1、 1 山东省淄博市 2018届高三数学上学期开学考试试题 理 本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分，满分 150分，考试时间 120分钟 . 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1设复数 z1=1+2i， z2=2 i， i 为虚数单位，则 z1z2=（ ） A 4+3i B 4 3i C 3i D 3i 2已知平面向量 ， 满足 （ + ） =5，且 | |=2， | |=1，则向量 与 的夹角为（ ） A B C D 3下列有关命题的说法中，正确的是（ ） A命题 “ 若 x2 1，则 x 1”
2、 的否命题为 “ 若 x2 1，则 x 1” B命题 “ 若 ，则 sin sin” 的逆否命题为真命题 C命题 “ ?x R，使得 x2+x+1 0” 的否定是 “ ?x R，都有 x2+x+1 0” D “ x 1” 是 “ x2+x 2 0” 的充分不必要条件 4若变量 x， y满足约束条件 ，则 z=3x+5y 的取值范围是（ ） A 3， +） B 8， 3 C（， 9 D 8， 9 5九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “ 今有垣厚五尺，两鼠对穿大鼠日一尺，小鼠亦日一尺大鼠日自倍，小鼠日自半问几何日相逢？各穿几何？ ” ，翻译成今天的话是：一只大鼠和一只小鼠
3、分别从的墙两侧面对面打洞，已知第一天两鼠都打了一尺长的洞，以后大鼠每天打的洞长是前一天的 2 倍，小鼠每天打的洞长是前一天的一半 ，已知墙厚五尺，问两鼠几天后相见？相见时各打了几尺长的洞？设两鼠 x 天后相遇（假设两鼠每天的速度是匀速的），则 x=（ ） A B C D 6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则（ ） A a=11 B a=12 C a=13 D a=14 7某城市有 3 个演习点同时进行消防演习，现将 5 个消防队分配到这 3 个演习点，若每个演习点至少安排 1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） 2 A 150 B 240 C 360 D 540 8某几何体
4、的三视图如图所示（图中网格的边长为 1 个单位），其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A B C D 9已知函数 f（ x） =Asin（ x+ ）（ A 0， 0， | | ）图象如图所示，则下列关于函数 f （ x）的说法中正确的是（ ） A 对称轴方 程是 x= +k （ k Z） B 对称中心坐标是（ +k ， 0）（ k Z） C在区间（ ， ）上单调递增 D在区间（ ， ）上单调递减 10设集合 A=（ x， y） |x|+|y| 2， B=（ x， y） A|y x2，从集合 A中随机地取出一个元素P（ x， y），则 P（ x， y） B的概率是（ ） A B C D
5、11已知双曲线 C1： =1，双曲线 C2： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 F1， F2，M 是双曲线 C2 一条渐近线上的点，且 OM MF2，若 OMF2的面积为 16，且双曲线 C1， C2的离心率相同，则双曲线 C2的实轴长为（ ） A 4 B 8 C 16 D 32 12已知定义域为 R的函数 f （ x）的导函数为 f（ x），且满足 f（ x） 2f （ x） 4，若 f （ 0）= 1，则不等式 f（ x） +2 e2x的解集为（ ） A（ 0， +） B（ 1， +） C（， 0） D（， 1） 二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分 13
6、若 展开式中所有二项式系数之和是 64，常数项为 15，则实数 a的值是 14若圆 C经过坐标原点和点（ 4， 0），且与直线 y=1 相切，则圆 C的方程是 15正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为 16某校学生小王在学习完解三角形的 相关知识后，用所学知识测量高为 AB 的烟囱的高度先取与烟囱底部 B 在同一水平面内的两个观测点 C， D，测得 BDC=60 ， BCD=75 ， CD=40 米，并在3 点 C处的正上方 E处观测顶部 A的仰角为 30 ，且 CE=1米，则烟囱高 AB= 米 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出
7、文字说明，证明过程或演算步骤 17（ 12 分）已知 an为等比数列， a1=1， a4=27； Sn为等差数列 bn 的前 n 项和， b1=3， S5=35 （ 1）求 an和 bn 的通项公式； （ 2）设数列 cn 满足 cn=anbn（ n N*），求数列 cn 的前 n 项和 Tn 18（ 12 分）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名，其中每天玩微信超过 6 小时的用户列
8、为 “ 微信控 ” ，否则称其为 “ 非微信控 ” ，调查结果如下： 微信控 非微信控 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56 44 100 （ 1）根据以上数据，能否有 60%的 把握认为 “ 微信控 ” 与 ” 性别 “ 有关？ （ 2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人并从选出的 5 人中再随机抽取 3 人赠送 200 元的护肤品套装，记这 3 人中 “ 微信控 ” 的人数为 X，试求 X 的分布列与数学期望 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d P（ K2 k0） 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 k0 0.455
