1、 1 上海市嘉定区 2017 届高三数学第二次（ 4 月）质量调研试题 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1函数 1)2(sin2 2 ? xy 的最小正周期是 _ 2设 i 为虚数单位，复数 i2 i21?z ，则 ?|z _ 3设 )(1xf? 为 12)( ? x xxf 的反函数，则 ? )1(1f _ 4 ? ? nnnnn 3232lim 11 _ 5若圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则其母线与轴所成角的大小是 _ 6设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若3535?
2、aa，则 ?35SS _ 7直线? ? ? ty tx 4 ,2（ t 为参数）与曲线?sin25,cos23yx （ ? 为参数）的公共点的个数 是 _ 8 已知双曲线 1C 与双曲线 2C 的焦点重合， 1C 的方程为 13 22 ?yx ，若 2C 的一条渐近线 的倾斜角是 1C 的一条渐近线的倾斜角的 2 倍，则 2C 的方程为 _ 9若 2131)( ? xxxf ，则满足 0)( ?xf 的 x 的取值范围是 _ 10某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 32 和 53 现安排甲 组研发新产品 A ，乙组研发新产品 B ，设甲、乙两组的研发相互独立 ，则至少有
3、一种 新产品研发成功的概率为 _ 11设 等差数列 na 的各项都是正数，前 n 项和为 nS ，公差为 d 若数列 ? ?nS 也是公差 为 d 的等差数列，则 na 的通项公式为 ?na _ 12设 R?x ，用 x 表示不超过 x 的最大整数（如 232.2 ? ， 576.4 ? ），对于给定 的 *N?n ，定义)1()1( )1()1( ? ? xxxx xnnnC xn ?，其中 ),1 ?x ，则当 ? 3,23x时， 函数 xCxf 10)( ? 的值域是 _ 2 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项考 生应在答题纸的相应位
4、置，将代表正确选项的小方格涂黑 13命题“若 1?x ，则 0232 ? xx ”的逆否命题是?（ ） （ A）若 1?x ，则 0232 ? xx （ B）若 0232 ? xx ，则 1?x （ C）若 0232 ? xx ，则 1?x （ D）若 0232 ? xx ，则 1?x 14如图，在正方体 1111 DCBAABCD ? 中， M 、 E 是 AB 的三等分点， G 、 N 是 CD 的三等分点， F 、 H 分别是 BC 、 MN 的中点，则四棱锥 EFGHA?1 的左视图是?（ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 15已知 ABC 是边长为 4 的等边三角形， D
5、、 P 是 ABC 内部两点，且满足 )(41 ACABAD ? ， BCADAP 81? ，则 ADP 的面积为?（ ） （ A） 43 （ B） 33 （ C） 23 （ D） 3 16已知 )(xf 是偶函数，且 )(xf 在 ),0 ? 上是增函 数，若 )2()1( ? xfaxf 在 ? 1,21x 上恒成立，则实数 a 的取值范围是?（ ） （ A） 1,2? （ B） 0,2? （ C） 1,1? （ D） 0,1? 三、解答题（本大题共有 5 题 ，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤 17（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2
6、 小题满分 8 分） 在 ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，已知 2?ba ， 4?c ，BA sin2sin ? （ 1）求 ABC 的面积 S ； D A B C D1 F H E M N G A1 B1 C1 3 （ 2）求 )2sin( BA? 的值 18（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 如图，在长方体 1111 DCBAABCD ? 中， 8?AB ， 5?BC ， 41?AA ，平面 ? 截长方体得到一个矩形 EFGH ，且 211 ? FDEA ， 5?DGAH （ 1）求截面 EFGH 把该长方
7、体分成的两部分体积之比； （ 2）求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值 19（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 如图，已知椭圆 C ： 12222 ?byax （ 0?ba ）过点 ? 23,1，两个焦点为 )0,1(1 ?F 和)0,1(2F 圆 O 的方程为 222 ayx ? （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）过 1F 且斜率为 k （ 0?k ）的动直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点，与圆 O 交于 P 、Q 两点（点 A 、 P 在 x 轴上方），当 | 2AF ， | 2BF ， |AB 成等差数列时，求弦 PQ 的长
8、20（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分 ，第 3 小题满分 6 分） 如果函数 )(xfy? 的定义域为 R ，且存在实常数 a ，使得对于定义域内任意 x ，都有)()( xfaxf ? 成立，则称此函数 )(xf 具有“ )(aP 性质” （ 1）判断函数 xy cos? 是否具有“ )(aP 性质”，若具有“ )(aP 性质”，求出所有 a 的值的集合；若不具有“ )(aP 性质”，请说明理由； A B C D E F H G A1 B1 C1 D1 y F1 F2 O A B x P Q 4 （ 2）已知函数 )(xfy? 具有“ )0(P 性质”
