1、 - 1 - 2018届高三上学期第四次月考文科数学试卷 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知 zC ，若 (1 )z i i? ， 则 z 所对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2.已知集合 1 , 2 , ( , ) | , , A B x y x A y A x y A? ? ? ? ? ?，则 B 的子集共有 （ ） A 2个 B 4个 C 5个 D 8个 3.指数函数 y=b? xa 在 b,2上的最大值与最小值的和为 6.则 a 值为 （ ） A .2 B
2、 . -3 C .2或 -3 D .21 4.“ 函数 f（ x） =a+lnx（ x e）存在零点 ” 是 “ a -1” 的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分不用必要条件 5.已知函数 f（ x） = 3 )2sin( ?x - )2cos( ?x （ |? |0, 则 ma 111?的最小值为（ ） A .2 B . 2 C .2 2 D .2+ 2 二、填空题：本大题共 4小题。每小题 5分 13已知双曲线 )0,0(12222 ? babyax 的离心率为 3 ，则该双曲线的渐近线方程为 _ 14.已知等差数列 ?na 的前 n
3、 项和为 nS ，若 17 180, 0SS?，则 nS 取最大值的 15. 平面直角坐标系中， ( 1,0), (1,0)AB? ，若曲线 C 上存在一点 P ，使 0PA PB?，则称曲线 C 为“合作曲线”，有下列曲线 2212xy?； 2 1yx?； 2221yx?；2231xy?； 24xy?， 其中“合作曲线”是 （填写所有满足条件的序号） 16.在 ABC? 中， ? ?sin sin sinA B C B? ? ?， D 是边 BC 的一个三等分点（靠近点 B ），记 sinsin ABDt BAD? ? .当 t 取最大值时， 则 tan ACD? 的值 为 . - 3 -
4、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M在直线 y+1=0上截得线段长为 2 2 ，在 y轴上截得线段长为 2 3 （ 1）求圆心 M的轨迹方程； （ 2）若点 M在直线 l： x y 1=0的上方，且到 l的距离为 22，求圆 M的方程 . 18（本小题满分 12分） 已知函数 f（ x） 2sinxcosx 3 （ 2cosx 2sinx ）， x R （ 1）求 f（ x）的单调递增区间； （ 2）若 x? 4? ， 2? 使 f（ x） m 3成立，求实数 m的取值范围 19（本小题满分 12分） 已知数列
5、 ?na 的前 n 项和 2 2nS n kn? （其中 *k?N ），且 nS 的最小值为 -9. （ 1）确定常数 k ，并求 na ； （ 2）若数列 nb 满足： na 13b 1 223b 1 333b 1? 3nnb 1，求数列 nb 的通项公 式 . - 4 - 20（本小题满分 12分） 已知函数 ? ?xmfxa?（ ,ma为常数 ， 0a? 且 1a? ）的图象过点 ? ? 12,4 , 1,2AB?. （ 1） 求实数 ,ma的值； （ 2）若函数 ? ? ? ? ? 11fxgx fx? ?，求 不等式 2 4 5 113xxg x? ?的解集 . 21 (本小题满分
6、12分 ) 已知椭圆 E: )0(12222 ? babyax 经过点 P(2,1)，且离心率为 23 （ 1）求椭圆的 标准 方程； （ 2）设 O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点 M， N 满足 OM NO? ，直线 PM、 PN 分别交椭圆于 A， B探求直线 AB 是 否过定点，如果经过 定点 请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由 22（本小题满分 12分） 已知函数axxxxf ? 1ln)(，其中a为大于零的常数 . （ 1）若函数),1)( ?在区间xf内单调递增，求a的取值范围； （ 2）证明2( 1) ln 1a x x x? ? ?，在区间1, )?恒成立； （ 3）
7、求函数)(xf在区间,1e上的最小值 . - 5 - 2018届高 三上 学期第 四 次月考文科数学试卷 参考答案 一、选择题： (本大题 共 12小题，每小题 5分，共 60分 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A B A C D C D C B A 二、填空题（ 本大题共 4小题 ，每题 5分，共 20分） 13 xy 2? 14 9 15 16 23? 三、解答题（本大题共 6小题，共 75 分） 17.解 ： （ 1）设 M(x， y)，圆 M的半径为 r 由题设 (y+1)2+2=r2， x2+3=r2 从而 (y+1)2+2=x2+3 故
8、点 M的轨迹方程为 (y+1)2 x2=1 ? 5分 （ 2）设 M(x0， y0)由已知得 0012yx?错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。 ，即 y0=x0 又因为 (y0+1)2 x02=1从而得 y0=x0=0 错误！未找到引用源。 此时，圆 M的半径 r= 3 错误！未找到引用源。 故圆 M的方程为 x2+y2=3 ? 10分 - 6 - 32 2531m mm ? ? ? ? ? ? ? 12 分 19.解：（ 1）因为 2 2nS n kn? ? ? ?2 22n k k k? ? ? ?， 所以 2 9k? ? ，解得 3k? ， 2 6nS n n?. 当 2n?
