y B x y OA的斜率为 ( 0)kk? ，则 OA 的方程为 y kx? ， OB 的方程为 1yxk? ，解方程组 22 14y kxx y? ?得 22112244,1 4 1 4kxykk?同理 2222244,44kxykk?AOB? 面积 222122 2 21 1 ( 1 )1 1 22 ( 1 4 ) ( 4 )kS k x xk k k? ? ? ? ?，令 21 ( 1)k t t? ? ? 则 7 222122 994 9 94tS tttt? ? ? ?，令 229 9 1 1 2 5( ) 4 9 ( ) ( 1 )24g t tttt? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 254 ( ) 4gt?，即 4 15 S? 当 0k? ，可求得 1S? ，故 4 15 S?，故的最小值为 4,5最大值为 1. 21. （ 1）因为 ()fx的定义域为 ? ?0,? ，且 ()fx在定义域内单调递增， 所以 / 2( ) 2 0f x x mx? ? ? ?，即 2 2mxx? 在区间 ? ?0,? 内恒成立。 所以 4m? ，即取值范围是 ? ?,4? 。 （ 2）由