9、，且当 0?x 时， 2)()( mxxf ? ，求函数)(xfy? 在区间 1,0 上的值域； （ 3）已知函数 )(xgy? 既具有“ )0(P 性质”，又具有“ )2(P 性质”，且当 11 ? x时， |)( xxg ? ，若函数 )(xgy? 的图像与直线 pxy? 有 2017 个公共点，求实数 p 的值 21（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分） 给定数列 na ，若满足 aa?1 （ 0?a 且 1?a ），对于任意的 *, N?mn ，都有mnmn aaa ? ，则称数列 na 为指数数列 （ 1）已知数列 na
10、， nb 的通项公式分别为 123 ? nna ， nnb 3? ，试判断 na ， nb是不是指数数列（需说明理由）； （ 2）若数列 na 满足： 21?a ， 42?a ， nnn aaa 23 12 ? ? ，证明： na 是指数数列； （ 3）若数列 na 是指数数列， 431 ?tta（ *N?t ），证明：数列 na 中任意三项都不能构成等差数列 2016-2017 学年度嘉定区高三年级第二次质量调研 5 数学 试卷参考答案与评分标准 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分） 1 2? 2 1 3 1 4 3 5 6
11、? 6 25 7 1 8 1322 ?yx 9 ),1( ? 10 1513 11 412?n 12 ? ?45,15320,5 ?二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13 D 14 C 15 A 16 B 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 17（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） （ 1）因为 BA sin2sin ? ，所以由正弦定理得 ba 2? ， ?（ 1 分） 又 2?ba ，故 4?a ， 2?b ， ?（ 3 分） 所以 412co s 222 ? bc acbA ，因为 ),0( ?A ，所以
12、415sin ?A ?（ 5 分） 所以 154154221s in21 ? AbcS ?（ 6 分） （ 2）因为 415sin ?A ， 41cos ?A ， 所以 815co ss in22s in ? AAA ， 87s inc o s2c o s 22 ? AAA ，?（ 4 分） 815sin21sin ? AB ，因为 ab? ，所以 B 为锐角，所以 87cos ?B （或由 ca? 得到AB 2? ， 872c o s)2c o s (c o s ? AAB ? ）?（ 5 分） 所以， 32 157s in2c o sc o s2s in)2s in ( ? BABABA
13、?（ 8 分） 18（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） （ 1）由题意，平面 ? 把长方体分成两个高为 5 的直四棱柱， 7054)52(21)(21 1111 ? ADAAAHEAV FGDDEHAA ， ?（ 2 分） 9054)63(21)(21 1111 ? BCBBEBBHV C G F CB H E B ， ?（ 4 分） 所以，9711 11 ?CGFCBHEB FGDDEHAAVV?（ 6 分） （ 2）解法一： 6 作 EHAM? ，垂足为 M ，由题意， ?HG 平面 11AABB ，故 AMHG? ， 所以 ?AM 平面 ? ?（
14、2 分） 因为 141 ?EHAAS梯形， 41 ? EAAS，所以 10?AEHS ，） 因为 5?EH ，所以 4?AM ?（ 4 分） 又 532121121 ? FDDAAAAF ， ?（ 6 分） 设直线 AF 与平面 ? 所成角为 ? ，则 1554sin ? AFAM? ?（ 7 分） 所以，直线 AF 与平面 ? 所成角的正 弦值为 1554 ?（ 8 分） 解法二： 以 DA 、 DC 、 1DD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则 )0,0,5(A ， )0,5,5(H ， )4,2,5(E ， )4,2,0(F ， ?（ 2 分） 故 )0,
15、0,5(?FE ， )4,3,0( ?HE ， ?（ 3 分） 设平面 ? 一个法向量为 ),( zyxn? ，则?,0,0HEnFEn? 即? ? ? ,043 ,05 zyx所以可取 )3,4,0(?n? ?（ 5 分） 设直线 AF 与平面 ? 所成角为 ? ，则15 54| |sin ? AFn AFn? ?（ 7 分） 所以，直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值为 1554 ?（ 8 分） 19（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） （ 1）由题意， 1?c ， ?（ 1 分） 设椭圆 C 的方程为 112222 ? ayax ，将点 ? 23,
16、1代入， 1)1(4 91 22 ? aa ，解得 42?a （ 412?a 舍去）， ?（ 3 分） 所以，椭圆 C 的方程为 134 22 ?yx ?（ 4 分） （ 2）由椭圆定义， 4| 21 ? AFAF ， 4| 21 ? BFBF ，两式相加，得 8| 22 ? BFAFAB ，因为 | 2AF ， | 2BF ， |AB 成等差数列，所以 |2| 22 BFAFAB ? ，于是 8|3 2 ?BF ，即 38| 2 ?BF ?（ 3 分） 设 ),( 00 yxB ，由?,134,964)1(20202020yxyx解得 ? ? 315,34B ，?（ 5 分） （ 或 设 )sin3,cos2( ?B ，则 964s in3)1co s2( 2