9、 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635 19（ 12 分）如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， DAB= DBF=60 ，且 FA=FC （ ）求证： AC平面 BDEF； （ ） 求证： FC平面 EAD； （ ）求二面角 A FC B的余弦值 20（ 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 G的中心为坐标原点，左焦点为 F1（ 1， 0），离心率e= （ 1）求椭圆 G 的标准方程； （ 2）已知直线 l1： y=kx+m1与椭圆 G 交于 A， B 两点，直线 l2： y=kx+m2（ m14 m2）与椭圆 G交于 C， D两点，且 |AB|=|C
10、D|，如图所示 证明： m1+m2=0； 求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值 21（ 12 分）知函数 f（ x） =ax2 2x+lnx（ a 0， a R） （ 1）判断函数 f （ x）的单调性； （ 2）若函数 f （ x）有两个极值点 x1， x2，求证： f（ x1） +f（ x2） 3 22（ 10 分）已知直线 C1： （ t 为参数），曲线 C2： （ r 0， 为参数） （ 1）当 r=1时，求 C 1 与 C2 的交点坐标； （ 2）点 P 为曲线 C2上一动点，当 r= 时，求点 P 到直线 C1距离最大时点 P 的坐标 5 选择题： 12 题 5分 =60分（每
11、题 5分） 1 A 2 B 3 D 4.D 5 C 6 B 7.A 8.B 9 D 10、 B 11.C 12.A 填空题： 4题 5分 =20分（每题 5分） 13. 1 14. 15. 16.20 +1 17.（ 12 分）【解答】 解：（ 1）设等比数列 an的公比为 q， a1=1， a4=27； 1 q3=27，解得 q=3 -3分 设等差数列 bn 的公差 为 d， b1=3， S5=35 5 3+ =35，解得 d=2 bn=3+2（ n 1） =2n+1 -6分 （ 2） cn=anbn=（ 2n+1） ?3n 1 数列 cn 的前 n 项和 Tn=3+5 3+7 32+? +
12、（ 2n+1） ?3n 1 3Tn=3 3+5 32+? +（ 2n 1） ?3n 1+（ 2n+1） ?3n 2Tn=3+2（ 3+32+? +3n 1） （ 2n+1） ?3n=3+ （ 2n+1） ?3n -10 分 Tn=n?3n -12分 18.（ 12 分 ） 【解答】 解 ：（ 1） 由列联表可知 ， = = 0.649， -3 分 0.649 0.708， 没有 60%的把握认为 “ 微信控 ” 与 ” 性别 “ 有关； -4分 （ 2）依题意知，所抽取的 5位女性中 “ 微信控 ” 有 3 人， “ 非微信控 ” 有 2人， X的所有可能取值为 1， 2， 3； -6分 且
13、P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， -9 分 X 的分布列为： X 1 2 3 P（ X） 6 -10分 X 的数学期望为 EX=1 +2 +3 = -12 分 19.（ 12 分）【解答】 （ ）证明：设 AC与 BD相交于点 O， 连接 FO因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD，且 O为 AC中点 ? （ 1分） 又 FA=FC，所以 AC FO ? （ 3分） 因为 FO BD=O， 所以 AC平面 BDEF ? （ 4分） （ ）证明：因为四边形 ABCD与 BDEF均为菱形， 所以 AD BC， DE BF， 所以 平面 FB
14、C平面 EAD ? （ 7分） 又 FC?平面 FBC，所以 FC平面 EAD ? （ 8分） （ ）解：因为四边形 BDEF 为菱形， 且 DBF=60 ， 所以 DBF为等边三角形 因为 O为 BD 中点，所以 FO BD，故 FO平面 ABCD 由 OA， OB， OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz ? （ 9分 ） 设 AB=2因为四边形 ABCD 为菱形， DAB=60 ， 则 BD=2 ， 所 以 OB=1 ， 所以 所以 ， 设平面 BFC的法向量为 =（ x， y， z）， 则有 ， 取 x=1，得 平面 AFC的法向量为 =（ 0， 1， 0） ? （ 1
15、1分） 由二面角 A FC B是锐角， 得 |cos ， |= = 7 所以二面角 A FC B的余弦值为 ? （ 12 分） 20.（ 12 分）【解答】【解答】 解：（ 1）设椭圆 G的方程为 （ a b 0） 左焦点为 F1（ 1， 0），离心率 e= c=1， a= ， b2=a2 c2=1 椭圆 G 的标准方程为： -4分 （ 2）设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， C（ x3， y3）， D（ x4， y4） 证明：由 消去 y得（ 1+2k2） x2+4km1x+2m12 2=0 ， x1+x2= ， x1x2= ； |AB|= =2 ； 同理 |CD|=2 ， 由 |AB|=|CD|得 2 =2 ， m1 m2， m1+m2=0-8分 8 四边形 ABCD 是平行四边形，设 AB， CD 间的距离 d= m1+m2=0， s=|AB| d=2 = . 所以当 2k2+1=2m12时，四边形 ABCD 的面积 S 的最大值为 2 -12 分 21.（ 12 分）【解答】
