1、 1 湖北省荆州市沙市区 2018届高三数学上学期第四次双周考试题 文 一、选择题 : 1复数 (3 2)ii? 的虚部为 A B 2i C D 3i 2下列几个命题中真命题的个数为 1 : , ( )2P x x k k? ? ? ? ?RZ?，若 tan 0x? ，则 sin2 0x? ； 2 3: sin ( )2P y x ?函 数与函数 cosyx? 的图象相同； 3:P 抛两枚均匀的骰子，恰好出现一奇一偶的概率为 14 ； 4:P 方程 22125xymm?表示双曲线的一个充分不必要条件是 58m? A 1 B 2 C 3 D 4 3已知向量 (1, 2) (1, )? ? ?，a
2、b，且 a 与 b的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 A 22( 2 ) ( )33? ?， ，B 1( 2) ( 2 )2? ? ?， ，C 1()2 ?，D 1()2?，4 执行右面的程序框图，如果输入的 1,4x? ，则输出的属于 A 2,5? B 2,3)? C 3,5)? D 3,5? 5 函数 2 | |22xyx? ? 在 2,2? 的图象大致为 6 从区间 ? ?0,1 随机抽取 2m 个数 1x , 2x ，?， nx ， 1y ， 2y ，?， ny ，构成 n个数对 ? ?11,xy ， ? ?22,xy ，?，? ?,nnxy ，其中两数的平方和小于 1的数对共有个，则
3、用随机模拟的方法得到的圆周率 ? 的近似值为 A 4nm B 2nm C 4mn D 2mn 2 7设 z x y? ,其中实数 ,xy满足 2000xyxyyk?,若的最大值为 6，则的最小值为 A 2? B 3? C 1? D 0 8 已知定义域为 R 的奇函数 y = f (x)的导函数为 ()y f x? ，当 x0 时， ()( ) 0fxfxx? ?，若11( ) 2 ( 2 )22a f b f? ? ? ?， ， 11(ln ) (ln )22cf? ， 则 a、 b、 c的大小关系正确的是 A a 0，都有 2( ) 1F x e? (注： 1ln( 1) 1x x? ) 2
4、2 (本小题满分 10分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C：2sin 2 c o s ( 0 )aa? ? ?，过点 ( 2 4)P?， 的直线 l的参数方程为：222242xtyt? ? ? ? ?(t为参数 )，直线 l与曲线 C分别交于 M、 N两点 ( )写出曲线 C的直角坐标方程和直线 l的普通方程； ( )若 | PM |， | MN |， | PN |成等比数列，求 a的值 23 (本小题满分 10分 )选修 4 5：不等式选讲 ( )若存在 xR? ，使得 2 4| | | 2 | tx a x t
5、? ? ? ?对任意 0t? 恒成立，求实数的取值范围； ( )若 | | 2 | 1 | 1x a x? ? ? ?对任意 xR? 恒成立，求实数的取值范围 xxiv (本小题满分 12 分 )动点 P 到定点 F(0， 1)的距离比它到直线 2y? 的距离小 1，设动点 P 的轨迹为曲线 C ，过点 (0,4) 的直线交曲线 C于 A、 B两个不同的点 ( ) 求曲线 C的方程； ( ) 求 OAOB? 的值（其中 O 为坐标原点）； ( ) 已知 直线为曲线 C 的准线，直线是曲线 C 的通径所在的直线，过 C 上一点 0 0 0( , )( 0)Q x y y ?作直线与曲线 C 相切
6、，若直线与直线相交于点 M ，与直线相交于点 N ，证 明：点 Q 在曲线 C上移动时， |MFNF恒为定值，并求出此定值 xxv (本小题满分 12 分 )已知函数 ( ) ln 2f x x?， ( ) ln( 1)g x x?， 直线 y kx b?是函数 ()fx和()gx图象的公切线 ( )求实数 ,kb的值； ( )设 1( ) 1 ( ) ( )F x f x g xx? ? ? ?，证明：对任意 x 0，都有 2( ) 1F x e? (注： 1ln( 1) 1x x? ) xxvi (本小题满分 10分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴
7、的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C：2sin 2 c o s ( 0 )aa? ? ?，过点 ( 2 4)P?， 的直线 l的参数方程为：222242xtyt? ? ? ? ?(t为参数 )，直线 l与曲线 C分别交于 M、 N两点 ( )写出曲线 C的直角坐标方程和直线 l的普通方程； ( )若 | PM |， | MN |， | PN |成等比数列，求 a的值 xxvii (本小题满分 10分 )选修 4 5：不等式选讲 ( )若存在 xR? ，使得 2 4| | | 2 | tx a x t? ? ? ?对任意 0t? 恒成立，求实数的取值范围； ( )若 | | 2 | 1 |
8、1x a x? ? ? ?对任意 xR? 恒成立，求实数的取值范围 1 C 2 C 解： 3P 错，其余都对 3 B 4 D 5 A 【解析】本题考查函数图象及其性质 .由 y=-2x2+2|x|知函数为偶函数 ,即其图象关于 y 轴对称 ,故可排除 B,D.又当 x=2时 ,y=-2 (-2)2+22=-4.所以 ,C 是错误的，故选择 A. 6 A 7 8 B 9 A 解： 由题设知 BOC=2 BAC, sin BAC= 63 ， cos BAC= 33 ，由 2AD AB AC?可 得2AB? ， 2CS? ? 10 B 11 D 12 C 13 55? 14 ( , 0) (1 2
