1、 - 1 - 湖南省衡阳县 2018届高三数学上学期第二次月考试题 理 一、 选择题（本大题共 12个小题 ， 每小题 5分 ， 共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1 已知复数 iiz ?12 ,其中 i 为虚数单位，则 z 所对应的点位于（ B ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2.已知集合 1log|21 ? xxA， 22| ? xxB ，则 AB?（ C ） A 1( ,2)2 B 1( , )2? C (0, )? D (0,2) 3. 执行如图所示的程序框图 ， 输出 S 的值为 ( D ) A 1 B 2015 1? C 2
2、016 1? D 2017 1? 4.在 6(1 2 )x? 的展开式中， 2x 的系数为 ( B ) A 32 B 60 C 64 D 80 5. 若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示，则它的侧视图的面积为 ( D ) A 3 B 32 C 32D 34 6设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 B ，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ( D ) A 2 B 3 C 312?D 512?7. 函数 2( ) sin ln ( 1)f x x x? ? ?的部分图像可能是 ( B ) Oyx Oyx Oyx. Oyx.A B C D 8. 过抛物线 xy
3、 42? 的焦点的直线与圆 02422 ? yxyx 相交，截得弦长最短时直线方程为 ( B ) 衡阳县一中2018届高三模拟正视图 俯视图 1 3- 2 - A. 01?yx B. 01?yx C. 01?yx D. 01?yx 9、在 ABC? 中， AB=3， AC=2， BC= 10 ，则 AB AC? ( D ) A 23? B 32? C 32 D 23 10、 如果等差数列 ?na 中， 34512a a a? ? ? ，那么 1 2 7.a a a? ? ? ?( C ) （ A） 14 （ B） 21 （ C） 28 （ D） 35 11、算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江
4、陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：“ 置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一”该术相当 于给出了圆锥的底面周长 L 与 高 h ，计算其体 积 V 的近似公式 2136V Lh? ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 ? 近似取为 3那么近 似公式 2275V Lh? 相当于将圆锥体积公式中的 ? 近似取为 ( B ) A 227 B 258 C 15750 D 355113 12、设实数 0? ，若对任意的 ),0( ?x ，不等式 0ln ? ? xe x 恒成立，则 ? 的最小值为( A ) eA1. eB21. eC2. 3.eD 二、 填
5、空题（本大题共 4小题，每题 5分，满分 20 分） 13、 若变量 ,xy满足约束条件 3 2 9,6 9,xyxy? ? ? ? ? ?则 2z x y? 的最小值为 _ 6? _ 14、两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为 32 和 43 ，两个零件是 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 _125 _ 15、 满足条件 2?AB ， BCAC 2? 的三 角形 ABC 的面积的最大值是 22 16、 数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 321 ?a， 321 ? nn Sa. 用 x 表示不超过 x 的最大整数，如： 16.1,14.0 ?
6、。设 nn ab? ， 则 数 列 nb 的前 n2 项 和 为_ nn ? )12(32 2 _. - 3 - 三、 解答题（本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17、（本小题满分 12 分）设 ABC? 是锐角三角形， ,abc分别是内角 ,ABC 所对边长，并且 22s i n s i n ( ) s i n ( ) s i n33A B B B? ? ? ?。 （ 1）求角 A 的值； （ 2）若 1 2, 2 7AB AC a?，求 ,bc（其中 bc? ）。 答案：（ 1） 3?A （ 2） 6,4 ? cb 18、 已知具有相关关系的两个
7、变量 ,xy之间的几组数据如下表所示： （ 1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a?，并估计当 20x? 时， y 的值； （ 2）将表格中的数据看作五个点的坐标，则从这五个点中随机抽取 3个点，记落在直线2 4 0xy? ? ? 右下方的点的个数为 ? ，求 ? 的分布列以及期望 . 参考公式： 1221()niiiniix y nxybx n x?， a y bx? . （ 1）依题意， 1 ( 2 4 6 8 1 0 ) 65x ? ? ? ? ? ?， 1 ( 3 6 7 1 0 1 2 ) 7 .65y ? ? ? ? ? ?， 5 2
8、1 4 1 6 3 6 6 4 1 0 0 2 2 0ii x? ? ? ? ? ? ?， 51 6 2 4 4 2 8 0 1 2 0 2 7 2iii xy? ? ? ? ? ? ?， 5 15 22215 2 7 2 5 6 7 . 6 4 41 . 12 2 0 5 6 4 05 ( )iiiiix y x ybxx? ? ? ? ?， 7.6 1.1 6 1a ? ? ? ?； 回归直线方程为 1.1 1yx?，故当 20x? 时， 23y? . （ 2）可以判断，落在直线 2 4 0xy? ? ? 右下方的点满 足 2 4 0xy? ? ? ， 故符合条件的点的坐标为 (6, 7
9、), (8,1 0), (10,1 2)，故 ? 的可能取值为 1,2,3； 212335 3( 1) 10CCP C? ? ? ?， 122335 6( 2 ) 10CCP C? ? ? ?， 3335 1( 3) 10CP C? ? ? ?， - 4 - 故 ? 的分布列为 故 3 6 1 1 8 9( ) 2 31 0 1 0 1 0 1 0 5E ? ? ? ? ? ? ? ?. 19 （本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 P-ABCD中 ,PC底面 ABCD，底面 ABCD是直角梯形， AB AD， AB/CD， AB=2AD=2CD=2,E是 PB 上的点 （ 1） 求证：平面
10、EAC平面 PBC； （ 2）若 E是 PB 的中点，且二面角 P-AC-E的余弦值为 36，求直线PA与平面 EAC所成角的正弦值 解： （ 1）证明： PCACA B C DACA B C DPC ? ,平面，平面 , ,2,1,2 222 ABBCACBCACCDADAB ? BCAC? , , PBCACCPCBC 平面又 ? PBCEACEACAC 平面平面平面 ? ,. 4分 （ 2）以 C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 C（ 0， 0， 0）， A （ 1， 1， 0）， B （ 1， 1， 0）设 )0)(,0,0( ?aaP ，则 )2,21,21( aE ? ),
11、2,21,21(),0,0(),0,1,1( aCEaCPCA ? 6分 取 )0,1,1( ?m ， 因为 0? CAmCPm ， 所以 m 为面 PAC 的法向量， 设 ),( zyxn? 为面 EAC 的法向量，则 0? CEnCAn ， 即? ? ? 00azyx yx，取 2, ? zayax ，则 )2,( ? aan ， 8分 依题意362| |,c o s| 2 ? a anm nmnm，则 2?a 10 分 于是 )2,2,2( ?n , (1,1, 2)PA?， 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ? ，则32| |,c o s|s i n ? nPA nPAnPA?.