9、时， 1 27n n na S S n? ? ? ?，显然当 1n? 时，也满足 . 所以 27nan?.? 6分 （ 2） na 13b 1 223b 1 333b 1? 3nnb 1， 1na? 13b 1 223b 1 333b 1 ? 3nnb 1 113 nnb? 1 ， 113 nnb? 1 1 2nnaa? ? ? 11 2(3 nnb ? ? 1) 2(3nnb ? 1) (n 2) 又当 111, 4 20n b a? ? ? ? 20, 12(3n nnb ? ? ? 1), n 2? 12 分 20. 解：（ 1）把 ? ? 12,4 , 1,2AB?的坐标代入 ? ?x
10、mfxa?， 得 21412mama? ? ?， 解得 11,2ma?.。 4分 （ 2）由（ 1）知 ? ? 2xfx? ， 所以 ? ? ? ? ? 1 211 2 1xxfxgx fx ? ?， 所以函数 ?gx的定义域为 R .又 ? ? ? ?2 1 2 2 2 2 12 1 2 2 2 2 1x x x x xx x x x xg x g x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以函数 ?gx为奇函数 .且 ? ? 2 1 212 1 2 1xxxgx ? ? ?单调递增 224 5 1 4 5(1 ) 11 3 1x x x xggxx? ? ? ? ? ? ?
11、2 56 0 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 01xx x x xx? ? ? ? ? ? ?1x? 或 23x?解集 为 ? ?| 1 2 3x x x? ? ?或- 7 - 或设 224 5 2 1 1 4 5111 2 1 3 1ttx x x xttxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 20解 ： （ 1）由椭圆的离心率 e=231 22 ?abac，则 a2=4b2， 。 2分 将 P（ 2， 1）代入椭圆 142222 ?bybx ，则 11122 ?bb，解得： b2=2，则 a2=8， 。 椭圆的方程为： 128 22 ?yx ； 。 5分 （ 2）当 M，
12、 N分别是短轴的端点时，显然直线 AB为 y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在 y轴上， 当 M， N 不是短轴的端点时，设直线 AB 的方程为 y=kx+t，设 A（ x1， y1）、 B（ x2， y2）， 由?tkxyyx 12822 消去 y 得 （ 1+4k2） x2+8ktx+4t2 8=0， 则 =16（ 8k2 t2+2） 0， x1+x2= 1482? kkt， x1x2= 14 8422?kt ， 。 7分 又直线 PA的方程为 y 1=2111?xy（ x 2），即 y 1=2111 ?x tkx（ x 2）， 因此 M点坐标为（ 0，2 2)21( 1 1? ? x
13、txk），同理可知： N（ 0，2 2)21( 2 2? ? x txk）， 由 NOOM? ，则2 2)21( 1 1? ? x txk+2 2)21( 2 2? ? x txk=0， 化简整理得：（ 2 4k） x1x2（ 2 4k+2t）（ x1+x2） +8t=0， 则（ 2 4k） 14 8422?kt （ 2 4k+2t）（ 1482? kkt） +8t=0， 化简整理得：（ 2t+4） k+（ t2+t 2） =0， 当且仅当 t= 2时，对任意的 k都成立，直线 AB过定点 Q（ 0， 2） .。 12分 21解：).0(1)( 2 ? xaxaxxf（ 2分） （ 1）由已知
14、，得),10)( ? 在xf上恒成立， 即),11 ? 在xa上恒成立 又 ?当,11,),1 ? x时),1.1 ? 的取值范围为即 aa（ 4分） （ 2）1a?时，()fx在区间, )?单调递增， - 8 - 21( ) ln ( 1)xg x x ax? ?在区间1, )?单调递增 21( ) ln (1)( 1)xx x gax? ? ?，即21ln 0( 1)xax?整理得2( 1) ln 1a x x x? ? ?（ 8分） （ 3）当1?a时， 0)( ? xf?在),(e上恒成立， )(xf在,1e上为增函数 0)1()( mi n ? fxf当ea 10 ?， )( ? xf在),1(e上恒成立， )(xf在,e上为减函数 .11)()( mi n ae eefxf ?（ 11分） 当1?a时，令).,1(1,0( eaxxf ? 得又有对于 )1,1 ax ? ,0)(,1(,0)( ? xfeaxf 有对于.111ln)1()( mi n aaafxf ?综上，)(xf在,1e上的最小值为 当ea 10 ?时，aeex ? 11( mi n； 当11 ?e时，.111ln)( mi n aaxf ?当0)(,1 mi n ? xfa 时（ 12分）