9、, )? ? ? 15 32 解： ( ) sin(2 )6f x x ?， 6T? ，1 2 3 2 0 1 8 1 2 131 22a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?16 (0, )e? ? 解： 1 lnxxa? 17 （ 2018考试说明 P44）解：（ 1） 3C? ； （ 2） 在 锐角 ABC? 中， ( , )62A ? ， ( ) 2 sin (2 )4f A A ?， 31( , 22? 18 ( )证： M 为 DB 的中点，取 BC 中点 G，连接 EM、 MG、 AG，则 MG DC，且 12MG DC? 2 分 MG AE 且 MG = AE
10、4 分 故四边形 AGME 为平行四边形， EM AG 6 分 又 AG?平面 ABC， EM 平面 ABC， EM 平面 ABC 8 分 ( ) 解： 由己知， AE = 2， DC = 4， AB AC，且 AB = AC = 2， EA 平面 ABC， EA AB 又 AB AC， AB 平面 ACDE， AB 是四棱锥 B ACDE 的高 10 分 梯形 ACDE 的面积 ( ) ( 2 4 ) 2 622A E D C A BS ? ? ? ? ? ? 1 43B ACDEV Sh? ?，即所求几何体的体积为 4 12 分 19 解： ( )从 5,15) 岁这一年龄组中抽取的人数为
11、 4 50.8? ，且频率为 0.010 10 0.1? ， 5 500.1n?； 2分 又第二组的频率为 0.2 ，则第二组人数为 10人， 5 0.510p? 4 分 平均数 0 . 1 1 0 0 . 2 2 0 0 . 3 3 0 0 . 2 4 0 0 . 1 5 0 0 . 1 6 0 3 3x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（岁） 6 分 ( ) 22? 列联表如下： 年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 支持 3 29 32 不支持 7 11 18 合计 10 40 50 2 2 5 1 7 1 7 7 2 2 5 6 . 2 7 6
12、. 6 3 52 3 2 1 8 1 1 5 2K ? ? ? ? ， 没有 99%的把握认为以 45 岁为分界点的不同人群对“生育 二孩放开”政策的支持度有关系。 20 ( )解：由已知， 动点 P 在直线 2y? 上方，条件可转化为动点 P 到定点 F(0， 1)的距离等于它到直线 1y? 距离 1 分 动点 P 的轨迹是以 F(0， 1)为焦点，直线 1y? 为准线的抛物线 故其方程为 2 4xy? 3 分 ( )证：设直线 AB 的方程为： 4y kx?， 由 ? 2 4 4xyy kx?得： 2 4 16 0x kx? ? ? 4 分 设 A(xA， yA)， B(xB， yB)，则
13、 4 1 6A B A Bx x k x x? ? ? ?， 5 分 21212 () 1616xxyy ?， 1 2 1 2 0O A O B x x y y? ? ? ?； 6 分 ( )证明： 2 42xxyy? ? ? ，设切线 l 的方程为 000()2xy y x x? ? ?， 7 分 化简后可得 002( )x x y y?， 将点 M， N的纵坐标分别代入直线方程，得 0022( ,1)yM x? ， 0022( , 1)yN x? ? 9 分 (0,1)F ， 0022| | | |yMF x? ， 2 2 20 0 0 0220 0 0( 2 2 ) ( 1 ) 1| |
14、 4 2 2 | |y x y yNF x x x? ? ? ? ? ? ?， 11分 |1MFNF?，点 P 在抛物线 C 上移动时， |MFNF恒为定值 1 12分 21 ( ) 分析：同一条直线和两条曲线相切，不是切于同一点，故需要分别设出两个切点坐标，再找等量关系。 解：设直线分别与函数 ln 2yx?和 ln( 1)yx?的图象切于点 1 1 2( , ),B( , )A x y x y，则 11ln 2yx?，22ln( 1)yx?，且 211211 11k x xxx? ? ? ? ? ， 2 2 1ln( 1) lny x x? ? ?， 2 分 b y kx? ，1 1 2
15、2 1 1 1 111l n 2 l n ( 1 )y k x y k x x x x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，解得：1 12x?， 4 分 2k? ， 111 ln 2b y kx? ? ? ? 6 分 ( )证： (1 l n ) l n ( 1 )F ( ) ( 0 )x x x xxxx? ? ?， 对任意 x 0， 2F( ) 1xe? 等价于 2(1 )1 ln ln ( 1)xex x x x ? ? ? ?， 7 分 令 ( ) 1 ln ( 0 )p x x x x x? ? ? ?，则 ( ) ln 2p x x? ? ? ， 由 ( ) ln 2
16、 0p x x? ? ? ? ?得： 2xe? ， 8 分 当 x (0， 2e? )时， ( ) 0px? ? ， p (x)单调递增，当 x ( 2e? ， )时， ( ) 0px? ? ， p (x)单调递减 ()px 图象如图 ， 所以 p (x)的最大值为 22( ) 1p e e? ，即 21 ln 1x x x e? ? ? 10 分 设 ( ) ln( 1)q x x x? ? ?，则 ( ) 01xqx x? ? ， 当 x (0， )时， q (x)单调递增， q (x) q (0) = 0 故当 x (0， )时， ( ) ln( 1) 0q x x x? ? ? ?，即 1ln( 1)xx ? 11 分 22 (1 )1 ln 1 ln ( 1 )xex x x e x ? ? ? ? ? ? ， 对任意 x 0，都有 2( ) 1g x e? 12 分 22 23 （） 2 4| | | 2 | tx a x t? ? ? ?对任意 0t? 恒成立，而 2 4 4t t? ? ， | | | 2 | 4x a x? ? ? ?， 则存在 xR? ，使得 | | | 2 | 4x a x? ? ? ?，又 | | | 2 | | 2 |x a x a? ? ? ? ?， | | 4a? ， 解得 2,6a? . ? 5 分