12、 12分 PBCDAE- 5 - 20、 （本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆 )0(1:2222 ? babyaxC 的焦 距为 4 ， A 为短轴的端点， F 为左焦点，直线 AF 与椭圆交于另一点 B ，且 |3| BFAF ? . （ 1） 求椭圆 C 的方程； （ 2） 是否存在过点 )1,0( 的直线 l 与椭圆交于 QP, 两点 ，且 | QFPF ? ？若存在，求出满足条件 的直线 l 的方程；若不存在，说明理由 . 答案：（ 1） 148 22 ?yx（ 2） 0?x 21、 （本小题满分 12分） 已知 Ra? ，函数 axexf x ? ?1)( 在点 )1,1( a
13、? 处与 x 轴相切 . （ 1） 求 a 的值，并求 )(xf 的单调区 间； （ 2） 当 1?x 时， xxmxf ln)1()( ? ，求实 数 m 的取值范围 . 解析：（ 1）函数 )(xf 的定义域为 R ， aexf x ? ?1)( 因为 )(xf 在点 )1,1( a? 处与 x 轴相切， 所以 01)1( 11 ? ? aaef 1?a 1)( 1 ? ?xexf 当 01)( 1 ? ?xexf 时， 1?x ， 当 01)( 1 ? ?xexf 时， 1?x ， 故函数 )(xf 的递增区间为 ),1(? ，递减 区间为 )1,(? ； 5分 （ 2） 令 0,ln)
14、1()()( ? xxxmxfxg ，则 1)1( ln)( 1 ? ? xxxmexg x ， 令 )()( xgxh ? ， )11()(21 xxmexh x ? ?（ i）若 21?m ，因为当 1?x 时， 11?xe ， 1)11(2 ? xxm，所以0)( ?xh ， 所以 )(xh 即 )(xg? 在 ),1(? 上单调递增， - 6 - 又因为 0)1( ?g ，所以当 1?x 时， 0)( ?xg ， 从 而 )(xg 在 ),1? 上单调递增，而 0)1( ?g ， 所以 0)( ?xg ，即 xxmxf ln)1()( ? 成立 . 9分 （ ii）若 21?m ，可以
15、 )(xh? 在 ),0( ? 上单调递增， 因为 021)1( ? mh ， 0)2ln(1( ? mh ， 所以存在 )2ln(1,1(1 mx ? ，使得 0)( 1 ? xh ， 且当 ),1( 1xx? 时， 0)( ?xh ，所以 )(xh 即 )(xg? 在 ),1( 1x 上单调递减， 又因为 0)1( ?g ，所以当 ),1( 1xx? ， 0)( ?xg ， 从而 )(xg 在 ),1 1x 上单调递减 ，而 0)1( ?g ， 所以当 ),1( 1xx? 时， 0)( ?xg ，即 xxmxf ln)1()( ? 不成立 . 综上所述， m 的取值范围为 21,(? 请考
16、生在第 22、 23二 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 .答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 . 22、 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 以直 角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的的长度单位，已知曲线 1C 的 参 数 方 程 为 2 c o s ()s inxy ? ? ? 为 参 数，曲线 2C 的极坐标方程为? ? ?（ c o s + 2 s i n） +2=0.曲线 2C 的图象与 x 轴、 y 轴分交于 BA、 两点 . （ 1）判断 BA、 两点与曲线 1C 的位置关系； （ 2）点 M 是
17、曲线 1C 上的动点，求 MAB? 的面积最大值 . 解：（ 1） 2 21C14x y?曲 线 的 普 通 方 程 为， 2C x + 2 y + 2 = 0曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 容易 求得 曲线 2C 与 x 轴、 y 轴的交 点 坐标 分别是 )1,0(),0,2(A ? B ， 代入椭圆方程可得 BA、两点分别是曲线 1C 的左顶点和下顶点 ,故 BA、 两点均在曲线 1C 上 . 5分 - 7 - （ 2）设 M 的坐标为 ( 2 c o s , s in ) , ( 0 , 2 ) )? ? ? ?，则点 M 到直线 x+2y+2=0 的距离为| 2 2 s in ( ) 2 | 2 c o s 2 s in 2 | 455d? ? 而 |AB 的长度为 5 ，所以 MAB? 的面积为M A B 1 | | | 2 s i n ( ) 1 |24S A B d ? ? ? ? ?故 M A B m ax 2 1S? ?.
